湖南省长沙县实验中学2022届高三数学模拟试题文（一）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4}，B＝{2，3，4，5}，则（A）A.{3，5}B.{4，5}C.{2，3}D.{2，4}2.在复平面内，复数对应的点位于（D）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列命题的逆命题为真命题的是（C）A.正方形的四条边相等B.正弦函数是周期函数C.若a＋b是偶数，则a，b都是偶数D.若x＞0，则|x|＝x正视图侧视图俯视图4a3【解析】因为“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”是真命题，故选C.4.已知某几何体的三视图如下，若该几何体的体积为16，则a＝（B）A.5B.4C.3D.2PABCDD【解析】该几何体是四棱锥P－ABCD，如图.其中底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，且AD＝4，AB＝3，PA＝a.因为，则a＝4，故选B.5.冬日，某饮料店的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：°C）之间有下列5组样本数据：x－2－1012y54221根据散点图可以看出，这组样本数据具有线性相关关系，设其线性回归方程为，则下列结论正确的是（D）A.B.C.D.【解析】因为样本数据呈负相关，则.又回归直线经过样本点中心(0，2.8)，所以.故选D.106.已知动点M分别与两定点A(1，0)，B(－1，0)的连线的斜率之积为定值m(m≠0)，若点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(除去点A、B)，则m的取值范围是（B）A.（－∞，－1）B.（－1，0）C.（0，1）D.（1，＋∞）【解析】设点M(x，y)，则，即.因为点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，则0＜－m＜1，即－1＜m＜0，故选A.INPUTxIFx＜0THENy＝2x∧2－1ELSEy＝(1/2)∧xENDIFPRINTyEND7.阅读下面的程序，若计算机运行该程序后输出的y值为，则输入的实数x的值为（B）A.或3B.或3C.或－3D.或－3【解析】若x＜0，则，即，所以.若x≥0，则，即x＝3.故选B.8.如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥BD，且AB＝2，则（C）A.2B.3C.4D.6【解析】因为AB⊥BC，AC⊥BD，则，.，故选C.9.一质点P从点A(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向作匀速圆周运动，每秒钟转过的弧长均为1，设第n秒末质点P的横坐标为xn，记，则对任意正整数m，n(m＜n)，下列不等式成立的是（A）A.B.C.D.【解析】据题意，经过n秒质点P转过的弧长为n.因为单位圆的半径为1，则经过n秒质点P转过的圆心角为n，所以xn＝cosn，从而.10因为m＜n，则，故选A.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10.函数的定义域是（－1，2）.BAxx－4y＋3＝0yCO3x＋5y－25＝0x＝111.设不等式组表示的平面区域为M，若直线l：上存在区域M内的点，则k的取值范围是.【解析】作可行域，如图，其中点A(5，2)，B(1，1)，.设点D(－1，0)，由图知，，，故.东北ABC12.如图，A、C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处.然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛，则A、C两岛之间的直线距离是70海里.【解析】在△ABC中，由已知，AB＝10×5＝50，BC＝10×3＝30，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°.所以，故AC＝70.13.设等差数列的前项和为，若，，则22.【解析】设的公差为d，则，所以.由已知d＝2，，所以.14.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为，设点A为曲线C上任意一点，点B为直线上任意一点，则A，B两点间的距离的最小值是3.10【解析】曲线C的普通方程为，直线的直角坐标方程为.所以|AB|的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径，即.15.对于集合(n∈N*，n≥3)，定义集合，记集合S中的元素个数为S(A).（1）若集合A＝{1，2，3，4}，则S(A)＝5.（2）若a1，a2，…，an是公差大于零的等差数列，则S(A)＝2n－3(用含n的代数式表示).【解析】（1）据题意，S＝{3，4，5，6，7}，所以S(A)＝5.（2）据等差数列性质，当时，，当时，.由题设，a1＜a2＜…＜an，则.所以.三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数.（Ⅰ）若存在，使f(x0)＝1，求x0的值；（Ⅱ）设条件p：，条件q：，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围.【解】（Ⅰ）.（3分）令f(x0)＝1，则，即.（4分）因为，则，所以，解得.（6分）（Ⅱ）因为p是q的充分条件，则当时，恒成立，即恒成立，所以，且.（8分）当时，，从而.所以.10（10分）由.故m的取值范围是(0，1).（12分）17.(本小题满分12分)某中学研究性学习小组，为了考察高中学生的作文水平与爱看课外书的关系，在本校高三年级随机调查了50名学生.调查结果表明：在爱看课外书的25人中有18人作文水平好，另7人作文水平一般；在不爱看课外书的25人中有6人作文水平好，另19人作文水平一般.（Ⅰ）根据相关数据完成以下2×2列联表，并运用独立性检验估计有多大把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系?