西安地区（陕师大附中、西安高级中学、西安高新一中、西安交大附中、西安市83中、西安市85、中西安市一中、西安铁一中、西安中学、西工大附中）八校联考2021届高三年级数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共0分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B2.已知复数，则（）A.B.C.D.【答案】A3.给出如图所示的算法框图，若输出的时，a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B4.已知数列满足点在直线上，则数列的前项和（）A.B.C.D.【答案】D
5.已知双曲线的焦点到其渐近线的距离为4，则双曲线的渐近线方程是（）A.B.C.D.【答案】C6.已知，，（参考值，），则a，b，c的大小关系是（ ）.A.B.C.D.【答案】B7.已知向量，，，则以向量与为基底表示向量的结果是（）A.B.C.D.【答案】A8.已知数列是等比数列，且，，则数列（）A.1984B.1920C.992D.960【答案】A9.函数的零点的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B10.若，则（ ）.A.88B.86C.76D.66【答案】C11.一个由橡皮泥制作的空间几何体的三视图如右图，三个视图的外边框都是边长为6的正方形，各边上的交点为边的中点.将该几何体揉搓成一个球体（不计损耗），则该球体的半径为
（ ）（圆周率π取3）.A.B.C.D.【答案】D12.已知在线段上有、两点，满足，，，点在线段上运动，设为中点，为的中点（如下图），则的值（）A.等于B.等于C.等于D.与的位置有关【答案】B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上）13.已知随机变量，则__________（用数字作答）.【答案】14.已知角的顶点是直角坐标系的原点，始边与轴的非负半轴重合，若是的终边上一点，则________．【答案】15.已知椭圆左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与过的直线交于点，点在椭圆上，且．则椭圆的离心率________．
【答案】16.已知可导函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集是________．【答案】三、解答题（共7小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题.第22，23题为选考题，考生根据要求作答）17.已知函数的最大值为，且的最小正周期为．（1）若，求的最小值和最大值；（2）设的内角、、的对应边分别为、、，为的中点，若，，，求的面积．【答案】（1），；（2）.18.已知抛物线的焦点为，过轴正半轴上一点的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，且（Ⅰ）求证：直线过定点；（Ⅱ）设点关于直线的对称点为，求四边形面积的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.19.如图，在三棱锥中，侧面是边长为6等边三角形，底面是角C为的等腰三角形，
（1）求证：平面平面；（2）若M在上，且，求二面角余弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）20.中国悠久文化之一“石头，尖刀，布”游戏，留传至今，仍然是人们喜爱的一种比胜负的游戏方式.“石头”即拳头，“尖刀”即食指和中指，“布”即手掌，“石头”胜“尖刀”，“尖刀”胜“布”，“布”胜“石头”、现在有甲、乙、丙三人玩“石头、尖刀、布”游戏比胜负、假定每个人每次伸出什么手势是随机的并且是均等的（一次游戏，可以仅一人获胜或两人同时获胜或不分胜负.不分胜负即三人手势均相同或互不相同）（1）若进行一次“石头，尖刀，布”游戏，求仅甲获胜的概率和有两人同时获胜的概率；（2）若进行一次“石头、尖刀、布”游戏，仅一人获胜时，获胜者得5分，失败者各得分—2；有2人同时获胜时，获胜者各得3分，失败者得－2分；不分胜负时，各得0分.现在进行两次“石头、尖刀，布”游戏，用X表示甲所得的总分数，求X的分布列和期望.【答案】（1）；（2）21.设函数.（1）讨论单调性；（2）当时，求证：（e为自然对数的底数）.【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增；函数在上单调递减.（2）证明见详解.22.已知极坐标系与直角坐标系的极点与原点重合，极轴与轴的非负半轴重合，有相同的单位长度．曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，）．（Ⅰ）求曲线的长度；（Ⅱ）若直线被曲线截得线段长为4，求实数的集合．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）23.已知．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）求证：，对，，不等式成立．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见详解.
