丰台区2021～2022学年度第二学期期末练习高二数学2022.07第一部分（选择题共40分）一．选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1．已知函数，则（A）（B）（C）（D）2．的展开式中的系数是（A）（B）12（C）（D）63．设是数列的前n项和，若，则（A）-21（B）11（C）27（D）354．经验表明，某种树的高度y（单位：m）与胸径x（单位：cm）（树的主干在地面以上1.3米处的直径）具有线性相关关系.根据一组样本数据，用最小二乘法建立的经验回归方程为.据此模型进行推测，下列结论正确的是（A）y与x负相关（B）胸径为20cm的树，其高度一定为20m（C）经过一段时间，样本中一棵树的胸径增加1cm，估计其高度增加0.25m（D）样本数据中至少有一对满足经验回归方程5．在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（A）10.9（B）-10.9（C）5（D）-56．同时抛掷一枚红骰子和一枚蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为1”为事件，“两枚骰子的点数之和等于6”为事件，则\n（A）（B）（C）（D）7．甲，乙，丙3位同学从即将开设的4门校本课程中任选一门参加，则他们参加的校本课程各不相同的概率为（A）（B）（C）（D）8．“”是“函数在处有极小值”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件9．某项活动需要把包含甲，乙，丙在内的6名志愿者安排到A，B，C三个小区做服务工作，每个小区安排2名志愿者.已知甲必须安排在A小区，乙和丙不能安排在同一小区，则不同安排方案的种数为（A）24（B）36（C）48（D）7210．已知是不大于的正整数，其中.若，则正整数m的最小值为（A）23（B）24（C）25（D）26第二部分（非选择题共110分）二．填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.为了解性别因素是否对某班学生打篮球的经常性有影响，对该班40名学生进行了问卷调查，得到如下的22列联表：经常打篮球不经常打篮球合计男生420女生820合计40则_________，_________.12.由两个“1”和两个“2”组成的不同的四位数有_________个.（用数字作答）13.函数在处的瞬时变化率为_________.14.数列的通项公式为，若，则p的一个取值为______.\n15.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.每个瓶子的造价P1（单位：元）、瓶内饮料的获利P2（单位：元）分别与瓶子的半径r（单位：cm，）之间的关系如图甲、乙所示.设制造商的利润为，给出下列四个结论：①当时，；②在区间上单调递减；③在区间上存在极小值；④在区间上存在极小值.其中所有正确结论的序号是_________.三．解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（本小题14分）某同学在上学途中要经过一个路口，假设他骑车上学在该路口遇到红灯的概率为.已知该同学一周有3天骑车上学.（Ⅰ）求该同学在这3天上学途中恰有1天遇到红灯的概率；（Ⅱ）记该同学在这3天上学途中遇到红灯的天数为，求的分布列及数学期望.17.（本小题13分）已知等差数列的前项和为，，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下面的问题：（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．条件①：；条件②：.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．\n18.（本小题14分）已知函数，.（Ⅰ）当时，求在区间上的最大值和最小值；（Ⅱ）求的单调区间．19.（本小题15分）一兴趣小组为了解5种APP的使用情况，在某社区随机抽取了200人进行调查，得到使用这5种APP的人数及每种APP的满意率，调查数据如下表：APP第1种第2种第3种第4种第5种使用APP的人数160901509080满意率0.850.750.80.70.75（Ⅰ）从这200人中随机抽取1人，求此人使用第2种APP的概率；（Ⅱ）根据调查数据，将使用人数超过50%的APP称为“优秀APP”.