城固一中2022—2022学年度高二第一学期期中考试数学试题第I卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.不等式＜0的解集为( )A．(1，＋∞) B．(－∞，－2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)2.已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为( )A．9 B．18 C．9 D．83.设，，则下列不等式中一定成立的是（）A．B．C．D．4.已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则等于()ABCD5.已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z＝x－y的取值范围是（）A．[－2，－1]B．[－2，1]C．[－1，2]D．[1，2]6.等差数列中，已知前15项的和，则等于（）．A．B．12C．D．67.已知在△ABC中sinA:sinB:sinC＝3:5:7，那么这个三角形的最大角是( )A．135° B．90° C．120° D．150°8.下列各式中最小值是2的是（）A．B．C．tanx＋cotxD．9.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是( )A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝14，B＝45°C．a＝6，b＝6，B＝60° D．a＝20，b＝30，A＝30°-6-\n10.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4=1，S8=4，则a13+a14+a15+a16=（）．A．7B．16C．27D．6411.在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．等腰三角形D．不能确定12.（文）若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝＋＋…＋的结果可化为( )A．1－B．1－C.D.12.（理）已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于( )A．0B．100C．－100D．10200第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填写在题中的横线上.13.在△ABC中，cosA＝,sinB＝,则cosC的值为______.14.不等式的解集是，则的值等于______.15.若数列{an}满足－＝d(n∈N＋，d为常数)，则称数列{an}为调和数列．记数列为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.16.若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0的解集为实数集R，则实数m的取值范围为______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（解答题共70分，第17题10分，其余各题均为12分）17.求不等式x2－2ax－3a2＜0的解集.18.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．-6-\n19.在△ABC中，a、b是方程x2－2x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝－1.(1)求角C的度数；(2)求边c的值.20.为了更好地掌握有关飓风的数据资料，决定在海上的四岛A、B、C、D建立观测站，已知B在A正北方向15海里处，C在A的东偏北30°方向，又在D的东北方向，D在A的正东方向，且BC相距21海里，求C、D两岛间的距离．21.某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？22.已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋cn(c是不为零的常数，n∈N＋)，且a1，a2，a3成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式．(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.-6-\n2022—2022学年度高二第一学期期中考试（数学答案）一、选择题：1.C2.A3.C4.B5.C6.D7.C8.D9.C10.C11.B12.文C理B二、填空题:13.14.-1015.2016.m<-.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（解答题共70分，第17题10分，其余各题均为12分）17.解：不等式可化为（x-3a）(x+a)<0(1)当a<0即-a>3a时,3a<x<-a(2)当a>0即-a<3a时,-a<x<3a(3)当a=0即-a=3a时,不等式无解综上所述：(1)当a<0时，不等式的解集为｛x|3a<x<-a｝(2)当a>0时,不等式的解集为｛x|-a<x<3a｝(3)当a=0时,不等式的解集为18．(1)证明：∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴＝.∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1，∴a1＝，c1＝－.又cn＝an－1，故{cn}是以－为首项，为公比的等比数列．(2)由(1)可知cn＝·n－1＝－n，∴an＝cn＋1＝1－n.-6-\n19.解：(1)∵2cos(A＋B)＝-1，∴cosC＝.∴角C的度数为60°.(2)∵a、b是方程x2－2x＋2＝0的两根，∴a＋b＝2，ab＝2,c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab(cosC＋1)＝6.∴c＝.20.解：由已知得A、B、C、D四岛的位置如图所示，设A、C两岛相距x海里．∵C在A的东偏北30°方向，∴∠BAC＝60°.在△ABC中，由余弦定理得，212＝152＋x2－2×15xcos60°，化简得x2－15x－216＝0，解得x＝24或x＝－9(舍去)．又∵C在D的东北方向，∴∠ADC＝135°，在△ADC中，由正弦定理得＝，∴CD＝＝＝12.∴C、D两岛间的距离为12海里．21.解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800.蔬菜的种植面积…………所以…………当且仅当答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.…………22.解：(1)由题意知，a2＝2＋c，a3＝2＋3c，又a1，a2，a3成等比数列，∴(2＋c)2＝2×(2＋3c)，解得c＝2，从而an＋1＝an＋2n.当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋2×1＋2×2＋…＋2×(n－1)＝n2－n＋2.-6-\n当n＝1时，a1＝2也适合上式．故数列{an}的通项公式an＝n2－n＋2.(2)由(1)知，bn＝＝，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋＋…＋＋，Tn＝＋＋＋…＋＋，两式相减得Tn＝＋＋…＋－，Tn＝1－.-6-
