永州市2022年上期高一期末质量监测试卷数学考生注意：1．全卷满分150分，时量120分钟．2．考生务必将选择题和填空题的答案填入答卷相应的答题栏内．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的共轭复数是A．B．C．D．2．已知，，则A．B．C．D．3．的内角，，的对边分别为a，b，c，若，则A．B．C．D．4．已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图为如图所示的三角形，其中，则该平面图形的面积为A．B．2C．D．45．在中，，，，则A．B．C．D．6．已知一组数据为30，40，50，50，55，60，70，80，90，则其极差、第50百分位数和众数的大小关系是A．极差第50百分位数众数B．众数第50百分位数极差C．极差众数第50百分位数D．极差第50百分位数众数7．《九章算术》中，将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，在四棱柱中，棱锥即为阳马，已知，则阳马的表面积为A．B．C．D．8．已知，点是边上的一点，，，，则的最小值为A．B．C．4D．16二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，完全选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是A．在复平面内对应的点位于第三象限B．若是纯虚数，那么C．D．若、在复平面内对应的向量分别为、（为坐标原点），则\n10．在下列关于概率的命题中，正确的有A．若事件A，B满足，则A，B为对立事件B．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件C．若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件D．若事件A，B满足，，，则A，B相互独立11．的内角，，的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是A．若，则B．若，则此三角形为等腰三角形C．若，，，则解此三角形必有两解D．若是锐角三角形，则12．如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则A．三棱锥的体积为定值B．过作直线，则C．过，，三点的平面截此正方体所得的截面图形可能为五边形D．三棱锥的外接球的半径的取值范围是三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在中国共产主义青年团建团100周年之际，某高中学校计划选派60名团员参加“文明劝导”志愿活动，高一、高二、高三年级的团员人数分别为100，200，300，若按分层抽样的方法选派，则高一年级需要选派的人数为．14．在直角三角形中，，，将此三角形绕直线旋转一周，所得几何体的体积为．15．定义平面非零向量之间的一种运算“”，记（其中是非零向量，的夹角）．若，均为单位向量，且，则．16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最小值为．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）在平行四边形中，为中点，记，．（1）试用，表示；（2）若，，，求与的夹角．18．（本题满分12分）中国神舟十三号载人飞船于2022年4月16日圆满完成飞行任务，神州\n十三号的成功又一次激发了广大中学生对于航天的极大兴趣.某校举行了一次主题为“航天梦，强国梦”的知识竞赛活动，用简单随机抽样的方法，在全校选取100名同学，按年龄大小分为大龄组甲和小龄组乙两组，每组各50人，所有学生竞赛成绩均在60~100之间，甲组竞赛成绩的频率分布表和乙组竞赛成绩的频率分布直方图，如下图所示．（1）求a，b，x的值；（2）若以平均分为依据确定小组成绩的优劣，你认为哪个小组成绩更优？请说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若成绩不低于90分的同学称为“航天追梦者”，以选取的100名同学作为样本，试估计该校2000名学生中“航天追梦者”的人数．19．（本题满分12分）如图1，在边长为的菱形中，，为线段的中点；将沿折起到的位置，使得平面平面，连接，，如图2．（1）证明：；（2）求点到平面的距离．20．（本题满分12分）某品牌电脑售后保修期为一年，根据1000台电脑的维修记录资料（保修期内所有电脑维修次数均不超2次），这1000台电脑在保修期内需要维修1次的有300台，需要维修2次的占．以这1000台电脑维修次数的频率代替1台电脑维修次数的概率．（1）求1台电脑保修期内不需要维修的概率；（2）若某人购买2台这个品牌的电脑，2台电脑在保修期内是否需要维修互不影响，如果2台电脑保修期内需要维修的次数总和不超过2次的概率大于0.8，则认为该品牌电脑“值得信赖”，请判断该品牌电脑是否“值得信赖”，并说明理由．21．（本题满分12分）如图所示，在四棱锥中，已知底面是边长为6的菱形，，，，为线段上的点，且．（1）证明：平面平面；（2）为线段上的一点，且平面，求的值及直线与平面的夹角．\n22．（本题满分12分）如图，设中角，，所对的边分别为a，b，c，为的中点，已知，．（1）若，求；（2）点，分别为边，上的动点，线段交于，且，，，求的最小值．\n永州市2022年上期高一期末质量监测试卷数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案ABADBABC二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．题号9101112答案BCCDADABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13、1014、15、16、四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题8分）解：（1）由题可知…………………………………………………………………2分…………………………………………………………………………4分（2）…………………………………………………………………5分………………………………………………………………………6分记与的夹角为则…………………………………………………………………7分…………………………………………………………8分……………………………………………………………9分与的夹角为……………………………………………………………10分\n18.（本小题12分）解：（1）由甲组的频数分布表可知………………………………………………1分解得………………………………………………………………………2分由乙组的频率分布直方表可知………………………………………………………3分…………………………………………………………………………4分（2）记甲组平均分为：…………………………………………5分记甲组平均分为：………………………………………6分因为…………………………………………………………………………7分即甲组成绩更优…………………………………………………………………8分（3）由频率分布表可知甲组中“航天追梦者”的人数为：10人………………………………………………9分乙组中“航天追梦者”的人数为：人……………………………………10分甲、乙两组中“航天追梦者”的频率……………………………………11分甲、乙组中“航天追梦者”的人数为：人…………………………12分19.（本小题12分）解：（1）在图1中连接，，为等边三角形………………………1分又为的中点即………………………2分在图2中，平面平面，交线为，平面平面………………………4分平面………………………5分（2）在图2中，连接，平面，平面又，平面………………………6分\n平面，则………………………7分即，均为直角三角形………………………8分在中，，设点到平面的距离为故………………………9分………………………10分………………………11分即点到平面的距离为………………………12分20.（本小题满分12分）解：（1）由题意可知该品牌电脑保修期内维修1次的概率为：…………………………………2分该品牌电脑保修期内维修2次的概率为：…………………………………3分该品牌电脑一年不需要维修的概率为：…………………………5分（2）品牌表示第1台电脑在保修期内维修次的事件（）品牌表示第2台电脑在保修期内维修次的事件（）………………6分………………………………………7分与相互独立，都互斥………………………………………8分2台电脑保修期内需要维修的次数总和为0的概率：………………………………………9分2台电脑保修期内需要维修的次数总和为1的概率：………………………10分2台电脑保修期内需要维修的次数总和为2的概率：……………………11分2台电脑保修期内需要维修的次数总和不超过2次的概率所以认为该品牌“值得信赖”………………………………12分21.（本小题满分12分）解：（1）设与相交于点,连接四边形为菱形,………………………1分\n,………………………2分又则平面………………………4分平面平面平面.………………………5分（2）在线段上作点，过点作，交于，连接，，，则，故，，，四点共面平面，平面，平面平面，故四边形为平行四边形，则………………………6分,………………………7分，………………………8分在中，,在（1）中已证，又平面……………………9分过作，交于点，故且在中，,……………………10分连接,在中,……………………11分平面,则直线与平面的夹角为在中，，直线与平面的夹角为……………………12分22.（本小题满分12分）解：（1）由……………………2分……………………3分解得……………………4分（2）由（1）可知：\n……………………5分解得……………………6分（若没有计算的计算过程扣2分）设，，设，…7分解得……………………8分……………………9分……………………10分令……………………11分……………………12分（其他方法酌情给分）
