湖南省衡阳县2022-2022学年高一上学期期末质量检测数学试题）（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知集合A={x|x<1}，B={x|3x<1}，则( )A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1}D.A∩B=⌀【答案】A【解析】解：∵集合A={x|x<1}，B={x|3x<1}={x|x<0}，∴A∩B={x|x<0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x<1}，故B和C都错误．故选：A．先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2.下列四组函数，表示同一函数的是( )A.f(x)=x2，g(x)=xB.f(x)=x，g(x)=x2xC.f(x)=x2−4，g(x)=x−2⋅x+2D.f(x)=x，g(x)=3x3【答案】D【解析】解：A.f(x)=x2=|x|，g(x)=x，所以两个函数的对应法则不一致，所以A不是同一函数．B.f(x)的定义域为R，而g(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，所以定义域不同，所以B不是同一函数．C.由x2−4≥0，解得x≥2或x≤−2，由x+2≥0x−2≥0，解得x≥2，两个函数的定义域不一致，所以C不是同一函数．D.f(x)的定义域为R，而g(x)的定义域为R，且g(x)=3x3=x，所以定义域和对应法则相同，所以D是同一函数．故选：D．分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．9/10\n本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．1.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递増的函数为( )A.y=1xB.y=lnxC.y=x3D.y=x2【答案】C【解析】解：由于y=1x在区间(0,+∞)上单调递减，故排除A；由于y=lnx不是奇函数，故排除B；由于y=x3既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递増，故它满足条件；由于y=x2是偶函数，不是奇函数，故排除D，故选：C．由题意利用函数的奇偶性和单调性，得出结论．本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．2.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )A. 如图是棱台B. 如图是圆台C. 如图是棱锥D. 如图不是棱柱【答案】C【解析】解：对于学习A，不是由棱锥截来的，所以A不是棱台，故A错误；对于学习B，上、下两个面不平行，所以不是圆台；对于学习C，是棱锥．对于学习D，前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以D是棱柱．故选：C．利用几何体的结构特征进行分析判断．本题考查几何体的结构特征，解题时要认真审题，注意熟练掌握几何体的基本概念和性质．3.函数y=loga(x+2)+1的图象过定点( )A.(1,2)B.(2,1)C.(−2,1)D.(−1,1)【答案】D【解析】解：由函数图象的平移公式，我们可得：将函数y=logax(a>0,a≠1)的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，即可得到函数y=loga(x+2)+1(a>0,a≠1)的图象．又∵函数y=logax(a>0,a≠1)的图象恒过(1,0)点，9/10\n由平移向量公式，易得函数y=loga(x+2)+1(a>0,a≠1)的图象恒过(−1,1)点，故选：D．由对数函数恒过定点(1,0)，再根据函数平移变换的公式，结合平移向量公式即可得到到正确结论．本题考查对数函数的单调性与特殊点，记住结论：函数y=loga(x+m)+n(a>0,a≠1)的图象恒过(1−m,n)点1.经过点(−1,0)，且与直线x+2y−3=0垂直的直线方程是( )A.2x−y+2=0B.2x+y+2=0C.2x−y−2=0D.x−2y+1=0【答案】A【解析】解：∵直线x+2y−3=0的斜率为−12，∴与之垂直的直线斜率为2，∴所求直线方程为y−0=2(x+1)，化为一般式可得2x−y+2=0故选：A．由垂直关系可得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可．本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．2.在四面体P−ABC的四个面中，是直角三角形的面至多有( )个．A.0个B.1个C.3个D.4个【答案】D【解析】解：如图，PA⊥底面ABC，△ABC是∠ABC为直角的直角三角形，则四面体P−ABC的四个面中，是直角三角形的面最多，有4个．故选：D．由题意画出图形得答案．本题考查棱锥的结构特征，正确画出图形是关键，是中档题．3.直线x−3y+1=0的倾斜角为( )A.π3B.π6C.2π3D.5π6【答案】B9/10\n【解析】解：直线x−3y+1=0的斜率为k=33，设倾斜角为α，可得tanα=33，由0≤α<π，且α≠π2，可得α=π6，故选：B．求出直线的斜率，由直线的倾斜角与斜率的关系，计算即可得到所求值．本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，考查运算能力，属于基础题．1.函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是( )A.B.C.D.