2022—2022学年度下学期三校协作体高三开学联考数学试题（理科）时间：120分钟分值：150分一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知全集，集合，，则(∁U)（）2.若，则是的（）充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件3.已知，且，则（）4.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（）34565.某几何体三视图如下，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（）主视图左视图俯视图（第4题图）（第5题图）6.设函数，且其图像关于轴对称，则函数的一个单调递减区间是（）-11-\n7.已知，则展开式中，的一次项系数为（）8.抛物线与双曲线有相同焦点F，点A是两曲线交点，且⊥轴，则双曲线的离心率为（）9.若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，则实数（）10.已知定义在上的奇函数满足，若，，则实数的取值范围为（）11.平面四边形中，,,,将其沿对角线折成四面体,使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）12.过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，则（）二、填空题：（每小题5分，共20分）13.已知复数，是z的共轭复数，则___________.-11-\n14.已知为由不等式组，所确定的平面区域上的动点，若点，则的最大值为___________.15.已知点为的重心，过点作直线与，两边分别交于两点，且，则___________.16.在中，内角的对边分别为，已知，且，则的面积是___________.三、解答题：（共6小题，共70分）17.（12分）已知数列满足,，.（1）求证：是等差数列；（2）证明：.18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，已知，，，.(1)求证：；(2)设(0≤l≤1)，且平面与所成的锐二面角的大小为30°，试求l的值.19.（本小题满分12分）在一次考试中，5名同学数学、物理成绩如下表所示：学生ABCDE数学（x分）8991939597物理（y分）8789899293(1)根据表中数据，求物理分对数学分的回归方程：-11-\n(2)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，求随机变量的分布列及数学期望.（附：回归方程中，，）20.(本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于.（1）求动点的轨迹方程；（2）设直线和分别与直线交于点，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）设函数，其中.（1）当时，证明不等式；（2）设的最小值为，证明.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲ACBDEO如图，内接于圆，平分交圆于点，过点作圆的切线交直线于点.（1）求证：；（2）求证：.-11-\n23．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.(1)写出的极坐标方程和的直角坐标方程；(2)已知点、的极坐标分别为和，直线与曲线相交于两点，射线与曲线相交于点，射线与曲线相交于点，求的值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数.（1）当时，解不等式；（2）若的解集为，，求证：.高三数学试题（理科）参考答案及评分标准选择题：1.B2.A3.B4.B5.D6.C7.A8.D9.C10.D11.A12.D填空题：13.14.415.316.三、解答题：-11-\n17.证明：（1）是以3为首项，2为公差的等差数列.………………6分（2）由（1）知：…………8分，.………………12分18.解：（1）因为侧面,侧面，故,………………2分在中,由余弦定理得：，所以故,所以,………………4分而………………6分（2）由（1）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.则，,.所以,所以,-11-\n则.设平面的法向量为，则由,得,即，令，则是平面的一个法向量.侧面,是平面的一个法向量，.两边平方并化简得，所以=1或（舍去）………………12分19.解：（1），………………2分，.所以，物理分对数学分的回归方程为;………………6分（2）随机变量的所有可能取值为0,1,2;;…………9分故的分布列为-11-\n012………………12分20.解：（1）点的轨迹方程为………………5分（2）设点的坐标为，点的坐标分别为，则直线的方程为，直线的方程为.令，得，于是的面积，………………8分直线的方程为，，点到直线的距离，于是的面积，……………10分当时，得，又，所以，解得，因为，所以，故存在点使得与的面积相等，-11-\n此时点的坐标为……………12分21.证明：（1）设，则，当时，，在上是增函数；………2分当时，，即，成立，……………4分同理可证，所以，.……………6分（2）由已知得函数的定义域为，且，令得……………8分当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增.所以，的最小值，……………10分将代入，得即；-11-\n所以，即……………12分22.（1）∵BE为圆O的切线∠EBD=∠BAD………………2分又∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∴∠EBD=∠CAD………………4分又∵∠CBD=∠CAD∴∠EBD=∠CBD………………5分（2）在△EBD和△EAB中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB∴△EBD∽△EAB………………7分∴∴AB•BE=AE•BD………………9分又∵AD平分∠BAC∴BD=DC故AB•BE=AE•DC………………10分23.解：（1）曲线的普通方程为，化成极坐标方程为………3分曲线的直角坐标方程为……………5分（2）在直角坐标系下，，，线段是圆的一条直径由得是椭圆上的两点，在极坐标下，设分别代入中，-11-\n有和则即.……………10分24.解：（1）当a=2时，不等式为，不等式的解集为；……………5分（2）即，解得，而解集是，，解得a=1,所以所以.……………10分-11-
