甘肃省张掖市高台县第一中学2022届高三数学上学期期末考试试卷 理

甘肃省张掖市高台县第一中学2022届高三数学上学期期末考试试卷理1．若复数(a2－1)＋(a－1)i(i为虚数单位)是纯虚数，则实数a＝(　　)A．±1　　　　　　B．－1C．0D．12.设全集U＝R，A＝{x|2x(x－2)＜1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合(　　)A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}3．已知四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P－ABCD的四个侧面中的最大面积是(　　)A．6B．8C．2D．34．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝(　　)A．2B．4C．6D．85．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放法有(　　)A．36种B．45种C．54种D．96种6．将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有多少种？(　　)A．150B．114C．100D．727．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)，则f(x)在区间上的最大值和最小值分别是(　　)A．2，－1B．1，－1C．1，－2D．2，－28．如果执行如右图所示的程序框图，则输出的S值为(　　)A．－3B．－C．2D.9．已知三边长分别为4、5、6的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P－ABC的体积为(　　)A．5B．10C．20D．30-9-\n10．已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　　)A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)211．已知x∈，且函数f(x)＝的最小值为b，若函数g(x)＝，则不等式g(x)≤1的解集为(　　)A.B.C.D.12．若曲线f(x，y)＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)＝0的“自公切线”．下列方程：①x2－y2＝1；②y＝x2－|x|；③y＝3sinx＋4cosx；④|x|＋1＝对应的曲线中存在“自公切线”的有(　　)A．①②B．②③C．①④D．③④第Ⅱ卷(非选择题　共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)13．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为________．14．设a＝sinxdx，则二项式6的展开式中的常数项等于________．15．设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则＋的最小值为________．16．定义函数f(x)＝[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，当x∈[0，n)(n∈N*)时，设函数f(x)的值域为集合A，记A中的元素个数为an，则的最小值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos2x＋2sinxcosx－sin2x(1)求f(x)的最小正周期和值域；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f＝2且a2＝bc，试判断△ABC的形状．18.(本小题满分12分)某学校高三(1)班学生举行新年联欢活动；准备了10张奖券，其中一等奖的奖券有2张，二等奖的奖券有3张，其余奖券均为3等奖．(Ⅰ)求从中任意抽取2张，均得到一等奖奖券的概率；(Ⅱ)从中任意抽取3张，至多有1张一等奖奖券的概率；(Ⅲ)从中任意抽取3张，得到二等奖奖券数记为ξ，求ξ的数学期望．19.(本小题满分12分)如图，已知平行四边形ABCD和平行四边形ACEF所在的平面相交于直线AC，EC⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝2，∠ADC＝60°，AF＝.(1)求证：AC⊥BF；(2)求二面角F－BD－A的余弦值．-9-\n20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy上取两个定点A1(－2,0)、A2(2,0)，再取两个动点N1(0，m)、N2(0，n)，且mn＝3.