辽师大附中2022—2022学年上学期第二次模块考试高二数学试题（理科）考试时间：90分钟满分120分注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题纸的相应位置。第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.1、如图是正方体的平面展开图，则在正方体中，有下列结论：①BM∥DE；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．其中正确结论的序号是( )A．①②③B．②④C．③④D．②③④2、已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为( )A.B.C.D.3、已知二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.若AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为()A．150°B．45°C．60°D．120°4、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，其中∠A＝90°，且DB⊥BC，∠BCD＝30°.现将△ABC折起，使得二面角ABCD为直角，则下列叙述正确的是( )①·＝0；②平面BCD的法向量与平面ACD的法向量垂直；③异面直线BC与AD所成的角为60°；④直线DC与平面ABC所成的角为30°.A．①③B．①④C．①③④D．①②③④5、如图所示，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD.若点M为平面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为( )-5-\n6、已知M(－2，0)，N(2，0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是( )A．双曲线B．双曲线的左支C．一条射线D．双曲线的右支7、直线4kx－4y－k＝0(k∈R)与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于( )A.B．2C.D．48、已知中心为(0，0)，一个焦点为F(0，5)的椭圆截直线y＝3x－2所得弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程是( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝19、已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A．5B．7C．13D．1510、已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2＝2px(p>0)上，若||＋||＝4，线段AB的中点到直线x＝的距离为1，则p的值为( )A．1B．1或3C．2D．2或6第Ⅱ卷（共70分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案填在相应位置上。11、若a＝(2，1，－)，b＝(－1，5，)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________．12、已知正方体ABCDA1B1C1D1，则直线BC1与平面A1BD所成的角的余弦值是.13、以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD，且AB∥CD.以A，B为焦点的椭圆恰好过C，D两点，当梯形ABCD的周长最大时，此椭圆的离心率为________．-5-\n14、过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2＝4cx于点P.已知O为原点，若＝(＋)，则双曲线的离心率为________．三、解答题：（本大题共4小题，共50分.）15．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝AB＝2BC＝2，M，N分别为PC，PB的中点．(1)求证：PB⊥DM；(2)求平面ADMN与平面ABCD所成的二面角的余弦值；(3)求点B到平面PAC的距离．16.（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，侧棱,,,,点M和N分别为的中点.(I)求证：平面；(II)求二面角的正弦值；(III)设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长17．（本小题满分12分）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F的坐标是(1，0)，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．(1)求椭圆C的方程；(2)已知过椭圆C的右焦点且不垂直于坐标轴的直线与椭圆交于A，B两点，与y轴交于点M，且＝λ1，＝λ2，求λ1＋λ2的值．-5-\n18.（本小题满分14分）设A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.(1)求A，B两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点；(3)过O作AB的垂线，垂足为P，求P的轨迹方程；(4)求△AOB面积的最小值．高二数学试题答案：CDCBACCCBB;;;15．(1)略；(2)；(3)16.(I)略；(II)；(III).17．;18.解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x0，y0)，kOA＝，kOB＝.∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0，∵y＝2px1，y＝2px2，∴·＋y1y2＝0.∵y1≠0，y2≠0，∴y1y2＝－4p2，∴x1x2＝4p2，(2)证明：∵y＝2px1，y＝2px2，∴(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，∴当x1≠x2时，＝.∴kAB＝，∴直线AB：y－y1＝(x－x1)．-5-\n∴y＝＋y1－.∴y＝＋.∵y＝2px1，y1y2＝－4p2，∴y＝＋.∴AB过定点(2p，0)，设M(2p，0)，当x1＝x2时，知AB方程为x＝2p，过(2p，0)．由上可知，直线AB过定点．(3)(4)S△AOB＝S△AOM＋S△BOM＝|MO|(|y1|＋|y2|)＝p(|y1|＋|y2|)≥2p＝4p2.当且仅当|y1|＝|y2|＝2p时等号成立．∴△AOB的面积的最小值为4p2.-5-
