3导数（三）一、单选题．1．函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．2．函数，的图象与直线分别交于两点，则的最小值为（）A．1B．C．3D．23．已知且，，，则（）A．B．C．D．4．已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则（）A．，B．，C．，D．，二、多选题．5．若，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．6．关于函数，则下列结论正确的是（）A．是的极小值点\nB．函数有且只有1个零点C．对任意两个正实数x1，x2，且，若，则D．存在正实数k，使得恒成立7．若函数在上有最大值，则a的取值可能为（）A．B．C．D．三、填空题．8．已知函数，若存在唯一零点，则的最大值为_________．9．已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围为__________．四、解答题．10．已知函数，对任意，都有．讨论的单调性．\n11．已知函数．（1）若函数在区间（其中）上存在极值，求实数a的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．12．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）讨论在上的零点个数．\n13．已知函数存在极大值．（1）求实数a的值；（2）若函数有两个零点，，求实数m的取值范围，并证明：．\n答案与解析一、单选题．1．【答案】A【解析】由题意，函数，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，要使得函数有三个零点，则满足，解得，即实数的取值范围是，故选A．2．【答案】C【解析】设，则，所以，，所以，令，得，此时单调递减；令，得，此时单调递增，所以，则，则，故选C．3．【答案】A【解析】，，，\n故构造函数，，当时，；当时，，如图：∵，由图知，故选A．4．【答案】D【解析】依题意，令，则，于是得函数在上单调递减，则有，，即，，所以，，故选D．二、多选题．5．【答案】BD【解析】对于选项A，令，则，当时，的正负不确定，则的单调性不确定，故与的大小不确定，故A错误；对于选项B，令，则，当时，，∴在上单调递增，\n又∵，∴，即，即，故B正确；对于选项C，令，则，当时，，∴在上单调递增，又∵，∴，即，故C错误；对于选项D，令，则，当时，，∴在上单调递增，又∴，∴，即，即，故D正确，故选BD．6．【答案】ABC【解析】对于函数，其定义域为，由于，令可得，当时，；当时，，可知是的极小值点，选项A正确；设，则，可知在上单调递减，又，，所以方程有且仅有一个根，即函数有且只有1个零点，选项B正确；由是的极小值点，可知若时，，易知，则\n，令，则，，则，，则在上单调递减，，故，又在上单调递增，则，故，选项C正确；令，得，即．设，，则，设，，则，因为，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，则恒成立，所以函数在上单调递减，所以不可能存在正实数k，使得恒成立，故选D不正确，故选ABC．7．【答案】ABC【解析】令，得，，当时，；当或时，，则的增区间为，减区间为，\n从而在处取得极大值，由，得，解得或，又在上有最大值，所以，即，故选ABC．三、填空题．8．【答案】【解析】由可得，因为存在唯一零点，而是的一个零点，所以不存在根或存在唯一根1．令，则．于是在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，，所以，故的最大值为，故答案为．9．【答案】或【解析】由，得，所以是上的奇函数．又，\n当且仅当时取等号，所以在其定义域内单调递增．因为，所以，所以，即，解得或，故实数的取值范围是或，故答案为或．四、解答题．10．【答案】答案见解析．【解析】由，即，得，则，，令，若，即时，，在上单调递减；若，即时，有两个零点，零点为，．又图象开口向下，当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；当时，，，单调递减，综上所述，当时，在上单调递减；\n当时，在和上单调递减，在上单调递增．11．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）函数的定义域为，则，令，当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，故函数在处取得极大值，且极大值为．∵函数在区间(其中)上存在极值，∴，解得，即实数的取值范围为．（2）当时，不等式，即，令()，∴，令()，则，∴在上单调递增，∴，从而，故在上也是单调递增，∴，∴．\n12．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．【解析】（1）因为，则，当时，，此时在上单调递减；当时，令，可得，则当时，，单调递增；当时，，单调递减，综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）当时，在上单调递减，又，故当时，，故此时在无零点；当时，，故在单调递减；同时，此时在无零点；当时，，故在单调递增，在单调递减，，若，即时，，故在无零点；若，即时，，此时在有一个零点；若，即时，，又因为，故在上一定存在一个零点；又因为，且，故在上也一定存在一个零点，下证：，令，则，即在单调递减，\n故，即，故．故当时，有两个零点．综上所述：当时，在无零点；时，在有一个零点；时，有两个零点．13．【答案】（1）；（2），证明见解析．【解析】（1）解：函数，则，令，解得，所以，解得，此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，所以当时，函数取得极大值，符合题意，故．（2）证明：由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，函数的极大值为，函数，则，当时，；当时，，当时，，由于函数有两个零点，，所以，且，，所以，则，即，即，\n两边同时取对数，则，要证明，只需证明，即证明，不妨设，令，则，即证对于恒成立，令，则，所以在上单调递增，故，即，所以，故．