(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；(2)已知F2(1,0)，设直线l：y＝kx＋m与(1)中的轨迹M交于P、Q两点，直线F2P、F2Q的倾斜角为α、β，且α＋β＝π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex－ax2(a∈R)(1)求函数f(x)在点P(0,1)处的切线方程；(2)若函数f(x)为R上的单调递增函数，试求a的范围；(3)若函数f(x)不出现在直线y＝x＋1的下方，试求a的最大值．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O于A、B两点，∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C、D.求证：(1)CE＝DE；(2)＝.23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知极点与坐标原点重合，极轴与x轴非负半轴重合，M是曲线C：ρ＝4sinθ上任意一点，点P满足＝3，设点P的轨迹为曲线Q.(1)求曲线Q的方程；(2)设曲线Q与直线l：(t为参数)相交于A，B两点且|AB|＝4，求实数a的值．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)＜4的解集为M.(1)求M；(2)当a，b∈M时，证明：2|a＋b|＜|4＋ab|.-9-\n甘肃省高台县第一中学2022年秋学期期末考试高三数学(理科)答案1．B　根据纯虚数的定义得，所以a＝－1.2．B　易知：阴影部分表示集合A∩∁UB，因为2x(x－2)＜1＝20得x(x－2)＜0，所以0＜x＜2，所以A＝{x|0＜x＜2}，因为1－x＞0得x＜1，所以B＝{x|x＜1}，所以∁UB＝{x|x≥1}，所以A∩∁UB＝{x|1≤x＜2}．3．A　四棱锥如图所示：PM＝3，S△PDC＝×4×＝2S△PBC＝S△PAD＝×2×3＝3，S△PAB＝×4×3＝6，所以四棱锥P－ABCD的四个侧面中的最大面积是6.4．A　由|＋|＝|－|得·＝0，所以AM为直角三角形ABC斜边上的中线，所以||＝||＝2.5．A　先把5号球放入任意一个盒子中有4种放法，再把剩下的四个球放入盒子中，根据4的“错位数”是9，得不同的放法有4×9＝36种．6．C　先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2,2,1或者3,1,1，所以共有＋＝25种分组方法．因为甲不能去北大，所以有甲的那组只有交大和浙大两个选择，剩下的两组无约束，一共4种排列，所以不同的保送方案共有25×4＝100种．7．A　依题意得f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)，当x∈时，2x＋∈，sin∈，因此f(x)在区间上的最大值和最小值分别是2，－1，选A.8．C　开始i＝0，满足i＜4，进入循环，第一次循环：i＝i＋1＝1，S＝＝，满足i＜4，再次循环；第二次循环：i＝i＋1＝2，S＝＝－，满足i＜4，再次循环；第三次循环：i＝i＋1＝3，S＝＝－3，满足i＜4，再次循环；第四次循环：i＝i＋1＝4，S＝＝2，不满足i＜4，结束循环，此时输出的S值为2.-9-\n13．解析：依题意，圆x2＋y2－4x－5＝0可化为(x－2)2＋y2＝32，圆心(2,0)到抛物线的准线x＝－的距离等于圆的半径3，于是有2＋＝3，p＝2.答案：214．解析：a＝sinxdx＝－cosxπ0＝2C(2)6－rr＝(－1)r26－rCx3－r，由3－r＝0得r＝3，所以(－1)323C＝－160，所以展开式中的常数项等于－160.答案：－16015．解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax＋by＝z(a＞0，b＞0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4,6)时，目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大12，即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，而＋＝＝＋≥＋2＝.-9-\n答案：16．解析：x∈[0,1)时，f(x)＝[x[x]]＝[x·0]＝0，该段函数值个数为1；x∈[1,2)时，f(x)＝[x[x]]＝[x·1]＝[x]＝1，该段函数值个数为1；x∈[2,3)时，f(x)＝[x[x]]＝[x·2]，2x∈[4,6)，该段函数值个数为2；……x∈[n－1，n)时，f(x)＝[x[x]]＝[x·(n－1)]，(n－1)x∈[(n－1)2，n(n－1))，所以f(x)＝[(n－1)x]在该段最小值为(n－1)2，最大值为n(n－1)－1，个数为n(n－1)－1－(n－1)2＋1＝n－1(n≥2)，所以an＝1＋1＋2＋…＋n－1＝1＋.因此＝＋－≥2－＝(n＝10时等号成立)．答案：17．解：(1)f(x)＝cos2x＋2sinxcosx－sin2x＝sin2x＋cos2x＝2sin所以T＝π，f(x)∈[－2,2](2)由f＝2，有f＝2sin＝2，所以sin＝1.