作文水平好作文水平一般总计爱看课外书不爱看课外书总计50（Ⅱ）将其中某5名爱看课外书且作文水平好的学生分别编号为1，2，3，4，5，某5名爱看课外书且作文水平一般的学生也分别编号为1，2，3，4，5，从这两组学生中各任选1人进行学习交流，求被选取的两名学生的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率.附：K2的观测值计算公式：.临界值表：P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828【解】（Ⅰ）2×2列联表如下：作文水平好作文水平一般总计爱看课外书187（3分）25不爱看课外书61925总计242650因为，由表知，P(K2≥10.828)≈0.001.故有99.9%的把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系.（6分）（Ⅱ）设“被选取的两名学生的编号之和为3的倍数”为事件A，“被选取的两名学生的编号之和为4的倍数”为事件B.因为事件A所包含的基本事件为：(1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(4，5)，(5，1)，(5，4)共9个，基本事件总数为5×5＝25，所以.（8分）因为事件B所包含的基本事件为：(1，3)，(2，2)，(3，1)，(3，5)，(4，4)，(5，3)共6个.所以.（10分）因为事件A，B互斥，所以.10故被选取的两名学生的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率是.（12分）18.(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝，AB＝1，AD＝2，E为BC的中点.（Ⅰ）求二面角A1―DE―A的大小；ABCDA1B1C1D1EG（Ⅱ）设△A1DE的重心为G，在棱AD上是否存在一点M，使MG⊥平面A1DE？证明你的结论.【解】（Ⅰ）连结AE，由已知，AB＝BE＝CD＝CE＝1，则AE＝DE＝.又AD＝2，则AE2＋DE2＝AD2，所以AE⊥DE.（2分）因为A1A⊥平面ABCD，则A1A⊥DE，所以DE⊥平面A1AE，从而DE⊥A1E.所以∠A1EA为二面角A1―DE―A的平面角.（4分）ABCDA1B1C1D1EGMH因为AA1＝，则tan∠A1EA＝，所以∠A1EA＝45°.故所求二面角的大小为45°.（6分）（Ⅱ）因为点G为△A1DE的重心，连结DG，延长交A1E于H，则H为A1E的中点.（7分）由（Ⅰ）知，DE⊥平面A1AE，则平面A1AE⊥平面A1DE.（8分）因为AE＝AA1＝，连AH.，则AH⊥A1E，所以AH⊥平面A1DE.（9分）若MG⊥平面A1DE，则MG∥AH.（10分）因为点M在棱AD上，则△DMG～△DAH.因为DG︰GH＝2︰1，则DM︰MA＝2︰1.（11分）所以M为AD上的一个三等份分点，故在棱AD上存在一点M，使MG⊥平面A1DE.（12分）19.(本小题满分13分)如图，在一条东西方向的海岸线上的点C处有一个原子能研究所，海岸线北侧有一个小岛，岛上建有一个核电站.该岛的一个端点A位于点C的正北方向km处，另一个端点B位于点A北偏东30°方向，且与点A相距4.5km，研究所拟在点C正东方向海岸线上2.5km外的P处建立一个核辐射监测站.（Ⅰ）设CP＝x，∠APB＝θ，试将tanθ表示成x的函数；（Ⅱ）若要求在监测站P处观察全岛所张的视角最大，问点P应选址何处？东北海岸线ABCPDE【解】（Ⅰ）据题意，AC⊥CP.过点B分别作CP，CA的垂线，垂足为D，E.由题设，AB＝4.5，AC＝，∠BAF＝30°，10（1分）所以CD＝EB＝4.5×sin30°＝，AE＝4.5×cos30°＝，BD＝EC＝AE＋AC＝.（3分）因为时，则点P在点D的右侧，从而PD＝x－，tan∠BPC＝.（4分）又tan∠APC＝，则tanθ＝tan(∠BPC－∠APC)＝.所以.（7分）（Ⅱ）法一：令x＋4＝t，则（10分）因为，则，当且仅当，即t＝10，即x＝6时取等号，此时取最大值.因为θ为锐角，则当x＝6时θ取最大值.（12分）答：点P应选址在点C正东方向6km处.（13分）法二：设，则.（10分）由，得，所以在(，6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数.所以当x＝6时取最大值，即取最大值.因为θ为锐角，则当x＝6时θ取最大值.（12分）答：点P应选址在点C正东方向6km处.（13分）1020.(本小题满分13分)设双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，点M在双曲线C上.已知双曲线C的离心率为，∠F1MF2＝60°，且|MF1|·|MF2|＝8.（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）过双曲线C上一动点P向圆E：作两条切线，切点分别为A、B，求·的最小值.【解】（Ⅰ）因为，则，所以a＝b.（2分）因为∠F1MF2＝60°，在△F1MF2中，由余弦定理，得，即.因为|MF1|·|MF2|＝8，||MF1|－|MF2||＝2a，，则，即a2＝2.（5分）从而b2＝2.故双曲线C的方程是.（6分）（Ⅱ）连AE，则AE⊥AP，且|AE|＝1.设|PE|＝t，∠APB＝2θ，则，.（8分）所以·.（10分）设点P(x，y)，因为点P在双曲线C上，则.又圆E的圆心为(0，4)，则.（11分）设，则当时，，所以f(t)在上是增函数，从而.故·的最小值为.（13分）21.(本小题满分13分)10已知函数有两个不同的极值点x1，x2，其中a为实常数.（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设命题p：x∈(0，＋∞)，.试判断命题p的真假，并说明你的理由.【解】（Ⅰ）.（2分）令，则.因为f(x)有两个不同的极值点x1，x2，则x1，x2是方程的两个不等正根，所以.（4分）因为，，则.故a的取值范围是(－∞，－8).（6分）（Ⅱ）因为，则.（8分）所以不等式化为，即，即.因为x＞0，则不等式可化简为.（10分）令，则.由，得，即.所以在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数.所以当x∈(0，＋∞)时，.10（12分）所以当x∈(0，＋∞)时，恒成立，故命题p为真命题.（13分）10
