2022学年第1学期第1次四校联考高三数学（理科）试卷（满分120分，考试时间：120分钟）参考公式：柱体的体积公式：其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式：其中表示锥体的底面积，表示锥体的高台体的体积公式：其中S1、S2分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高球的表面积公式：球的体积公式：其中表示球的半径选择题部分（共32分）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设，则是的(▲)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是(▲)A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④3．已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象(▲)A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度4．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是(▲)A.2B.4C.6D.5．已知为第二象限角，，则(▲)A．B．C．D．-9-\n6．称为两个向量间的“距离”，若向量满足：(1)；(2)；(3)对任意的，恒有，则(▲)A．B．C．D．7．已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点．若，则k=(▲)A．B．C． D．8．已知函数，则下列关于函数（）的零点个数的判断正确的是(▲)A．当时，有个零点；当时，有个零点B．当时，有个零点；当时，有个零点C．无论为何值，均有个零点D．无论为何值，均有个零点非选择题部分（共88分）二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分．9．双曲线的焦点坐标是▲，渐近线方程是▲．10．设集合，，若，则的取值范围为▲；若，则的取值范围为▲．11．若x,y满足约束条件则点P(x,y)构成的区域的面积为▲；的最大值为▲．12．已知数列满足：则=▲；=▲．13．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，-9-\nM，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则异面直线EM与AF所成的角的余弦值是▲．14．已知正数x，y满足：x+4y=xy，则x+y的最小值为▲．15．函数，，，，对任意的，总存在，使得成立，则的取值范围为▲．三、解答题：本大题共4小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．(本题满分12分)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（I）求角B的大小；（II）若，求△ABC的面积．17．(本题满分12分)如图，在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上．（I）求证：⊥；（II）若，，为的中点，求二面角的平面角的余弦值．-9-\n17．(本小题满分14分)已知函数．（Ⅰ）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值．19．(本题满分14分)已知数列满足，且，为的前项和.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）如果对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.-9-\n2022学年第1学期第1次四校联考高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案ADBBCBDC二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分．9．； 10．11．1；12．1；013．14．915．[3,4]三、解答题：本大题共4小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：（I）解法一：由正弦定理得将上式代入已知……………………2分即即∵…………4分∵∵B为三角形的内角，∴.………………………………………6分（用射影定理一步即可）解法二：由余弦定理得-9-\n将上式代入………2分整理得………………3分∴∵B为三角形内角，∴………………………………………6分（II）将代入余弦定理得，………………………………………8分∴………………………………………10分∴.………………………………………12分17．（1）证明：三棱柱为直三棱柱，平面，又平面，………………………2分平面，且平面，．又平面,平面,，平面，…………………………………………5分又平面，…………………………………6分（2）由（1）知平面，平面,从而如图,以B为原点建立空间直角坐标系平面，其垂足落在直线上,．在中，，AB=2，,-9-\n在直三棱柱中，．…………………………8分在中，,则（0,0,0）,,C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）,（0，2，2）设平面的一个法向量则即可得………………10分设平面的一个法向量则即可得……………………11分二面角平面角的余弦值是………………12分(利用二面角P-A1B-C平面角与二面角P-A1B-A平面角互余等方法可适当给分)18.解：（Ⅰ）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，①当时，（*）显然成立，此时；………………………2分②当时，（*）可变形为，令因为当时，，当时，，………………………4分所以，故此时.综合①②，得所求实数的取值范围是.………………………6分-9-\n（Ⅱ）………………………7分①当时，即，此时，②当时，即，此时③当时，即，此时④当时，即，此时综上：.………………………14分19．（本题满分１4分）解：（I）由题意得则成等比数列,首项为，公比为………………………4分-9-\n故…………………………6分（Ⅱ）………………8分由得对任意恒成立设，则当,,为单调递减数列，当,,为单调递增数列…………………………………12分,则时,取得最大值,故………………………14分-9-
