枣阳市第二中学高三年级2022-2022学年度上学期期中考试数学（理科）试题满分150分，考试时间120分钟★祝考试顺利★第I卷（选择题）评卷人得分一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共计50分）1．已知（），设展开式的二项式系数和为，（），与的大小关系是（）A．B．C．为奇数时，，为偶数时，D．2．已知函数，是的导数，同一坐标系中，和的大致图象是（）3．八人分乘三辆小车，每辆小车至少载人最多载人，不同坐法共有（）A．种B．种C．种D．种4．已知，是的导数，和单调性相同的区间是（）A．B．和C．D．5．“，，，四点不在同一平面内”是“，，，四点中任意三点不在同一直线上”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．某电视台娱乐节目中，需要在编号分别为、、、、的五个礼品盒中，装四个不同礼品，只有一个礼品盒是空盒．不同的装法有（）A．种B．种C．种D．种7．已知命题若，则；命题若，则．下面四个结论中正确的是（）A．是真命题B．是真命题C．是真命题D．是假命题8．已知函数（是自然对数的底数），的导数是（）A．偶函数B．奇函数C．增函数D．减函数9．已知随机变量，随机变量的数学期望（）A．B．C．D．10．已知函数的导数为，（）A．B．C．D．第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可，对而不全均不得分．）11．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E－A1B1C1D1的体积为V1，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V2，则的值是．ABCDEA1B1C1D112．在平面直角坐标系中，已知圆，点在圆上，且，则5\n的最大值是．13．一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为．14．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC．其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）15．若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是．16．直线y=kx+3与圆（x-1）2+（y+2）2=4相交于M,N两点,若,则实数k的取值范围是．17．直线，恒过定点．评卷人得分三、解答题（本大题共5小题，共65分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.）18．（本小题满分13分）如图，已知点A（1，）是离心率为的椭圆C：上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点互不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．19．（本小题满分12分）已知三棱柱ABC－中，平面⊥底面ABC，BB′⊥AC，底面ABC是边长为2的等边三角形，＝3，E、F分别在棱，上，且AE＝＝2．（Ⅰ）求证：⊥底面ABC；（Ⅱ）在棱上找一点M，使得∥平面BEF，并给出证明．20．（本小题满分12分）在某高校自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为五个等级．某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为的考生有人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为的人数；（Ⅱ）若等级分别对应分,分,分,分,分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为．在至少一科成绩为的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为的概率．5\n21．（本小题满分14分）已知函数，（Ⅰ）求函数的周期及单调递增区间；（Ⅱ）在中，三内角，，的对边分别为，已知函数的图象经过点成等差数列，且，求的值．22．（本小题满分l4分）已知函数．（Ⅰ）当a=0时，求的极值；（Ⅱ）当a<0时，求的单调区间；（Ⅲ）方程的根的个数能否达到3，若能请求出此时a的范围，若不能，请说明理由，参考答案选择：1-5．CCCBA6-10DBABC填空：11．12．13．14．②④15．16．17．解答题：18．（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，只需列出两个独立条件即可：一是离心率，二是点在椭圆上，（Ⅱ）证明直线AB、AD的斜率之和为定值，先从点的坐标出发，将斜率用坐标表示，利用直线与椭圆联立方程组得到坐标之间等量关系：设D（x1，y1）、B（x2，y2），则x1＋x2＝－m，x1x2＝，而kAD＋kAB＝，最后代入化简即可．