【答案】A【解析】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在(0,+∞)单调递增，∴y=ln(x2+1)≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f(0)=ln(0+1)=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A．∵x2+1≥1，又y=lnx在(0,+∞)单调递增，∴y=ln(x2+1)≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．2.已知函数f(x)是R上的奇函数，且满足f(x+2)=−f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)=2x−1，则方程f(x)=log7|x−2|解的个数是( )A.8B.7C.6D.5【答案】B【解析】解：函数f(x)是R上的奇函数，f(0)=0，由f(x+2)=−f(x)，可得f(x+4)=f(x)，∴f(x)的周期T=4．作出在同一坐标系中画y=2x−1和y=log7|x−2|图象，9/10\n从图象不难看出，其交点个数7个，故选：B．根据函数f(x)是R上的奇函数，f(0)=0，且满足f(x+2)=−f(x)，求解f(x)的周期T=4，当x∈(0,1]时，f(x)=2x−1，作出图象，f(x)=log7|x−2|解的个数，即为2x−1=log7|x−2|图象的交点个数.数形结合可得答案．本题考查了指数和对数的图象画法和交点个数问题.属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）1.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,2)，则这个函数解析式为______．【答案】y=x12(x≥0)【解析】解：设f(x)=xα，∵幂函数y=f(x)的图象过点(2,2)，∴2α=2∴α=12．这个函数解析式为y=x12(x≥0)．故答案为：y=x12(x≥0)．根据幂函数的概念设f(x)=xα，将点的坐标代入即可求得α值，从而求得函数解析式．本题主要考查了待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题．2.已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线AB1与DD1所成的角是______，【答案】45∘【解析】解：∵BB1//DD1，∴∠BB1A是直线AB1与DD1所成的角，∵AB⊥BB1，AB=BB1，∴∠AB1B=45∘，∴直线AB1与DD1所成的角是45∘．故答案为：45∘．由BB1//DD1，得∠BB1A是直线AB1与DD1所成的角，由此能求出直线AB1与DD1所成的角．9/10\n本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．1.已知△ABC的三个顶点A(1,3)，B(3,1)，C(−1,0)，则△ABC 的面积为______．【答案】5【解析】解：由A(1,3)，B(3,1)，设AB的直线方程为y=kx+b，则1=3k+b3=k+b，解得：k=−1，b=4．AB的直线方程为x+y−4=0．C(−1,0)到直线AB的距离h=|−1−4|2=52．AB的距离d=(3−1)2+(3−1)2=22．则△ABC 的面积S=12×52×22=5．故答案为：5．根据A(1,3)，B(3,1)，求出AB的直线方程，和AB的距离，利用点到直线的距离就是AB为底的高，即可得△ABC 的面积．本题此解法用了点与直线的性质，两点之间的距离公式.属于基础题．2.已知一个正方形的所有项点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的表面积为______，【答案】12π【解析】解：设正方体的棱长为a，球的半径为R，则正方体的表面积为6a2=24，得a=2，所以，2R=3a=23，则R=3，因此，这个球的表面积为4πR2=12π．故答案为：12π．先由正方体的表面积计算出正方体的棱长a，然后利用2R=3a求出球体的半径R，最后利用球体的表面积公式可得出答案．本题考查球体的表面积的计算，解本题的关键在于弄清楚正方体的外接球的半径为棱长之间的关系，考查了计算能力，属于中等题．3.已知函数f(x)=2x−1，若x∈[2,6]，则该函数的最大值为______．【答案】2【解析】解：画出函数f(x)的图象，如图示：，∴函数f(x)在[2,6]递减，∴函数f(x)最大值=f(2)=2，故答案为：2．9/10\n先求出函数的图象，得到函数的单调性，从而求出函数的最大值．本题考查了函数的单调性问题，考查了函数的最值问题，是一道基础题．三、解答题（本大题共6小题，共50.0分）1.计算下列各式的值(1)(827)−13−(π−1)0+214(2)log327+lg25−lg4．【答案】解：(1)原式=(23)3×(−13)−1+(32)2=32−1+32=2．(2)原式=log3332+lg25×4=32−1=12．【解析】(1)利用指数运算法则即可得出；(2)利用对数的运算法则即可得出．本题考查了指数与对数运算法则，属于基础题．2.已知直线l1：x+2y+1=0，l2：−2x+y+2=0，它们相交于点A．(1)判断直线l1和l2是否垂直？请给出理由；(2)求过点A且与直线l3：3x+y+4=0平行的直线方程．【答案】解：(1)直线l1的斜率k1=−12，直线l2的斜率k2=2，∵k1k2=−12×2=−1∴l1⊥l2(2)由方程组−2x+y+2=0x+2y+1=0解得点A坐标为(35,−45)，直线l3的斜率为−3，所求直线方程为：y−(−45)=−3(x−35)化为一般式得：3x+y−1=0．【解析】(1)先求出两直线的斜率，发现斜率之积等于−1，故可得两直线垂直．(2)先求出交点A的坐标，再根据斜率等于直线l3的斜率，点斜式写出直线的方程，并化为一般式．本题考查判断两直线垂直的方法，当两直线平行时，它们的斜率间的关系；用点斜式求直线方程．