因为0＜A＜π，所以A＋＝，即A＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA及a2＝bc，所以(b－c)2＝0.所以b＝c，所以B＝C＝.所以△ABC为等边三角形．18．解：(Ⅰ)从中任意抽取2张，均得到一等奖奖券的概率P1＝＝；(Ⅱ)从中任意抽取3张，至多有1张一等奖奖券的概率P2＝＋＝＋＝；-9-\n(或P2＝1－＝1－＝)(Ⅲ)ξ取值0,1,2,3，P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝；P(ξ＝3)＝＝.ξ0123P所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.19．解：(1)∵CD＝AB＝1，AD＝2，∠ADC＝60°，∴AC＝，∴CD2＋CA2＝AD2，∴CD⊥CA.又EC⊥平面ABCD，故以CD为x轴，CA为y轴，CE为z轴建立空间直角坐标系，其中C(0,0,0)，D(1,0,0)，A(0，，0)，F(0，，)，B(－1，，0)．∴＝(0，，0)，＝(1,0，)，＝(－1，，)，＝(－2，，0)．∴·＝0，∴AC⊥BF.(2)平面ABD的一个法向量n＝(0,0,1)，设平面FBD的法向量m＝(x，y，z)，由得，∴，令z＝1得，m＝(－，－2,1)，∴cos〈m，n〉＝.故所求二面角F－BD－A的余弦值为.20．解：(1)依题意知直线A1N1的方程为：y＝(x＋2)，①直线A2N2的方程为：y＝－(x－2)，②设Q(x，y)是直线A1N1与A2N2的交点，①×②得y2＝－(x2－4)，由mn＝3，整理得＋＝1.∵N1、N2不与原点重合，∴点A1(－2,0)、A2(2,0)不在轨迹M上，∴轨迹M的方程为＋＝1(x≠±2)．-9-\n(2)由题意知，直线l的斜率存在且不为零，联立方程得，消去y，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则，且kF2P＝，kF2Q＝.由已知α＋β＝π，得kF2P＋kF2Q＝0，∴＋＝0，化简，得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，代入，得2k－－2m＝0，整理得m＝－4k.∴直线l的方程为y＝k(x－4)，因此直线l过定点，该定点的坐标为(4,0)．21．解：(1)∵f′(x)＝ex－2ax，∴f′(0)＝1所以f(x)在点P(0,1)处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)(x－0)，即y＝x＋1.(2)由题意f′(x)＝ex－2ax≥0恒成立x＞0时2a≤，令g(x)＝，则g′(x)＝，由g′(x)＝0得x＝1，x＞1时g′(x)＞0，x＜1时g′(x)＜0.∴g(x)min＝g(1)＝e，∴a≤；x＜0时2a≥，∵＜0，∴2a≥0则a≥0；又a＝0，f′(x)＝ex≥0恒成立；综上，若函数f(x)为R上的单调递增函数，则0≤a≤(3)由题意，f(x)≥x＋1，记F(x)＝ex－ax2－x－1，即F(x)≥0恒成立．若a＞0，则x＜－＜0时，F(x)＜1－x(ax＋1)－1＜0，与F(x)≥0恒成立矛盾．∴a≤0.此时F′(x)＝ex－2ax－1则x＞0时F′(x)＞e0－2ax－1≥0，x＜0时F′(x)＜e0－2ax－1≤0，∴x＝0时F(x)min＝F(0)＝0，即F(x)≥0恒成立．综上，若函数f(x)不出现在直线y＝x＋1的下方，则a的最大值为0.22．解：(1)∵PE切⊙O于点E，∴∠A＝∠BEP.∵PC平分∠APE，∴∠A＋∠CPA＝∠BEP＋∠DPE.又∠ECD＝∠A＋∠CPA，∠EDC＝∠BEP＋∠DPE，∴∠ECD＝∠EDC，∴CE＝ED.(2)∵∠PDB＝∠EDC，∠EDC＝∠ECD，∴∠PDB＝∠PCE.又∠BPD＝∠EPC，∴△PBD∽△PEC，∴＝.同理△PDE∽△PCA，∴＝.∴＝.又DE＝CE，-9-\n∴＝.23．解：(1)设P(x，y)，M(x1，y1)，由已知ρ＝4sinθ，得ρ2＝4ρsinθ，曲线C的直角坐标方程为x＋(y1－2)2＝4.又＝3，∴，代入x＋(y1－2)2＝4，得x2＋(y－6)2＝36.∴曲线Q的方程为x2＋(y－6)2＝36.(2)依题意得直线l的方程为x＋y－a＝0.曲线Q的圆心为N(0,6)，半径r＝6，N到l的距离d＝，又d＝＝4，∴a＝－2或14.24．解：(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝，当x＜－1时，由－2x＜4，得－2＜x＜－1；当－1≤x≤1时，f(x)＝2＜4，∴－1≤x≤1；当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2.∴M＝(－2,2)．(2)a，b∈M即－2＜a＜2，－2＜b＜2，∵4(a＋b)2－(4＋ab)2＝4(a2＋2ab＋b2)－(16＋8ab＋a2b2)＝(a2－4)·(4－b2)＜0，∴4(a＋b)2＜(4＋ab)2，∴2|a＋b|＜|4＋ab|.-9-