高一数学下学期竞赛试题一、选择题（共8题，每题4分）1．已知集合=，=，则集合=（）A．B．C．CRD．CR2．若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（）A．B．C．D．3．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．4．若直线通过第一、二、三象限，则（）A．B．C．D．5．设有直线和平面，下列四个命题中正确的是（）A．若则B．若则C．若则D．若则6．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为（）A．B．C．D．7．连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别为，M、N分别是AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于M。②弦AB、CD可能相交于N。③MN的最大值为5④MN的最小值为1。13/13其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（）ABCDMNPA1B1C1D1yxA．OyxB．OyxC．OyxD．O二、填空题9．已经直线经过点A（3，a），B（a-2,3），直线过M（3，a），N（6，5），若，则a=______________10．设定义在R上的函数满足，，则_____________11．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积为_______________12．已知函数①若，则的定义域为______________②若在区间上为的减函数，则的范围是__________________三、解答题13．已知A（4，1），B（0，4）两点和直线L：y=3x-1，（1）在直线L上找一点M，使|MA|+|MB|最小，求出M点坐标和最小值；（2）在直线L上找一点N，使||NA|-|NB||最大，求出N点坐标和最大值。13/1314．在三棱锥P-ABC中，CA=CB=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PCAC。（1）求证PCAB。ACB共8小题，每小题4分）P（2）求二面角B-AP-C的大小的正弦值15．已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3）（1）若有两个相等的根，求的解析式（2）若的最大值为正数，求a的取值范围13/1316．设a、b，且，定义在区间（-b,b）内的函数=是奇函数（1）求a的值（2）求b的取值范围（3）讨论的单调性。17．已知函数的定义域为R，对任意实数m、n都有，且当时，（1）证明，且时，>1（2）若，解关于x的不等式13/13浏阳一中2022年下学期高一数学竞赛试题答卷班级学号姓名………………………………………………………密…………………………………封…………………………………线………………………………………………………一选择题（共8小题，每小题4分）题号12345678答案二填空题（共4小题，每小题4分）9______________________10_______________________11_____________________12________________________________三解答题1313/1314ACBPACBP13/13151613/1317答案一、选择题（共8题，每题4分）1．已知集合=，=，则集合=（D）A．B．C．CRD．CR2．若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（B）A．B．C．D．3．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（D）A．B．C．D．4．若直线通过第一、二、三象限，则（D）A．B．C．D．5．设有直线和平面，下列四个命题中正确的是（D）A．若则B．若则C．若则D．若则13/136．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为（D）A．B．C．D．7．连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别为，M、N分别是AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于M②弦AB、CD可能相交于N③MN的最大值为5④MN的最小值为1其中真命题的个数为（C）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（B）ABCDMNPA1B1C1D1yxA．OyxB．OyxC．OyxD．O二、填空题9．已经直线经过点A（3，a），B（a-2,3），直线过M（3，a），N（6，5），若，则a=_0或5_____________10．设定义在R上的函数满足，，则_____________11．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积为_______________12．已知函数①若，则的定义域为______________②若在区间上为的减函数，则的范围是____13/13______________三、解答题13．已知A（4，1），B（0，4）两点和直线L：y=3x-1，（1）在直线L上找一点M，使|MA|+|MB|最小，求出M点坐标和最小值；（2）在直线L上找一点N，使||NA|-|NB||最大，求出N点坐标和最大值。解：（1）直线AB与直线L的交点即为所求的点M。直线AB的方程为，由方程组得M（。此时|MA|+|MB|的最小值为|AB|=5（2）设A（4，1）关于直线L：y=3x-1的对称点为C（x,y）得C（-2，3）BC的方程为直线BC与L的交点即为所求的点N得N（2，5）此时||NA|-|NB||最大即为|BC|=14．在三棱锥P-ABC中，CA=CB=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PCAC。（1）求证PCAB。ACB共8小题，每小题4分）P（2）求二面角B-AP-C的大小的正弦值（Ⅰ）取中点，连结．，．ACBDP，．，平面．平面，．（Ⅱ），，ACBEP．又，．又，即，且，平面．取中点．连结．13/13，．是在平面内的射影，．是二面角的平面角．在中，，，，．．15．已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3）（1）若有两个相等的根，求的解析式（2）若的最大值为正数，求a的取值范围解：设则不等式即为由其解集为（1，3）所以所以(a<0)(1)即为有两个相等的根或a=1（舍去）（2）若的最大值为2正数或16．设a、b，且，定义在区间（-b,b）内的函数=是奇函数（1）求a的值（2）求b的取值范围（3）讨论的单调性。13/13解：（1）函数是奇函数对于定义域内每个X都有f(-x)+f(x)=0得得=不得由得（3）f(x)是定义域内的减函数证明：设，则又.即函数f(x)是(-b,b)上的减函数。17．已知函数的定义域为R，对任意实数m、n都有，且当时，（1）证明，且时，>1（2）若，解关于x的不等式解：（1）设时，则-x>0,0<f(-x)<1f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1(2)由（1）f(x)>0设13/13，又f(x)是R上的减函数又由,得得：x<-1,或x>3本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供！13/13</f(-x)<1f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1(2)由（1）f(x)>