3.已知函数f(x)=x2−2|x|−3．(1)作出函数f(x)的大致图象，并根据图象写出函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在[−2,4]上的最大值与最小值．9/10\n【答案】解：(1)f(x)=x2−2|x|−3=x2+2x−3,x<0x2−2x−3,x≥0．图象如图：由图象知函数的单调减区间是(−∞,−1]，(0,1]．单调增区间是(−1,0]，(1,+∞)；(2)结合图象可知最小值为f(1)=f(−1)=−4，最大值为f(4)=5．【解析】(1)写出分段函数解析式，结合二次函数的图象作图，由图象得函数的单调区间；(2)直接由图象得到函数f(x)在[−2,4]上的最大值与最小值．本题考查了分段函数的图象，考查了由图象判断函数的单调性，并由函数单调性求函数的最值，是基础题．1.直线l过点(−1,0)，圆C的圆心为C(2,0)．(Ⅰ)若圆C的半径为2，直线l截圆C所得的弦长也为2，求直线l的方程；(Ⅱ)若直线l的斜率为1，且直线l与圆C相切；若圆C的方程．【答案】解：(Ⅰ)设直线l的方程为y=k(x+1)，则∵圆C的半径为2，直线l截圆C所得的弦长为2，∴圆心到直线l的距离为3，即|3k|k2+1=3，解得k=±22，即直线l的方程为y═±22(x+1)；(Ⅱ)∵直线l的斜率为1，∴直线l的方程为y=x+1，∵直线l与圆C相切，∴r=31+1=322，∴圆9/10\nC的方程为(x−2)2+y2=92．【解析】(Ⅰ)设直线l的方程为y=k(x+1)，根据圆C的半径为2，直线l截圆C所得的弦长为2，利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求直线l的方程；(Ⅱ)根据直线l与圆C相切，利用点到直线的距离公式，可得圆C的半径r，从而可得圆C的方程．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查圆的性质，属于中档题．1.四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥面ABCD垂足为点A，PA=AB=4，点M是PD的中点(1)求证：PB//平面ACM(2)求证：BD⊥平面PAC：(3)求四面体A−MBC的体积．【答案】证明：(1)连接AC，BD，记AC与BD的交点为O，连接MO．∵点O，M分别是BD，PD的中点，∴MO//PB．又PB⊄面ACM，MO⊂面ACM，∴PB//面ACM…(3分)(2)∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又∵PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC…(6分)(3)∵VA−MBC=VM−ABC=13⋅S△ABC⋅h，且h=12PA，∴VA−MBC=13⋅(12⋅AB⋅AD)⋅(12⋅PA)=23…(9分)【解析】(1)连接AC，BD，记AC与BD的交点为O，连接MO.证明MO//PB，然后证明PB//面ACM．(2)证明PA⊥BD，AC⊥BD，然后证明BD⊥面PAC．(3)通过VA−MBC=VM−ABC=13⋅S△ABC⋅h，然后求解即可．本题考查直线与平面垂直以及直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的他就的求法，考查计算能力．9/10\n1.已知f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1，若a，b∈[−1,1]，a+b≠0时，有f(a)+f(b)a+b>0成立．(1)判断f(x)在[−1,1]上的单调性(2)解不等式f(log2(x+2))≤f(12)(3)若f(x)≤m2−2am+11对所有的a∈[−1,1]恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：(1)f(x)在[−1,1]上单调递增…(1分)任取x1，x2∈[−1,1]，且x1<x2，则−x2∈[−1,1]．∵f(x)为奇函数，∴f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1)+f(−x2)x1+(−x2)⋅(x1−x2).由已知得f(x1)+f(−x2)x1+(−x2)>0，又x1−x2<0，∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在[−1,1]上单调递增…(3分)(2)不等式f(log2(x+2))≤f(12)，由(1)可得：−1≤log2(x+2)≤1log2(x+2)≤12，解得12−2≤x≤0，不等式的解集为：{x|12−2≤x≤0}…(5分)(3)∵f(1)=1，且f(x)在[−1,1]上单调递增，∴在[−1,1]上，f(x)≤1．问题转化为m2−2am+1≥1，即m2−2am≥0，对a∈[−1,1]成立…(6分)设g(a)=−2m⋅a+m2，①若m=0，则g(a)=0≥0，对a∈[−1,1]恒成立②若m≠0，则g(a)为关于a的一次函数，若g(a)≥0对a∈[−1,1]恒成立，必须有g(−1)≥0，且g(1)≥0，即m2−2m≥0m2+2m≥0，结合相应各函数图象，得m≤−2或m≥2…(8分)综上所述，实数m的取值范围是(−∞,−2]∪{0}∪[2,+∞)…(9分)【解析】(1)利用函数的单调性的定义以及函数的奇偶性，判断证明即可．(2)利用函数的单调性以及函数的定义域，列出不等式组，求解即可．(3))通过f(1)=1，且f(x)在[−1,1]上单调递增，问题转化为m2−2am+1≥1，即m2−2am≥0，对a∈[−1,1]成立，设g(a)=−2m⋅a+m2，通过①若m=0，②若m≠0，若g(a)≥0对a∈[−1,1]恒成立，列出不等式组求解即可．本题考查函数恒成立体积的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．9/10