试题解析：（Ⅰ）解由题意，可得e＝，将（1，）代入，得，又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，c＝，所以椭圆C的方程为（Ⅱ）证明设直线BD的方程为y＝x＋m，又A、B、D三点不重合，所以m≠0．设D（x1，y1）、B（x2，y2），由得，4x2＋2mx＋m2－4＝0，所以Δ＝－8m2＋64＞0，∴－2＜m＜2，x1＋x2＝－m①，x1x2＝②．设直线AB、AD的斜率分别为kAB、kAD，则kAD＋kAB＝（*）．…11分将①②式代入（*），得5\n所以kAD＋kAB＝0，即直线AB、AD的斜率之和为定值0．考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系19．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）M为A′B′的中点．试题分析：（Ⅰ）先将面面垂直转化为线面垂直：取BC中点O，则AO⊥BC，即由平面BCC′B′⊥底面ABC得AO⊥平面BCC′B′，从而AO⊥BB′，又BB′⊥AC，因此由线面垂直判定定理得BB′⊥底面ABC．（Ⅱ）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，关键在于找出线线平行．这时一般利用平几知识进行转化，如利用平行四边形．试题解析：（Ⅰ）证明取BC中点O，连接AO，因为三角形ABC是等边三角形，所以AO⊥BC，又因为平面BCC′B′⊥底面ABC，AO⊂平面ABC，平面BCC′B′∩平面ABC＝BC，所以AO⊥平面BCC′B′，又BB′⊂平面BCC′B，所以AO⊥BB′．又BB′⊥AC，AO∩AC＝A，AO⊂平面ABC，AC⊂平面ABC．所以BB′⊥底面ABC．（Ⅱ）显然M不是A′，B′，棱A′B′上若存在一点M，使得C′M∥平面BEF，过M作MN∥AA′交BE于N，连接FN，MC′，所以MN∥CF，即C′M和FN共面，所以C′M∥FN，所以四边形C′MNF为平行四边形，所以MN＝2，所以MN是梯形A′B′BE的中位线，M为A′B′的中点．考点：线面垂直判定定理，线面平行判定定理20．（Ⅰ）3（Ⅱ）2．9（Ⅲ）试题分析：（Ⅰ）先根据“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生人数确定参加考试所有人数：人，再根据“阅读与表达”科目中成绩为的频率0．075，因此人数为3人（Ⅱ）根据频率可求平均分：（Ⅲ）先确定至少一科成绩为的考生的人数：恰有两人的两科成绩等级均为A，2人只有一个科目得分为A，然后利用枚举法列举所有基本事件，共6个，其中两人的两科成绩均为的只有一种，最后根据古典概型概率公式求得试题解析：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有人所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁},有6个基本事件设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则．21．（Ⅰ）（Ⅱ）试题分析：（Ⅰ）研究三角函数性质，首先将三角函数解析式化为基本三角函数，这时要用到两角差正弦公式、二倍角公式及配角公式：，再从基本三角函数性质出发求周期及单调区间（Ⅱ）先根据条件确定角A的值，再利用数量积确定，最后利用余弦定理求边．试题解析：解：（Ⅰ）最小正周期,由得，所以的单调递增区间为（Ⅱ）由可得或所以5\n又因为成等差数列，所以，而，因此22．（Ⅰ）有极小值为，无极大值；（Ⅱ）当时，的单调递减区间是，，单调递增区间是；当时，的单调递减区间是；当时，的单调递减区间是，，单调递增区间是（Ⅲ）不能，理由见解析．试题分析：第一问将函数解析式确定，利用倒数求得函数的单调区间，从而确定出函数的极值，第二问应用函数的倒数，确定出倒数等于零的点，注意对两个零点的大小进行讨论，从而确定出函数的单调区间，第三问结合函数的单调性，确定出函数的根的个数，从而得出结果，零点不可能有个．试题解析：（Ⅰ）其定义域为．当时，，．令，解得，当时，；当时，．所以的单调递减区间是，单调递增区间是；所以时，有极小值为，无极大值（Ⅱ）令，得或当时，，令，得或，令，得；当时，．当时，，令，得或，令，得；综上所述：当时，的单调递减区间是，，单调递增区间是；当时，的单调递减区间是；当时，的单调递减区间是，，单调递增区间是（Ⅲ）时仅有1解，方程至多有两个不同的解．（注：也可用说明．）由（Ⅱ）知时，极小值，方程至多在区间上有1个解．时单调，方程至多有1个解．时，，方程仅在区间内有1个解；故方程的根的个数不能达到3．考点：函数的极值，函数的单调区间，函数的零点，分类讨论思想．5
