2022---2022学年度上学期省五校协作体高二期中考试数学(理)试题考试时间：120分钟试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1.设命题：∃,，则为( )A．∀,B．∃，C．∀，D．∃，2.如果方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是（ ）A．B．C．D．3.已知,那么“”是“”的（ ）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件4.已知命题存在，使得成立；对任意的，以下命题为真命题的是（）A.B.C.D.5.抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．6.对任意的实数m，直线与椭圆x2+4y2=1恒有公共点，则n的取值范围是（ ）A．B．C．D．7.已知动点满足，则点P的轨迹是()A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆8.下列命题正确的个数是（）-8-\n①“在三角形中，若,则”的否命题是真命题；②命题或，命题则是的必要不充分条件；③存在实数x0，使x＋x0＋1<0；④命题“若，则有实根”的逆否命题是真命题.A.0B.1C.2D.39.已知点P为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是，则的最小值是（）A.8B.C.10D.10.设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．11.已知椭圆:与圆：，若椭圆上存在点，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.12.已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为，若椭圆的离心率为,则的最小值为（）A．B．C．D．-8-\n1,3,5第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13.命题“若，则或”的否命题为_____________________________.14.已知命题p:不等式的解集为R”命题q:“是减函数.”若“p或q”为真命题,同时p且q”为假命题,则实数的取值范围是_______.15.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为_________________.16.直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点，交其准线于点，已知，，则___________.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设命题和是方程的两个根，不等式对任意实数恒成立；命题Q：函数有两个不同的零点.求使“P且Q”为真命题的实数的取值范围.18．(本小题满分12分)如图，已知椭圆，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点.（1）若，求椭圆的离心率；（2）若，，求椭圆的方程．19.(本小题满分12分)已知“，使等式成立”是真命题.（1）求实数的取值集合；（2）设不等式解集为，若是的必要条件，求实数的取值范围.-8-\n20.(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，抛物线上一点的横坐标为2，且该点到焦点的距离为2.（1）求抛物线的标准方程；（2）与圆相切的直线交抛物线于不同的两点，若抛物线上一点满足，求的取值范围。21.(本小题满分12分)已知椭圆C的方程为，双曲线的两条渐近线为l1，l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B.(1)当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率；(2)求的最大值．22.（本小题满分12分）已知圆：，点，，点在圆上运动，的垂直平分线交于点.(1)求动点的轨迹的方程；(2)设分别是曲线上的两个不同点，且点在第一象限，点在第三象限，若，为坐标原点，求直线的斜率；(3)过点且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.-8-\n2022---2022学年度上学期期中考试高二数学(理)答案一.选择题题号123456789101112答案CDBCDABCBDCA二.填空题13.若则且14.15.16.217.解：由题设，∴.当时，的最小值为3.要使对任意实数恒成立，只需|，即.--------------3分由已知，得的判别式得或.----------------6分综上，要使“P∧Q”为真命题，只需P真Q真，即，-----------------8分解得实数的取值范围是--------------------10分18.解：（1）若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有，即b＝c.所以a＝c，e＝＝.--------------------------------5分(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中，c＝，设B(x，y)．由得(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝，y＝－，即B(，－)．-----------7分将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3c2.①-----------------9分又由得·b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.所以椭圆方程为＋＝1.--------------------------------12分-8-\n19.（1）由题意知方程在上有解，即的取值范围就为函数在上的值域，易得-----------------------------4分（2）因为是的必要条件，所以.当时，，不符合题意；------------------------------6分当时，，则，解得；-----------------8分当时，，则，解得.--------------------10分综上所述，----------------------12分20解：（1），，，………………4分（2），-------------------------（2）由（1）（2）可知，……………………6分设，则.，代入得.-------------9分或，或---------------------------12分21.解 (1)双曲线的渐近线为y＝±x，两渐近线夹角为60°，又<1，∴∠POx＝30°，-8-\n∴＝tan30°＝，∴a＝b.--------------------------2分又a2＋b2＝22，∴3b2＋b2＝4，∴b2＝1，a2＝3，∴椭圆C的方程为＋y2＝1，∴离心率e＝＝.-------------------------------4分(2)由已知，l：y＝(x－c)与y＝x联立，解方程组得P.-------------------------5分设，则＝λ，∵F(c,0)，设A(x0，y0)，则(x0－c，y0)＝λ，∴x0＝，y0＝.即A.--------------------------------7分将A点坐标代入椭圆方程，得(c2＋λa2)2＋λ2a4＝(1＋λ)2a2c2，等式两边同除以a4，(e2＋λ)2＋λ2＝e2(1＋λ)2，e∈(0,1)----------------------------9分∴λ2＝＝－＋3≤－2＋3＝3－2＝(－1)2，∴当2－e2＝，即e2＝2－时，λ有最大值－1，即的最大值为－1.-------------12分22.解：(1)因为的垂直平分线交于点，所以，.所以动点的轨迹是以点为焦点，长轴长为的椭圆.设椭圆的方程为，则.则动点的轨迹的方程是---------3分(2)设则.------------①因为，则.-------②-8-\n由①②解得---------------6分所以直线的斜率------------------------7分(3)直线方程为，联立直线和椭圆的方程得:得…………8分由题意知：点在椭圆内部，所以直线与椭圆必交与两点，设则假设在轴上存在定点，满足题设，则因为以为直径的圆恒过点,则，即:(*)因为则(*)左边变为…………11分由假设得对于任意的,恒成立，即解得因此，在轴上存在满足条件的定点，点的坐标为.………………12分-8-
