2022—2022学年上学期竞赛试卷高一数学总分：150分时间：120分钟一、选择题:(本大题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1．设全集是实数集都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A.B.C.D.2．已知集合中的是一个四边形的两条对角线的长，那么这个四边形一定不是（）A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形3．函数的图象可能是（）A.B.C.D.4．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)＝()A.x2B.2x2C.2x2＋2D.x2＋15．已知，，，则的大小关系是（）A.B.C.D.-7-\n6．函数的单调减区间是（）A.B.C.D.7．定义在R上的奇函数f(x)，满足f＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf(x)＞0的解集为（）A.B.C.D.8．若函数有零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.9．若函数是R上的减函数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.10．已知函数是定义域为的偶函数，且时，，则函数的零点个数为（）A.1B.2C.3D.411．若点分别是函数与的图像上的点，且线段的中点恰好为原点，则称为两函数的一对“孪生点”，若，，则这两个函数的“孪生点”共有（）A.对B.对C.对D.对12．已知函数，若任意且都有，则实数的取值范围（）A.B.C.D.-7-\n二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知幂函数在上是减函数，则实数_______.14．设0<x<1，则函数y＝＋的最小值是________.15．函数的最大值为，最小值为，则_____。16．设是定义在上的奇函数，且对于任意的，恒成立，当时，，若关于的方程有5个不同的解，则实数的取值范围是________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）17．（本题满分10分）(1)已知集合,求.(2)若，求实数的取值范围。18．（本题满分12分）已知(1)若；(2)求的最大值与最小值.19．（本题满分12分）已知函数的反函数为，．（1）求的解析式，并指出的定义域；（2）判断的奇偶性，并说明理由；（3）设，解关于的方程.-7-\n20．对于函数,若存在，使得成立，则称为的不动点.已知函数的两个不动点分别是和.（1）求的值及的表达式；（2）当函数的定义域是时，求函数的最大值．21．（本题满分12分）已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．当x＞0时，f(x)＞0.(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(1)＝，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．22．（本题满分12分）已知函数，，记。（1）若对于一切恒成立，求实数的取值范围.（2）对任意，都存在，使得，.若，求实数的值；-7-\n参考答案1—5BCDDA 6----10ABCCB11—12BA13、214、415、416、17、（1）；（2）.18、令，，原式变为：，（1）若，则，解得即，（2），，当时，此时，，当时，此时，．19、（1），，定义域为（2）是偶函数，理由如下：的定义域为，关于原点对称.对任意，都有（3）若，，令，，，因为，所以，所以，即的值域为，若，则方程无解；若，则，所以，方程有且只有一个解；若，则，所以，方程有两个解20、(1)依题意得f(-3)=-3,f(2)=2，即解得∴f(x)=-3x2-2x+18.(2)①当区间［t,t+1］在对称轴左侧时,即,也即时，f(x)的最大值为f(t+1)=-3t2-8t+13；-7-\n②当对称轴在［t,t+1］内时,即,也即时,f(x)的最大值为；③当［t,t+1］在右侧时,即时，f(x)的最大值为f(t)=-3t2-2t+18所以.21、(1)证明：令x＝0，y＝0，则f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(x)＝－f(－x)，即f(x)为奇函数．(2)任取x1，x2∈R，且x1＜x2.∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)．∵当x＞0时，f(x)＞0，且x1＜x2，∴f(x2－x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，∴f(x)为增函数，∴当x＝－2时，函数有最小值，f(x)min＝f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝－1.当x＝6时，函数有最大值，f(x)max＝f(6)＝6f(1)＝3.22、（1）当时，即，，令，下面求函数的最大值。，∴故的取值范围是（2）据题意知，当时，，∵在区间上单调递增，∴，即又∵-7-\n∴函数的对称轴为∴函数在区间上单调递减∴，即由，得，∴-7-
