江西省上饶市六校2022届高三第二次联考数学（理科）试题考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．已知R为实数集，集合，则（）A．B．C．D．2．复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列结论错误的是（）A．若“”为真命题，则p、q均为真命题B．“”是“”的充分不必要条件C．命题“若，则”的否命题是“若，则”D．命题“，都有”的否定是“，使得”4．函数的大致图像为（）A．B．C．D．5．为得到函数的图像，只需把函数的图像（）\nA．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位6．在区间上随机取两个数x、y，则满足的概率为（）A．B．C．D．7．已知是上的奇函数，且对，都有，当时，函数，则（）A．B．C．D．8．新冠疫情期间，某市卫健委将6名调研员安排到本市4家核酸检测定点医院进行调研，要求每家医院至少安排1人，至多安排2人，则不同的安排方法有（）A．4320种B．2160种C．1080种D．540种9．如图，在长方体中，，E是棱上靠近B的三等分点，F，G分别为的中点，P是底面内一动点，若直线与平面垂直，则三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．10．第24届冬季奥林匹克运动会闭幕式，于2022年2月20日在国家体育场（鸟巢）的场馆举行．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两层的钢骨架是离心率相同的椭圆．假设内层椭圆的标准方程为，外层精圆的标准方程为，若由外层椭圆上的一点A向内层椭圆引切线、，且两切线斜率都存在，则两切线斜率的积等\n于（）A．B．C．D．不确定11．已知的外心为点O，M为边上的一点，且，则的面积的最大值等于（）A．B．C．D．12．设，其中e是自然对数的底数，则（）注：A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，且，则实数的值为___________．14．已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则边长c的值为__________．15．已知函数，若且在区间上有最小位无最大值，则_______．16．已知双曲线的左焦点为F，过F的直线l与圆相切于点T，且直线l与双曲线C的右支交于点P，若双曲线C的离心率为，则_______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21\n题为必考题，第22、23题为选考题．17．（12分）计算机和互联网的出现使得“千里眼”“顺风耳”变为现实．现在，5G的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，5G经济收入在近一个时期内逐月攀升，如图是该创新公司2021年1至7月份的5G经济收入（单位：千万）的折线图．（1）由折线图初步判断，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请建立y关于t的回归方程；（2）若该创新公司定下了2021年内5G经济月收入突破2千万的宏伟目标，请你预测该公司能否达到目标？附注：参考数据：参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为18．（12分）已知数列，且为等差数列．（1）求的通项公式；（2）若对任意正整数n，都有，求m的取值范围．19．（12分）如图，四棱锥中，平面平面．\n（1）若为等边三角形，求证：平面；（2）当四棱锥的体积最大时，求二面角的正切值．20．（12分）已知抛物线上的点到准线的距离为a．（1）求抛物线C的方程；（2）设，O为坐标原点，过点的直线l与抛物线C交于不同的A、B两点，问：是否存在直线l，使得，若存在，求出的直线l方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数，其中．（1）求的极值；（2）设函数有三个不同的极值点．（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）证明：．22．（选考题）（10分）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为：．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线、分别交于A、B两点，求．23．（选考题）（10分）已知．（1）解关于x的不等式；\n（2）若对任意实数x，及任意正实数a，b，且，都有恒成立，求实数的取值范围．江西省上饶市六校2022届高三第二次联考数学（理科）答案1．D2．A3．D4．B5．D6．A7．B8．C9．B10．A11．C12．C13．14．15．4或1016．311．，，当且仅当时，取等号；12．令，则在单调递减，，∵；，∴，令，∴在单调递增，∴，∴；16．设双曲线C的右焦点为G，过G作于H，由中位线定理知：\n，，∵，设，由双线定文知：，又∵，由勾股定理知：∵；另解：在中，有，∵，∴∵，∴设，在中，有，由得17．（1）结合题中数据可得，3分，5分∴y关于t的回归方程为；6分\n（2）由回归方程预测2021年12月份5G经济收入为，能达到目标．12分18．（1）由题可知，∴等差数列的公差，∴，∴，3分当时，，5分又∵，∴；6分（2）由（1）可知，∴．9分由题可知，∴m的取值范围是12分19．（1）在底面四边形中，，∵是等边三角形，∴，∴，3分又∴平面，∴平面，∴平面；5分（2）∵，，∴，又∵平面平面平面，平面平面，∴平面，7分取中点H，∵，∴，∵平面平面，∴，∴平面，∴，∴即为二面角的平面角，9分\n∵，其中为所成的角，∵，∴时，四棱锥的体积最大，此时，∴，∴是等边三角形，∴，在中，∴，∴，∴二面角的正切值为12分（另解：记四边形的面积为S，，则当时，S取得最大值．）20．（1）由题可知：，∴抛物线C的方程为4分（2）假设存在满足题意的直线l，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，、，则，、，6分由，得由题可知：，\n∴，∴，10分故存在满足题意的直线l，直线l的方程为，12分21．（1），1分∴在单调递增，∵，∴时，时，∴在单调递减，在单调递增，∴，无极大值；4分（2）（ⅰ）5分由题可知有三个不同的正实根，令，则，令，有三个不同的正实根、、，，∴有两个不同的正实根，∴∴，7分设的两个不同的正实根为m、n，且，此时在和单调递增，单调递减，又∵，∵，且，∴有三个不同的正实根，满足题意，∴a的取值范围是；8分（ⅱ）令、，由（ⅰ）知，且、为\n的正实根，，令，则，，令在单调递增、，∴在单调递减，在单调递增，9分令，，∵，∴，令，，∴在单调递增，∴，∴在单调递减，∵，∴，∵，∴，∵在单调递增，∴，∴12分22．（1）曲线和曲线的直角坐标方程分别为5分（2）曲线的极坐标方程为，令，∵，∴．10分23．（1）不等式的解集为；5分（2），当且仅当时，，7分\n∴，当且仅当、时，∴，∴，∴实数的取值范围是．10分