该兴趣小组从这5种APP中随机选取3种，记其中“优秀APP”的个数为，求的分布列及数学期望；（Ⅲ）假设每种APP被社区居民评价为满意的概率与表格中该种APP的满意率相等,用“”表示居民对第种APP满意，“”表示居民对第种APP不满意.写出方差，，，，的大小关系.（只需写出结论）20.（本小题15分）已知函数.\n（Ⅰ）当时，求曲线点处的切线方程；（Ⅱ）求证：当时，函数存在极值；（Ⅲ）若函数在区间上有零点，求的取值范围.21.（本小题14分）已知数列是无穷数列.若，则称为数列的1阶差数列；若，则称数列为数列的2阶差数列；以此类推，可得出数列的阶差数列，其中.（Ⅰ）若数列的通项公式为，求数列的2阶差数列的通项公式；（Ⅱ）若数列的首项为1，其一阶差数列的通项公式为，求数列的通项公式；（Ⅲ）若数列的通项公式为，写出数列的阶差数列的通项公式，并说明理由.丰台区2021～2022学年度第二学期期末参考答案高二数学2022.07一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案DCBCDBACAB二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．16；1612．613．1\n14．（答案不唯一，只要满足“”即可）15．①③④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题14分）解：（Ⅰ）记“该同学在这3天上学途中恰有1天遇到红灯”为事件A，则，所以，该同学在这3天上学途中恰有1天遇到红灯的概率为.………………5分（Ⅱ）的所有可能取值为：0,1,2,3.，，，，的分布列为0123数学期望.………………14分（另解：，数学期望）17.（本小题13分）解：选择条件①：（Ⅰ）设公差为，因为，，所以，解得，所以.………………7分（Ⅱ）因为，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以………………13分选择条件②（评分标准同上）：（Ⅰ）设公差为，因为，，\n所以，解得，所以.（Ⅱ）与选择条件①时的第（Ⅱ）问答案相同.18.（本小题14分）解：（Ⅰ）当时，，.令得，或.当在区间上变化时，的变化情况如下表(1,2)2(2,3)-0+单调递减0单调递增因为，所以在区间上的最大值为3，最小值为0.………………6分（Ⅱ）,令得，或,当时，，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，，随着的变化，的变化情况如下表(-∞,)(,a)a(a,+∞)+0-0+单调递增单调递减0单调递增所以的单调递增区间为(-∞,)，(a,+∞)；的单调递减区间为(,a).当时，，随着的变化，的变化情况如下表(-∞,a)a(a,)(,+∞)\n+0-0+单调递增0单调递减单调递增所以的单调递增区间为(-∞,a)，(,+∞)；的单调递减区间为(a,).………………14分19.（本小题15分）解：（Ⅰ）记“从这200人中随机抽取1人，此人选择第2种APP”为事件A，由表中数据可得：200人中有90人选择使用了第2种APP，所以，.从这200人中随机抽取1人，此人选择第2种APP的概率为.…4分（Ⅱ）样本数据中有5种APP，其中“优秀APP”有2种，的所有可能取值为：0,1,2，,,,的分布列为012数学期望.………………11分（Ⅲ）<<=<………………15分20.（本小题15分）解：（Ⅰ）当时，，，，因为，所以曲线在处的切线方程为，即.………………4分（Ⅱ）.当时，由得，.随着的变化，的变化情况如下表\n(-∞,)(,+∞)-0+单调递减单调递增所以存在极小值，且极小值为.………………9分（Ⅲ），当时，，在区间上单调递减，且，因为在区间上有零点，所以，解得，所以.当时，，因为在区间上有零点，由（Ⅱ）可知，，因为函数是增函数，且，所以.综上所述，的取值范围是.………………15分21.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为，所以，.………………4分（Ⅱ）因为，且，所以，所以，，，，，……6分把上面个等式左右两边分别依次相加，得到，于是，又因为，所以.………………9分（Ⅲ）数列的阶差数列的通项公式为.\n理由如下：当时，，其1阶差数列的通过项公式，阶差数列各项均为0.当时，，其1阶差数列的通过项公式，2阶差数列的通项公式为，阶差数列各项均为0.假设时，的阶差数列为常数，阶差数列各项均为0.当时，的1阶差数列为因为的阶差数列就是的阶差数列，由假设知的k阶差数列各项均为常数.(因为的1阶差数列为，所以的1阶差数列为的1阶差数列与的1阶差数列的和，进而有的k阶差数列为的k阶差数列与的k阶差数列的和.)所以，数列的阶差数列的通项公式为.………………14分
