甘肃省兰州市2022届高三数学3月诊断考试试题文注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上。2．本试卷满分150分，考试用时120分钟。答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则A．B．C．D．2．复数的实部是A．B．C．D．3．已知向量，满足，，，则A．B．C．D．4．从数字、、中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于的概率为A．B．C．D．5．在中，内角，，的对边分别为，，，且=．则A．B．C．D．正视图侧视图俯视图6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是A．B．C．D．7．在直三棱柱中，，，则点到平面的距离为A．B．C．D．8．如图，程序输出的结果,则判断框中应填11是否S=S*i输出S结束开始i=i-1i=12,S=1A．B．C．D．9．已知不等式组所表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则的取值范围为是A．B．C．D．10．在直角坐标系中，设是曲线：上任意一点，是曲线在点处的切线，且交坐标轴于,两点，则以下结论正确的是A．的面积为定值B．的面积有最小值为C．的面积有最大值为D．的面积的取值范围是11．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，右顶点为，上顶点为，若椭圆的中心到直线的距离为，则椭圆的离心率A．B．C．D．12．已知定义在上的可导函数的导函数为，若对于任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为A．B．C．D．第Ⅱ卷11本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，，则．14．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．15．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是．16．若函数的图象与轴交于点，过点的直线与函数的图象交于、两点，为坐标原点，则．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）在等比数列中，已知．（Ⅰ）求数列的通项公式．（Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的前项和．18．（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，,ABCDA1B1C1D1∥，顶点在底面内的射影恰为点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）在上是否存在点，使得∥平面？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）兰州市为增强市民的环保意识，面向全市征召宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．11（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从年龄频率/组距2025303540450．010．020．030．040．050．060．07O第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．20．（本小题满分12分）已知双曲线：的一条渐近线为，右焦点到直线的距离为．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）斜率为且在轴上的截距大于的直线与曲线相交于、两点，已知，若，证明：过、、三点的圆与轴相切．21．（本小题满分12分）已知函数（为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若，函数在上为增函数，求实数的取值范围．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，如果多答按所答第一题评分。22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲ABEPCD•O如图，已知切⊙于点，割线交⊙于、两点，的平分线和、分别交于点、．求证:（Ⅰ）；（Ⅱ）．23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程11在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值．11一、选择题题号123456789101112答案DCDBCDBBCAAB8．由题意，S表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于12×11=132，故此循环体需要执行两次所以每次执行后i的值依次为11，10,由于i的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B符合题意11.解析：设椭圆的的焦距为，由于直线的方程为，所以，因，所以，解得或（舍），所以二、填空题13.14.15.16.15．解析：函数，则，令得，因为函数有两个极值点，所以有两个零点，等价于函数与的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点（0，－1）作的切线，设切点为（x0，y0），则切线的斜率，切线方程为.切点在切线上，则，又切点在曲线上，则，即切点为（1，0）.切线方程为.再由直线与曲线有两个交点，知直线位于两直线和之间，其斜率2a满足：0＜2a＜1，解得实数a的取值范围是.1116．解析：∵，∴的解为，即，而恰为函数图像的一个对称中心，∴、关于对称∴三、解答题17.解：（Ⅰ）为等比数列∴∴∴…………6分（Ⅱ）∵,,又因为为等差数列∴∴∴…………12分18.解：(Ⅰ)证明:连接,则平面,∴在等腰梯形中,连接∵,,∥∴∴平面∴…………6分(Ⅱ)设是上的点∵∥∴∥因经过、的平面与平面相交与，要是∥平面，则∥，即四边形为平行四边形，此时，即点为的中点.11所以在上存在点,使得∥平面，此时点为的中点.……12分19.解：（Ⅰ）第3组的人数为0.3×100=30,第4组的人数为0.2×100=20,第5组的人数为0.1×100=10.因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:×6=3；第4组:×6=2；第5组:×6=1；即应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人.…………6分（Ⅱ）记第3组的3名志愿者为,,,第4组的2名志愿者为,,第5组的1名志愿者为.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:(,),(,),(,),(,),(,),(,),(),(,),(,),(,),,),(,),(,),(,),(,),共有15种.其中第4组的2名志愿者,至少有一名志愿者被抽中的有:(,),(,),(),(,),(,),(,),(,),(,),(,),共有9种,………10分所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为…………12分20.解：（Ⅰ）依题意有，∵∴∴，11∴∴曲线的方程为……………6分（Ⅱ）设直线的方程为，则，，的中点为由得∴，∵，即∴（舍）或∴，点的横坐标为∵∴∴过、、三点的圆以点为圆心，为直径∵点的横坐标为∴∵∴过、、三点的圆与轴相切……………12分21.解：（Ⅰ）函数的定义域为当时，，所以在上为增函数；当时，由得则:当时,,所以函数在上为减函数，当时,,所以函数在上为增函数.……………6分（Ⅱ）当时，，∵在上为增函数，在恒成立，11即在恒成立，令，，，令，在恒成立，即在单调递增，即，即在单调递增，所以．…………………12分22.证明:(Ⅰ)切⊙于点,∵平分,…………5分(Ⅱ)∽同理∽,…………10分1123.解：(Ⅰ)由曲线：得即：曲线的普通方程为：由曲线：得：即：曲线的直角坐标方程为:…………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线的距离为所以当时，的最小值为…………10分24.解：（Ⅰ）由得，∴，即，∴∴…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知,令则，∴的最小值为4，故实数的取值范围是．…………10分11
