房山区2021—2022学年度第二学期期末学业水平调研高一数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。（1）“点在直线上，但不在平面内”，用数学符号表示正确的是（A）且（B）且（C）且（D）且（2）复数的虚部是（A）（B）（C）（D）（3）计算式子的结果是（A）（B）（C）（D）（4）若复数是虚数，则实数取值的集合是（A）（B）（C）（D）（5）在中，已知，，，则角（A）（B）（C）（D）（6）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（6）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则共轭复数（A）（B）（C）（D）（7）若，则（A）（B）（C）（D）（8）已知一个圆柱与一个圆锥的底面半径相等，圆柱的高等于其底面直径，圆锥的高等于其底面直径的倍.给出下列结论：①设圆柱与圆锥的体积分别为，则；②设圆柱与圆锥的轴截面面积分别为，则；\n③设圆柱与圆锥的侧面积分别为，则④设圆柱与圆锥表面积分别为，则其中所有正确结论的序号是（A）①（B）②③（C）①③④（D）①②③④。（9）“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（10）如图，以正方形的各边为底可以向外作四个腰长为的等腰三角形，则正方形与四个等腰三角形面积之和的最大值为（A）（B）（C）（D）二、填空题：本大题共6题，每小题5分，共30分。（11）已知复数，则复数的模是_______.（12）若复数，，则_______.（13）用一个平面截一个球，所得截面面积为，球心到截面的距离为，则该球的表面积为_______，体积为_______.（14）已知的三条边长分别为，则此三角形的最大角与最小角之和为_______.（15）如图，甲船在处，乙船在甲船正南方向距甲船海里的处，乙船以每小时海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时海里的速度由处向南偏西方向行驶，则经过_______小时后，甲、乙两船相距最近.\n北（16）若四面体各棱的长是或，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是_______.(只需写出一个可能的值)三、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分。（17）（本小题分）已知，，求值： (Ⅰ)； (Ⅱ)；(Ⅲ).（18）（本小题分）已知函数.(Ⅰ)求函数的最小正周期；(Ⅱ)求函数的值域.（19）（本小题分）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如:将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体).在如图所示的堑堵中，已知，，.当阳马体积等于时，求：(Ⅰ)堑堵的侧棱长；(Ⅱ)鳖臑的体积；(Ⅲ)阳马的表面积.\n（20）（本小题分）在中，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：的周长为．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（21）（本小题分）如图，在正方体中，是棱上一点，且.(Ⅰ)试画出过，，三点的平面截正方体所得截面；(Ⅱ)证明：平面与平面相交，并指出它们的交线.\n\n房山区2021—2022学年度第二学期期末学业水平调研高一数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。题号12345678910答案（A）（D）（C）（C）（A）（B）（D）（C）（A）（B）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。（11）（12）（13），（14）或（15）（16）或或分析：当该四面体是底面边长是的正三角形，侧棱长为正三棱锥时，可得表面种为；当该四面体是底面边长分别是，，，侧棱长分别为，，时，由三角形的任意两边之和大于第三边和该三棱锥一组对棱长为，其余棱长为，可得表面种为；当该四面体是底面边长是的正三角形，侧棱长分别为，，时，可得棱锥的表面种为.三、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分。（17）解： (Ⅰ)因为，，所以.所以.……………………6分\n(Ⅱ).……………………8分(Ⅲ)由 (Ⅰ)知，，，所以.所以.……………………14分（18）解：(Ⅰ)所以函数的最小正周期.……………………8分(Ⅱ)当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，所以函数的值域为.……………………14分（19）解：(Ⅰ)因为，，，所以.所以△为直角三角形.设堑堵的侧棱长为，则，则，所以，所以堑堵的侧棱长为.……………………5分(Ⅱ)因为，\n所以.所以鳖臑的体积为.……………………9分(Ⅲ)因为，，，，，所以阳马的表面积的表面积为.……………………14分（20）解：（Ⅰ）由得，所以.因为，所以．………………6分（Ⅱ）选②：………………8分因为，所以．因为，由正弦定理．又，所以的面积．…………………14分选③：………………8分因为的周长为，，即⑴．又，即⑵．由⑴⑵解方程组．\n所以的面积．……………………14分21.(Ⅰ)解：在取点一点，使得，延长，，，交于点，连结，则平面就是过，，三点的平面截正方体所得截面.……………………8分D1C1B1A1EDCFGBA(Ⅱ)证明：如图，因为面，面，所以面面，即平面与平面相交.延长，，设它们交于，则因为直线，直线面，所以面.直线，直线面，面.所以面面，从而为面与面的交线.……………………14分注：其它解法，请参照给分。
