绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷(银川一中第三次模拟考试)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，若，则实数的取值范围为A．B．C．D．2．复数在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知数列满足（）,且，，则A．B．C．D．4．平面向量，，则向量在向量方向上的投影为A．B．1C．D．5．函数的大致图象为\nA．B．C．D．6．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是A．B．C．D．7．若，则A．B．C．D．8．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝2|PF2|，则此双曲线的离心率e的范围为A．(1，＋∞)B．(1，3]C．(2，3]D．(1，2]9．关于线性回归的描述，有下列命题：①回归直线一定经过样本中心点;②相关系数r的绝对值越大,拟合效果越好;③相关指数越接近1拟合效果越好;④残差平方和越小，拟合效果越好;其中正确的命题个数为A．1B．2C．3D．410．设是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若，，∥，∥，则∥;②⊥，⊥，则∥;③若⊥，⊥，则∥;④若⊥，，则⊥;其中正确的命题个数为A．0B．1C．2D．3\n11．设函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为A．B．C．D．12．已知三棱锥，，，平面且，则此三棱锥的外接球的体积为A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则=.14．数列的前项和记为，若则通项公式为________．15．在平面直角坐标系中，设抛物线与在第一象限的交点为A，若OA的斜率为2，则________．16．函数的图像是由函数y=(大于零）的图像向左平移个单位所得，若函数在范围内单调，则的范围是________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分)17．(12分)在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，．（1）若，求sinAsinC的值（2）试问能否成立？若能成立，求此时的周长；若不能成立，请说明理\n由．18．（12分）某餐厅提供自助餐和点餐两种服务，其单人平均消费相近，为了进一步提高菜品及服务质量，餐厅从某日中午就餐的顾客中随机抽取了100人作为样本，得到以下数据表格．（单位：人次）满意度老年人中年人青年人自助餐点餐自助餐点餐自助餐点餐10分（满意）1212022015分（一般）22634120分（不满意）116232（1）由样本数据求三种年龄层次的人选择自助餐的频率，并指出哪一类更倾向于选择自助餐?（2）为了和顾客进行深人沟通交流，餐厅经理从点餐不满意的顾客中选取2人进行交流，求两人都是中年人的概率；（3）若你朋友选择到该餐厅就餐，根据表中的数据，通过对两种就餐方式满意度得分的平均值的比较，你会建议你朋友选择哪种就餐方式?19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，为正三角形，为的中点．（1）求证：平面；（2）若点在棱上，且平面，求三棱锥的体积．20．（12分）设是的两个极值点,为的\n导函数.(1)如果,求的取值范围;(2)如果,,求证:;21．（12分）已知离心率为的椭圆经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点关于轴的对称点为，过点斜率为，的两条不重合的动直线与椭圆的另一交点分别为、(、皆异于点)．若，求点Q到直线MN的距离的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）当时，求出的普通方程，并说明该曲线的图形形状．（2）当时，P是曲线上一点，Q是曲线上一点，求||的最小值．23．[选修4-5：不等式选讲]已知函数．（1）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围；（2）若，，求证：．\n银川一中2021届高三第三次模拟数学(文科)参考答案一、选择题123456789101112CACADAABDBDD二、填空题：13.214.15.16.(0，][，]三、解答题：17.【解析】（1）由，得，，即．因为，所以．（2）假设能成立，所以．由余弦定理，，所以．所以，所以，所以或-2（舍），此时．不满足，所以不成立．18.【详解】（1）由题知，老年人选择自助餐的频率，中年人选择自助餐的频率，青年人选择自助餐的频率，则，即中年人更倾向于选择自助餐．（2）点餐不满意的人群中，老年人1人（设为），中年人2人（设为，），青年人2人（设为，）．从中选取2人，其基本事件有，，，，，，，，，，共10个基本事件，其中2人都是中年人仅有一个符合题意；故两人都是中年人的概率为．（3）由表可知，自助餐满意的均值为：．\n点餐满意的均值为：，故建议其选择自助餐．19.【解析】（1）因为为正三角形，为的中点，所以．因为，，为的中点．所以四边形为平行四边形，所以．又，所以，即．又，所以平面．（2）连接，交于，连接．因为平面，平面，平面平面，所以．因为，，为的中点．所以四边形为平行四边形，所以为的中点，所以为的中点．因为平面平面，平面平面，，所以平面．因为，则．所以．20.解:（Ⅰ）对求导得,由题意是方程的两根.由,且得即,由(1)(2)所表示的平面区域可求得,故.所以的取值范围是.(Ⅱ)方程的两根为,由根与系数的关系得由于,两式相除得,即.由条件可得,易知当时,是增函数,当时,,故的取值范围是命题得证21.【解析】（1）由条件可知，则，即，椭圆方程为，代入点，得，，\n所以椭圆方程是；（2）设过点的直线的方程：，与椭圆方程联立，得，得，由已知的，得，同理，因为，所以，，，直线的方程为，整理为，由题意可知点，点到直线的距离=（当且仅当时取等号）由于此时，所以等号不成立，又，所以综上得且22.【解析】（1）当时，消t得，是以，为端点的线段．（2）当时，曲线的普通方程为椭圆：；由得曲线的普通方程为直线：；可知直线与椭圆相离，则的最小值为P到直线的距离最小值，则，\n当时，有最小值．23.【解析】（1）解：当时，，所以恒成立，即，所以或，所以或恒成立，所以或．又，所以或，所以实数a的取值范围是．（2）证明：要证，只需证．由，，得，，则，所以．
