陕西省西安市2022届高三数学第三次模拟考试试题第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分)1.若集合,,则【】.A.B.C.D.2.若复数满足,则复数的模为【】.A.B.C.D.3.若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为【】.A.B.C.D.4.若的三个内角满足,则【】.A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形5.函数是【】.A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的偶函数i>5?否开始S=0,i=1T=3i－1S=S+Ti=i+1是输出S结束6.按右面的程序框图运行后,输出的应为【】.A.B.C.D.7.若数列满足,且,则使的值为【】.A.B.C.D.8.“”是“直线:与:平行”的【】.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设,分别为双曲线的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为【】.A.B.C.D.10.一个赛跑机器人有如下特性：(1)步长可以人为地设置成米,米,米,…,米或米；(2)发令后,机器人第一步立刻迈出设置的步长,且每一步的行走过程都在瞬时完成；(3)当设置的步长为米时,机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔秒．若设这个机器人以()米的步长跑米(允许超出米)所需的时间为秒,则【】.A.B.C.D.第Ⅱ卷(共100分)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.圆与抛物线的交点个数为________.12.若向量,,则的最大值为.13.若实数满足,且,则的取值范围是________.14.连掷两次骰子得到的点数分别为和,若记向量与向量的夹角为,则为锐角的概率是.15.请考生从以下三个小题中任选一个作答,若多选,则按所选的第一题计分.A.(不等式选讲)若实数满足,则的最大值为_________.B.(几何证明选讲)以的直角边为直径的圆交边于点,点在上,且与圆相切.若,则_________.C.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线与直线的两个交点之间的距离为_________.三、解答题(本大题共6小题,共75分)16.(本题12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.①；②；③；④；⑤.(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数；(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.17.(本题12分)随机抽取某中学甲乙两班各名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这名同学中随机抽取两名身高不低于cm的同学,求身高为cm的同学被抽中的概率.18.(本题12分)如图,四棱锥的底面是正方形,棱底面,,是的中点．(1)证明:平面；(2)证明:平面平面.19.(本题12分)在数列中,,且对任意的都有.(1)求证:是等比数列；(2)若对任意的都有,求实数的取值范围.20.(本题13分)已知椭圆:的离心率为,过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点,为弦的中点,为坐标原点.(1)求直线的斜率；(2)对于椭圆上的任意一点,设,求证:.21.(本题14分)设函数有两个极值点,且.(1)求实数的取值范围；(2)当时,判断方程的实数根的个数,并说明理由.高2022届第三次五校联考数学(文)参考答案一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分)题号12345678910答案ABDCCCDABA二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.12.13.14.15.A.B.C.三、解答题(本大题共6小题,共75分)16.(本题12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.①；②；③；④；⑤.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出常数；(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.解:(1)选择②式计算:.……4分(2)猜想的三角恒等式为:.……………………………6分证明:.………………………12分17.(本题12分)随机抽取某中学甲乙两班各名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)从乙班这名同学中随机抽取两名身高不低于cm的同学,求身高为cm的同学被抽中的概率.解:(1)由茎叶图可知：对比两班身高集中于之间的数据可知乙班平均身高应高于甲班,而其余数据可直接看出身高的均值是相等的,因此乙班平均身高应高于甲班；………………………………………3分(2)由题意知甲班样本的均值为,故甲班样本的方差为……7分(3)设“身高为cm的同学被抽中”的事件为,从乙班的名同学中抽中两名身高不低于cm的同学有:,,,,,,,,,共个基本事件,而事件含有个基本事件,故.……………12分18.(本题12分)如图,四棱锥的底面是正方形,棱底面,,是的中点．(1)证明:平面；(2)证明:平面平面.证明:(1)连结,设与交于点,连结.∵底面ABCD是正方形,∴为的中点,又为的中点,∴,∵平面,平面,∴平面.………………………………………………6分(2)∵,是的中点,∴.∵底面,∴.又由于,,故底面,所以有.又由题意得,故.于是,由,,可得底面.故可得平面平面.………………………………12分19.(本题12分)在数列中,,且对任意的都有.(1)求证:是等比数列；(2)若对任意的都有,求实数的取值范围.证:(1)由,得.又由,得.因此,是以为首项,以为公比的等比数列.…………5分解:(2)由(1)可得,即,,于是所求的问题:“对任意的都有成立”可以等价于问题:“对任意的都有成立”.若记,则显然是单调递减的,故.所以,实数的取值范围为.………………12分20.(本题13分)已知椭圆:的离心率为,过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点,为弦的中点.(1)求直线(为坐标原点)的斜率；(2)对于椭圆上的任意一点,设,求证:.解:(1)设椭圆的焦距为,因为,所以有,故有.从而椭圆的方程可化为:①易知右焦点的坐标为(),据题意有所在的直线方程为:.②由①,②有:.③设,弦的中点,由③及韦达定理有:所以,即为所求.………6分(2)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等式成立.设,由(1)中各点的坐标有:,故.……8分又因为点在椭圆上,所以有整理可得:.④由③有:.所以⑤又点在椭圆上,故有.⑥将⑤,⑥代入④可得:.……13分21.(本题14分)设函数有两个极值点,且.(1)求实数的取值范围；(2)当时,判断方程的实数根的个数,并说明理由.解:(1)由可得.令,则其对称轴为,故由题意可知是方程的两个均大于的不相等的实数根,其充要条件为,解得.……………………7分(2)由可知,,从而易知函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.①由在上连续、单调递增,且,以及,故方程在有且只有一个实根；②由于在上单调递减,在上单调递增,因此在上的最小值,故方程在没有实数根.综上可知,方程有且只有一个实数根.
