成都市2019级高中毕业班第二次诊断性检测数学（文科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i为虚数单位，则（）A.1+iB.1－iC.－1+iD.－1－i2.设集合．若集合满足，则满足条件的集合的个数为（）A.B.C.D.3.如图是一个几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为的等边三角形，俯视图是直径为的圆．则该几何体的表面积为（）AB.C.D.4已知函数，则（）A.B.C.D.5.在区间（－2，4）内随机取一个数x，使得不等式成立的概率为（）A.B.C.D.6.设经过点的直线与抛物线相交于两点，若线段中点的横坐标为
，则（）A.B.C.D.7.已知数列的前项和为．若，，则（）A.B.C.D.8.若曲线在点（1，2）处的切线与直线平行，则实数a的值为（）A.－4B.－3C.4D.39.在等比数列中，已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.在三棱锥中，已知底面，，．若三棱锥的顶点均在球的表面上，则球的半径为（）A.B.C.D.11.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到．若要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为（）A.B.C.D.12.已知中，角的对边分别为．若，则的最小值为（）AB.C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13.某区域有大型城市个，中型城市个，小型城市个．为了解该区域城市空气质量情
况，现采用分层抽样的方法抽取个城市进行调查，则应抽取的大型城市的个数为______．14.已知中，∠C＝90°，BC＝2，D为AC边上的动点，则______．15.定义在R上的奇函数f（x）满足，且当时，．则函数的所有零点之和为______．16.已知为双曲线的右焦点，经过作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为．若，则双曲线的离心率为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.某中学为研究课外阅读时长对语文成绩的影响，随机调查了50名学生某阶段每人每天课外阅读的平均时长（单位：分钟）及他们的语文成绩，得到如下的统计表：平均时长（单位：分钟）（0，20]（20，40]（40，60]（60，80]人数921155语文成绩优秀人数39103（1）估算该阶段这50名学生每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若从课外阅读平均时长在区间（60，80]的学生中随机选取3名进行研究，求所选3名学生中至少有2名语文成绩优秀的学生的概率．18.已知函数，其中，且．（1）求函数的单调递增区间；（2）若，且，求的值．19.如图，在三棱柱中，已知平面，，AB＝AC，BC＝2，D为BC的中点，点F在棱上，且BF＝2，E为线段AD上的动点．
（1）证明：；（2）若三棱锥的体积为，求的值．20.已知椭圆C：经过点，其右顶点为A（2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为．证明直线PQ经过定点，并求△APQ面积的最大值．21.已知函数，其中．（1）若函数f（x）在上单调递增，求a的取值范围；（2）若函数存在两个极值点，当时，求取值范围．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，其中为常数且．
（1）求直线的普通方程与曲线的极坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，求的取值范围．选修4-5：不等式选讲23.已知函数，．（1）当时，求函数的最大值；（2）若对，关于不等式恒成立，当时，求的取值范围．
【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【解析】【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B【9题答案】【答案】A【10题答案】【答案】B【11题答案】【答案】D【12题答案】【答案】C【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】【15题答案】
【答案】【16题答案】【答案】17【答案】（1）平均数为分钟（2）【小问1详解】平均数为分钟.【小问2详解】区间（60，80]的学生有人，记为，其中为语文成绩优秀，从中任取人，基本事件有：，共种，其中至少有人语文成绩优秀的为：，共种，所以所选3名学生中至少有2名语文成绩优秀的学生的概率为.18【答案】（1）（2）【小问1详解】，，，解得：，又，，；令，解得：，的单调递增区间为；【小问2详解】
由（1）知：，；当时，，，19【小问1详解】由于平面，所以平面，所以平面，所以，由于是的中点，所以，由于，所以平面，所以.，则，由于，所以平面，平面，所以.【小问2详解】由（1）知平面，，，即，在中，，所以.
20【小问1详解】依题可得，，解得，所以椭圆C的方程为．【小问2详解】易知直线AP与AQ的斜率同号，所以直线不垂直于轴，故可设，，，由可得，，所以，，，而，即，化简可得，①，因为，所以，令可得，②，令可得，
③，把②③代入①得，，化简得，所以，或，，所以直线或，因为直线不经过点，所以直线经过定点．设定点，所以，，因为，所以，设，所以，当且仅当即时取等号，即△APQ面积的最大值为．21【答案】（1）（2）【小问1详解】当时，恒成立，即在区间上恒成立，令，所以在区间递减；在区间递增.所以，所以的取值范围是.【小问2详解】，对函数，设上一点为，
过点的切线方程为，将代入上式得，所以过原点的的切线方程为.所以，要使与有两个交点，则，此时有两个极值点，且.，令，则，所以，所以，令，令，所以在上递增.，所以在上恒成立.所以在上恒成立.所以在上递增.，所以当时，，所以的取值范围是.
22【答案】（1）当时，直线；当时，直线；曲线；（2）.【小问1详解】当时，直线；当时，直线；由得：，曲线的极坐标方程为：；【小问2详解】当时，与圆相切；当时，若与圆相切，则，解得：，；若与圆相交，则；将代入曲线的极坐标方程得：，设，，则为该方程的两根，，，
，，，即的取值范围为.23【答案】（1）（2）【小问1详解】当时，（当且仅当，即时取等号），的最大值为【小问2详解】，；，，（当且仅当，即，时取等号），若恒成立，则，解得：，即的取值范围为.
