2022届福建省福州格致中学校内高二第一学期期中考试数学试卷注意事项：1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。5.本卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟第I卷（选择题共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项是符合题目要求的）1．已知，则（）A．－B．C．－D．2..已知命题:函数的最小正周期为；命题：若函数为偶函数，则关于对称.则下列命题是真命题的是（）A．B．C．D．3．已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．4．已知数列是等差数列，且，则在的展开式中，项的系数是（）A．B．C．D．5．设,,,则与的大小关系为()A．B．C．D．9\n6．若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是( )A． B． C． D．7．若，则的最小值为()A．B．C．D．8．由直线及曲线围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．9．现有种不同品牌的小车各辆（同一品牌的小车完全相同），计划将其放在个车库中且每个车库放辆，则恰有个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有（）A．种B．种C．种D．种10．甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是( )①；②；③事件与事件相互独立；④是两两互斥的事件；A．②④B．①③C．②③D．①④11．如右图所示是二次函数的部分图像，则函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．12.已知函数，，记，，则，的大小关系为（）A．B．C．D．第II卷（非选择题共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）9\n13.计算定积分；14.若为直角三角形的三边，其中为斜边，则，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体中，,为顶点所对面的面积，分别为侧面的面积，则满足的关系式为；15．若存在实数使成立，则的取值范围是；16．已知函数的定义域是，，若对任意，则不等式的解集为．三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分）设函数且的最小值为.(1)求的值；(2)若求满足条件的的集合.18．（本小题满分12分）已知数列{an}满足a1＝2，且anan＋1＋an＋1－2an＝0(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4的值；(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．19．（本小题满分12分）甲乙两人比赛投篮，每人连续投次，投中次数多者为胜，若甲前次每次投中的概率都是，第次投中的概率是；乙每次投中的概率都是.甲、乙每次投中与否相互独立.（1）求乙直到第次才投中的概率；（2）在比赛前，从胜负的角度考虑，你支持谁？请说明理由.20．（本小题满分12分）甲、乙等五名大运会志愿者被随机分配到、、、四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.9\n（1）求甲、乙两人同时在岗位服务的概率；（2）求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率；（3）设随机变量为这五名志愿者中在岗位服务的人数，求的分布列.21．（本小题满分12分）设函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，设函数，若对于，使成立，求实数的取值范围．22．（本小题满分12分）（1）已知为实数,并且,其中是自然对数的底,证明．（2）如果正实数满足,且,证明．9\n数学答案（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案BBCBCDADCABC二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）13.14.15.16.三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分）解：(1)……3分当且仅当时，等号成立……4分依题意,……5分(2),……7分或或……9分所以不等式的解集为……10分18.（本小题满分12分）解：(1)由题意得an＋1＝，又a1＝2，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.……4分(2)猜想an＝..….…6分9\n证明：①当n＝1时，＝2＝a1，故命题成立．②假设n＝k时命题成立，即ak＝，ak＋1＝＝＝＝，故命题成立．综上，由①②知，对一切n∈N*有an＝成立．.……12分19.（本小题满分12分）解：(１)记事件：乙第i次投中(i=1,2,3),则，事件相互独立，所以Ｐ(乙直到第３次才投中)＝．．．．．．４分(２)设甲投中的次数为Ｘ，乙投中的次数为Ｙ，则Ｙ～Ｂ()，所以，乙投中次数的数学期望Ｅ(Ｙ)＝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分Ｘ的可能取值是０，１，２，３，甲前２次投中次数服从二项分布Ｂ()，且每次投中与否相互独立，所以.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．７分，．．．．．．．．．．．．．．．．．８分，．．．．．．．．．．．．．．．．９分 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１０分所以，甲投中次数的数学期望１１分所以Ｅ(Ｙ)＞Ｅ(Ｘ)所以在比赛前，从比赛的胜负角度考虑，应支持乙.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２分20.（本小题满分12分）解：（1）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么9\n.….…4分即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是。（2）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么.……8分所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是。（3）随机变量可能取的值为1，2.……9分事件“”是指有两人同时参加岗位服务则.….…10分所以.……11分的分布列。.……12分21.（本小题满分12分）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣a﹣ （1）当a=1时，f（x）=lnx﹣x﹣1，∴f（1）=﹣2，f′（x）=﹣1，∴f′（1）=0∴f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣2．……4分（2）当a=时，f′（x）=﹣=﹣．∴当0＜x＜1，或x＞2时，f′（x）＜0；当1＜x＜2时，f′（x）＞0．所以，函数f（x）的单调增区间为（1，2）；单调减区间为（0，1），（2，+∞）．9\n当a=时，函数f（x）在（1，2）上为增函数，∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=﹣……7分若对于x1∈[1，2]，x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，则g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在[1，2]上的最小值（*）……8分又g（x）=x2﹣2bx﹣=（x﹣b）2﹣b2﹣，x∈[0，1]，①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，g（x）min=g（0）=﹣＞﹣与（*）矛盾……9分②当0≤b≤1时，g（x）min=g（b）=﹣b2﹣，由﹣b2﹣及0≤b≤1，得，≤b≤1；……10分③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，g（x）min=g（1）=﹣2b及b＞1得b＞1．……11分综上，b的取值范围是[，+∞）．……12分22．（本小题满分12分）证明：(２)由(１)因为在(0,1)内f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)内是增函数.(反证法)假设由，所以，从而，由及，可推出，所以9\n由，假如，则根据f(x)在(０，１)内是增函数，若.则从而；若，则，从而．即时．与已知矛盾．因此a=b9
