诸暨市2021—2022学年第一学期期末考试试题高二数学注意：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．2．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：球的表面积公式球的体积公式其中表示球的半径柱体的体积公式其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式其中表示锥体的底面积，表示锥体的高台体的体积公式其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等比数列的前项和为，首项为，公比为，则（▲）A．B．C．D．2．下列关于抛物线的图象描述正确的是（▲）A．开口向上，焦点为B．开口向右，焦点为C．开口向上，焦点为D．开口向右，焦点为3．若直线与直线平行，则（▲）A．B．C．D．4．在空间直角坐标系中，已知点，，则线段的中点坐标与向量的模长分别是（▲）A．；B．；C．；D．；5．已知公差为的等差数列满足，则（▲）高二数学试题第12页（共4页）\nA．B．C．D．6．惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所完成的，建筑师的设计灵感源于想法：“你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下庇护”．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（▲）A．B．C．D．7．已知直线与圆相交于两点，当的面积最大时，的值是（▲）A．B．C．D．8．已知数列的前项和为，满足，，，则（▲）A．B．C．,,成等差数列D．,,成等比数列二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列直线方程中斜率的有（▲）A．B．C．D．10．已知曲线的方程为，则（▲）A．曲线关于直线对称B．曲线围成的图形面积为C．若点在曲线上，则D．若圆能覆盖曲线，则的最小值为11．小冰家向银行贷款万元，贷款时间为年，如果贷款月利率为，那么按照等额本金方式还款，她家从起始月开始，每月应还本金万元，每月支付给银行的利息（单位：万元）依次为若小冰家完全按照合同还款（银行利率保持不变，也未提前还贷），则小冰家的还款情况下列叙述正确的是（▲）A．小冰家每月的还款额是相等的B．小冰家总共还款次数是次C．小冰家最后一个月应还款是万元高二数学试题第12页（共4页）\nD．小冰家还完款，付的利息总额是万元12．如图所示，已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为,则（▲）A．圆和圆外切B．圆心一定不在直线上C．D．的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知空间向量，，若，则▲．14．已知数列满足，，则▲．15．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为坐标原点，记直线的斜率分别为，则▲．16．参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点。他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率▲．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题10分）已知等差数列的前项和为，满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式与前项和；（Ⅱ）求的值．18．（本题12分）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线只有一个公共点．高二数学试题第12页（共4页）\n（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）求直线的方程．19．（本题12分）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内（圆形区域的边界上无暗礁），已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处．（Ⅰ）若，轮船直线返港，没有触礁危险，求的取值范围?（Ⅱ）若轮船直线返港，且必须经过小岛中心东北方向处补水，求的最小值．20．（本题12分）如图，在四棱锥中，底面，，是的中点，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．21．（本题12分）已知数列的前项和分别是，满足，，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列对任意都有恒成立，求．22．（本题12分）如图，已知椭圆的左顶点，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，当直线轴时，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）记,的面积分别为，求的取值范围；（Ⅲ）若的重心在圆上，求直线的斜率．高二数学试题第12页（共4页）\n诸暨市2021学年第一学期高中期末调测高二数学参考答案一、单项选择题（每小题5分，共40分）题号12345678答案DAABCBCC二、多项选择题（每小题全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分，共20分）题号9101112答案ACDABCBCDABC三、填空题（每小题5分，共20分）13．14．15．16．四、解答题（共52分）17．解：（1）因为等差数列满足，，所以，……2´得，……2´；……2´（2）由（1）可知，……2´所以高二数学试题第12页（共4页）\n．……2´18．解：解：（1）因为焦点到准线的距离为，所以，……2´则；……2´（2）当直线的斜率存在时，设直线为，则，得，……2´当时，，此时直线为．……2´当直线的斜率不存在时，则，满足题意．……2´当时，显然唯一交点，此时直线为；……2´综上所述：直线直线为，或，或．19．解：（1）根据题意，以小岛中心为原点，建立平面直角坐标系，当时，则轮船返港的直线为，……2´因为没有触礁危险，所以原点到的距离，……2´解得高二数学试题第12页（共4页）\n．……2´（2）根据题意可得，轮船直线返航必须经过点，……1´设轮船返港的直线是，满足，……2´所以．当且仅当时取到最小值……3´20．法一：（坐标法）（1）证明：因为，，所以且，连接交于点，分别以为轴、轴，过作轴，建立如图空间直角坐标系，……2´不妨设，那么，，的中点，则，，……2´因为，所以；……2´（2）解：由（1）可知，，设平面的法向量为，高二数学试题第12页（共4页）\n所以，令，则，即，……3´则．……2´记直线与平面所成角为，．……1´（1）法二：（传统法）取中点，连……2´因为,平面……2´又因为所以平面，又因为平面，即……2´（2）法二：（等体积法）作的中点，连接，过点作交于点，显然，所以直线与平面所成角就是直线与平面所成角，高二数学试题第12页（共4页）\n根据，……2´有，……2´其中的面积都可以根据三边来求得．则．……2´21．解：（1）因为，，所以，……1´，得，所以；……2´因为，所以，……1´又由得，所以．……2´（2）当时，，……1´当时，，得，即，高二数学试题第12页（共4页）\n……2´记，则,,则．……3´22．解：（1）因为左顶点，所以，……1´根据，可得，解得，……1´所以；……1´（2）设直线为，则，则，，那么，……3´根据解得或，所以高二数学试题第12页（共4页）\n.……2´（3）设重心，则：……1´……1´所以……1´所以，即所求直线的斜率为.……1´高二数学试题第12页（共4页）\n高二数学试题第12页（共4页）
