辽宁省沈阳市东北育才学校2022届高三第五次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，若（为自然对数底），则A.B.C.D.2.设，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非不充分不必要条件3.若，则A.B.C.D.4.已知，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．5.阅读如右图所示的程序框图，则该算法的功能是A．计算数列前项的和B．计算数列前项的和C．计算数列前项的和D．计算数列前项的和6.设满足则A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值.7.如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积为A．B．C．D．8.已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点的直线与双曲线-12-的右支相交于，两点，且点的横坐标为，则△的周长为A． B．C． D．9.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解析式是A．B．C．D．10.已知数列为等比数列，且，则的值为A．B．C．D．11.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为A．B．C．D．12.已知R，且≥对∈R恒成立，则的最大值是A．B．C．D．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13.若的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则.14.有一名同学在书写英文单词“error”时，只是记不清字母的顺序，那么他写错这个单词的概率是.15.已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为，且。若的最小值为1，则椭圆的离心率为.16.若关于的函数（）的最大值为，最小值为，且-12-，则实数的值为.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分）已知是斜三角形，内角所对的边的长分别为．若．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若=，且求的面积.ABCM18.（本小题满分12分）在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，是棱的中点，且.（Ⅰ）试在棱上确定一点，使平面；（Ⅱ）当点在棱中点时，求直线与平面所成角的大小.19．（本小题满分12分）有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面(编号为①②③④⑤⑥)上安装5只颜色各异的灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5，若一个侧面上至少有3只灯发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要100元，用表示更换的面数，用表示更换费用.（Ⅰ）求①号面需要更换的概率；（Ⅱ）求6个面中恰好有2个面需要更换的概率；（Ⅲ）写出的分布列，求的数学期望.20.(本小题满分12分）已知函数-12-（Ⅰ）曲线在点处的切线方程为，求的值；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，试求的取值范围.21．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是⊙的一条切线，切点为，直线，，都是⊙的割线，已知．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，．求的值．23．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．圆的参数方程为，（为参数，）.-12-（Ⅰ）求圆心的一个极坐标；（Ⅱ）当为何值时，圆上的点到直线的最大距离为3．24.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数，（Ⅰ）证明（Ⅱ）若不等式的解集非空，求的取值范围.-12-2022—2022学年度高三年级第五次模拟考试数学科(理)答案一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.C2.A3.B4.D5.C6.B7.C8.D9.A10.C11.C12.A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13.14.15.16.2三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：（I）根据正弦定理，可得，，可得，得,…………6分（II），为斜三角形，，，由正弦定理可知……（1）由余弦定理…..（2）由（1）（2）解得.…………12分18.解：（Ⅰ)取边中点为∵底面是边长为的正三角形，∴连接，∵是边的中点∴，所以可以建立以为坐标原点，为轴，为轴，为轴如图所示的坐标系……………………2分-12-则有，，，，，，，设，则，，…4分若，则有，∴可得即当时，.…………6分（Ⅱ)当点在棱中点时：∴，，设平面的一个法向量∴令，得，∴…………………9分设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角……………12分19.解(1)因为①号面不需要更换的概率为：所以①号面需要更换的概率为：P=1-=…………3分(2)根据独立重复试验，6个面中恰好有2个面需要更换的概率为：P6(2)=…………6分(3)因为，又P6(0)=，P6(1)=，P6(2)=，P6(3)=，P6(4)=，P6(5)=，P6(6)=…………9分-12-的分布列为：0123456P=100，E=100E=300…………12分20.（Ⅰ）已知则，，由题意知，∴∴……………4分（II）令则i)当时，，当时，，即∴函数在上为增函数∴，即当时，ii)当时，，∴时，，从而，即从而函数在上为减函数∴时，这与题意不符综上所述当时，，的取值范围为……………12分21.解：（I）由题意知，设，则FD的中点为，-12-因为，由抛物线的定义知：，解得或（舍去）.由，解得.所以抛物线C的方程为.（II）（ⅰ）由（I）知，设，因为，则，由得，故，故直线AB的斜率为，因为直线和直线AB平行，设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意，得.设，则，.当时，，可得直线AE的方程为，由，整理可得，直线AE恒过点.当时，直线AE的方程为，过点，所以直线AE过定点.（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE过焦点，所以，设直线AE的方程为，因为点在直线AE上，故，-12-设，直线AB的方程为，由于，可得，代入抛物线方程得，所以，可求得，，所以点B到直线AE的距离为.则的面积，当且仅当即时等号成立.所以的面积的最小值为16.22.解:(Ⅰ)因为为切线,为割线,,又因为,所以.所以,又因为,所以∽,所以,又因为,所以,所以------------------------------5分(Ⅱ)由题意可得:四点共圆,.∽..又∵,=4-------------10分22.-12-……5分…10分24.（Ⅰ）……………………………………5分（Ⅱ）函数函数的图象为：-12-当时，，依题意，，则∴的取值范围是…………………………………………………………10分-12-
