绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷(银川一中第三次模拟考试)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，若，则实数的取值范围为A．B．C．D．2．复数在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知数列满足（）,且，，则A．B．C．D．4．平面向量，，则向量在向量方向上的投影为A．B．1C．D．5．函数的大致图象为\nA．B．C．D．6．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是A．B．C．D．7．若，则A．B．C．D．8．某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有A．320种B．360种C．370种D．390种9．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝2|PF2|，则此双曲线的离心率e的范围为A．(1，＋∞)B．(1，3]C．(2，3]D．(1，2]10．设函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为A．B．C．D．11．已知三棱锥，，，平面且，则此\n三棱锥的外接球的体积为A．B．C．D．12．已知函数在区间内有唯一零点，则实数的取值范围为A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则.14．数列的前项和记为，若，则数列通项公式为________．15．在平面直角坐标系中，设抛物线与在第一象限的交点为A，若的斜率为2，则________．16．若将函数的图象向右平移个单位得到图象，且图象过点，若关于的方程在上恰有一个实数解，则的取值范围是________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分)17．(12分)在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，．（1）若，求sinAsinC的值（2）试问能否成立？若能成立，求此时的周长；若不能成立，请说明理由．\n18．（12分）某研究院为了调查学生的身体发育情况，从某校随机抽频率组距测120名学生检测他们的身高（单位：米），按数据分成这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中身高大于或等于1．59米的学生有20人，其身高分别为1．59，1．59，1．61，1．61，1．62，1．63，1．63，1．64，1．65，1．65，1．65，1．65，1．66，1．67，1．68，1．69，1．69，1．71，1．72，1．74，以这120名学生身高在各组的身高的频率估计整个学校的学生在各组身高的概率．（1）求该校学生身高大于1．60米的频率，并求频率分布直方图中m、n、t的值；（2）若从该校中随机选取3名学生（学生数量足够大），记X为抽取学生的身高在(1.4，1.6]的人数求X的分布列和数学期望．19.（12分）已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PD＝PB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且BD∥平面AMHN.(1)证明：MN⊥PC；(2)当H为PC的中点，PA＝PC＝AB，PA与平面ABCD所成的角为60°，求AD与平面AMHN所成角的正弦值．20.（12分）函数，.(1)求函数的单调区间；\n(2)求证：当时，．21．（12分）已知离心率为的椭圆经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点关于轴的对称点为，过点斜率为，的两条动直线与椭圆的另一交点分别为、(、皆异于点)．若，求的面积最大值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）当时，求出的普通方程，并说明该曲线的图形形状．（2）当时，P是曲线上一点，Q是曲线上一点，求||的最小值．23．[选修4-5：不等式选讲]已知函数．（1）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围；（2）若，，求证：．\n银川一中2021届高三第三次模拟数学(理科)参考答案一、选择题123456789101112CACADAABBDDB12．【解析】由题可知等价于在区间内只有一个根，即在区间内只有一个根，令，令，，函数在区间单调递增，，所以，函数在区间单调递增，所以有，即，故选B．二、填空题13．214.15．16．15.【解析】设，由，则，故得，代入抛物线得．故答案为16.【解析】由题意，函数，函数的图象向右平移个单位得到，因为图象过点，可得，因为，可得，所以，又由关于的方程在上恰有一个实数解，即在上恰有一个实数解，\n因为，可得，则满足，可得，若不存在时，则满足或，解得或；若存在时，则，当时，可得，解得，当时，可得，此时不存在，综上可得，的取值范围是．三、解答题17.（12分）【解析】（1）由，得，，即．因为，所以．（2）假设能成立，所以．由余弦定理，，所以．所以，所以，所以或-2（舍），此时．不满足，所以不成立．18．（12分）【解析】（1）由题意可知120名学生中身高大于1．60米的有18人，所以该校学生身高大于1．60米的频率为记为学生身高，则\n所以，，；（2）由（1）知学生身高在的概率随机变量服从二项分布则所以的分布列为01230．0270．1890．4410．34319.【解析】(1)证明：连接AC、BD且AC∩BD＝O，连接PO.因为ABCD为菱形，所以BD⊥AC，因为PD＝PB，所以PO⊥BD，因为AC∩PO＝O且AC、PO⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC，因为BD∥平面AMHN，且平面AMHN∩平面PBD＝MN，所以BD∥MN，MN⊥平面PAC，所以MN⊥PC.(2)由(1)知BD⊥AC且PO⊥BD，因为PA＝PC，且O为AC的中点，所以PO⊥AC，所以PO⊥平面ABCD，所以PA与平面ABCD所成的角为∠PAO，所以∠PAO＝60°，所以AO＝PA，PO＝PA，因为PA＝AB，所以BO＝PA.以，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设PA＝2，所以O(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，－，0)，C(－1，0，0)，D(0，，0)，P(0，0，)，H(－，0，)，所以＝(0，，0)，＝(－，0，)，＝(－1，，0)．设平面AMHN的法向量为n＝(x，y，z)，所以即令x＝2，则y＝0，z＝2，所以n＝(2，0，2)，\n设AD与平面AMHN所成角为θ，所以sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝.所以AD与平面AMHN所成角的正弦值为.20.(12分）【解】：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．由f(x)＝x－lnx，得f′(x)＝1－＝，当x∈(0，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)的单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，＋∞)．(2)证明：要证xf(x)≤g(x)，即证x(x－lnx)≤aex，即证a≥.设h(x)＝，则h′(x)＝＝，由(1)可知f(x)≥f(1)＝1，即lnx－(x－1)≤0，于是，当x∈(0，1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减．所以x＝1时，h(x)取得最大值，h(x)max＝＝，所以当a≥时，xf(x)≤g(x)．21．（12分）【解析】（1）由条件可知，则，即，椭圆方程为，代入点，得，，所以椭圆方程是；（2）设过点的直线的方程：，与椭圆方程联立，得，，得，同理，因为，所以，，，直线的方程为，\n整理为，由题意可知点，点到直线的距离，，，设函数，函数是奇函数，所以直线考查时，函数的最大值，整理为，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，所以面积的最大值是．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）当时，消t得，是以，为端点的线段．（2）当时，曲线的普通方程为椭圆：；由得曲线的普通方程为直线：；由得，，可知直线与椭圆相离，则的最小值为P到直线的距离最小值，则，当时，有最小值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）\n【解析】（1）解：当时，，所以恒成立，即，所以或，所以或恒成立，所以或．又，所以或，所以实数a的取值范围是．（2）证明：要证，只需证．由，，得，，则，所以．
