宜宾市普通高中2019级第二次诊断测试文科数学（考试时间：120分钟全卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合，，则A．B．C．D．2．已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是A．B． C． D．3．若满足则的最大值为A．B．C．D．4．为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试．右图是该次考试成绩随机抽样样本的频率分布直方图，则下列关于这次考试成绩的估计错误的是A．众数为82.5B．中位数为85C．平均数为86D．有一半以上干部的成绩在80～90分之间5．在边长为的正方形内部任取一点,则到正方形各个顶点距离均大于的概率为A．B．C．D．6．设数列的前项和为，若，则A．B．C．D．7．已知一个直角三角形的两条直角边分别为和，以它的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周所围成的旋转体的表面积为A．B．C．D．8．物理学家和数学家牛顿（IssacNewton）提出了物体在常温下温度变化的冷却模型：设物体的高2019级二诊文科数学试题第8页共8页学科网（北京）股份有限公司
初始温度是(单位：℃)，环境温度是(单位：℃)，且经过一定时间(单位：min)后物体的温度(单位：℃)满足（为正常数）．现有一杯℃的热水，环境温度为℃，冷却到℃需要，那么这杯热水要从℃继续冷却到℃，还需要的时间为A．B．C．D．9．已知，将函数的图象向右平移个单位得到，则使得函数是偶函数的的最小值是A． B． C． D．10．设是双曲线的左右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，与另一条渐近线交于点，，则的离心率为A．B．C．D．11．如图，在正四棱柱中，是线段上的动点，有下列结论： ①； ②，使； ③三棱锥体积为定值； ④三棱锥在平面上的正投影的面积为常数． 其中正确的是A．①②③B．①③C．②③④ D．①④12．已知，则的大小关系为A．B．C． D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．在数列中，若，，则_______14．在平行四边形中，若，，则．15．若函数为奇函数，则关于的不等式的解集为______．16．过抛物线的焦点作两条相互垂直的直线，若和分别交该抛物线于和两点，则的最小值为_______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每高2019级二诊文科数学试题第8页共8页学科网（北京）股份有限公司
个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分） 铁路作为交通运输的重要组成部分，是国民经济的大动脉，在我国经济发展中发挥着重要的作用．截止2021年，中国铁路营业里程达到15.3万公里．下图是我国2017～2021年铁路营业里程折线图，其中表示年份数与2016的差，(单位：万公理)表示各年的营业里程数． （1）由折线图易知与具有较强的线性关系，试用最小二乘法求关于的回归直线方程，并预测2022年营业里程为多少万公里？ （2）从2017～2021年的五个营业里程数中随机抽取两个数，求所取得的两个数中，至少有一个超过14的概率．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．18．（12分） 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：在中，角的对边分别为，______． （1）求； （2），求的边上的中线的长． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．19．（12分） 如图，在四棱锥中，，，，，，为线段的中点，且． （1）求证：平面； （2）若过三点的平面将四棱锥分成上，下两部分，求上面部分的体积．高2019级二诊文科数学试题第8页共8页学科网（北京）股份有限公司
20．（12分）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在上有两个零点，求的取值范围．21．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，为的上顶点，且． （1）求的方程； （2）过坐标原点作两直线，分别交于和两点，直线，的斜率分别为，是否存在常数，使时，四边形的面积为定值？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做,则按所做的第一题计分．22．（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线的极坐标方程为，动点在直线上，将射线按逆时针旋转得到射线，射线上一点满足，设点的轨迹为曲线． （1）求曲线的极坐标方程； （2）直线的极坐标方程为，与曲线相交于点（与不重合），若的顶点也在曲线上，求面积的最大值，并求这时点的直角坐标．23．（10分）[选修4-5：不等式选讲]已知，．（1）求的最大值；（2）求证：．高2019级二诊文科数学试题第8页共8页学科网（北京）股份有限公司
宜宾市普通高中2019级第二次诊断测试文科数学参考答案一、选择题：ACDC，BCBC，BABA二、填空题：13．25；14．；15．；16．４三、解答题：17．解（1）由已知得，………………1分，………………2分………………４分 ，，………………5分2022年的营业里程数为（万公里）………………6分（2）将12.7,13.1,14.0,14.9,15.3这五个数由小到大排列为，其中超过14万公里，从中任取两个数得：，共10个………………8分其中至少有一个超过14万公里的有7个，………………10分设至少有一个超过14万公里的事件为，则．………………12分18．解：（１）若选①，即，得………………..2分 ，， ……………………..4分 ， ……………………..6分（２）是的边上的中线，……………………..8分 ……………………..11分 ……………………..12分注：若用余弦定理解参照给分.若选②，即，由正弦定理得，……………..3分 ， ．……………………..6分（２）同①．19（1）证明：连接，， ………..１分高2019级二诊文科数学试题第8页共8页学科网（北京）股份有限公司
, ………..３分 . ………..５分 ………..６分（2）证明：作的中点，连接为的中点,． ………..７分 平面 ………..９分， ………..10分 ………..12分20．解（1）定义域为，时,………………2分曲线在点处的切线方程为………………4分（2）①单调递减，不合题意.………………6分②………………7分………………8分………………10分 ………………12分注：若用换元法,直接求求解,等参照给分．21.解：（1）解：，，，………１分，………………3分高2019级二诊文科数学试题第8页共8页学科网（北京）股份有限公司
： ………………４分（2）设:，:，不妨设（），（）由联立得：，得，同理……6分又 …………7分点到的距离 …………8分…………10分当，即存在，使四边形的面积为定值.…………12分（二）选考题：22解：（1）设，，由已知得 ，， ………………3分 则, 曲线的极坐标方程为……………5分（2）的直角坐标方程为 的直角坐标方程为 由得点的直角坐标为． ……………６分 由已知可设的直角坐标为,则到的距离……………７分 ……………8分 当时面积有最大值为 ……………９分 这时点的直角坐标为 ………………10分23.解：（1），.………………2分.………………4分高2019级二诊文科数学试题第8页共8页学科网（北京）股份有限公司
（当且仅当时取等）的最大值为 .………………5分（2） .………………7分又,同理：,.………………8分,,………………10分23.解：（1）法一：柯西不等式………………２分（当且仅当时取等）…………5分（2），（当且仅当时取等）…………7分同理可得：（当且仅当时取等）……8分（当且仅当时取等）…………9分（当且仅当时取等）……………………分高2019级二诊文科数学试题第8页共8页学科网（北京）股份有限公司
