北京市西城区2021—2022学年度第一学期期末试卷高三数学2022.1本试卷共 6 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，，则（A）（B）（C）（D）（2）在复平面内，复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）在△ABC中，若，，，则（A）（B）（C）（D）（4）若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）（5）如图，在直三棱柱中，点分别是棱的中点，则下列结论中不正确的是（A）平面（B）平面（C）平面（D）平面（6）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（A）（B）
（C）（D）（7）已知为等比数列，为其前项和，若，，则（A）（B）（C）（D）（8）已知函数的图象在区间上连续不断，则“”是“在上存在零点”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）按照“碳达峰”、“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数. 为了测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.则该蓄电池的Peukert常数大约为（参考数据：）（A）（B）（C）（D）（10）设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为.已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）在的展开式中，常数项为_____.（用数字作答）（12）已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，为坐标原点.则抛物线的方程为_____；的面积为_____.（13）在长方形中，，，且，则_____，_____.
（14）已知函数是偶函数，则的一个取值为_____.（15） 在棱长为 的正方体中，过点的平面分别与棱交于点,,，记四边形在平面上的正投影的面积为，四边形在平面上的正投影的面积为.给出下面有四个结论：① 四边形是平行四边形；② 的最大值为2；③ 的最大值为；④ 四边形可以是菱形，且菱形面积的最大值为.则其中所有正确结论的序号是_____.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，点在线段上，且.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.（17）（本小题13分）
已知函数的部分图象如图所示，在条件①、条件②、条件③ 这三个条件中选择两个作为已知．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设函数，若在区间上单调递减，求的最大值．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分．（18）（本小题14分）2021年7月11日18时，中央气象台发布暴雨橙色预警，这是中央气象台2021年首次发布暴雨橙色预警.中央气象台预计，7月11日至13日，华北地区将出现2021年以来的最强降雨.下表是中央气象台7月13日2:00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域.北京密云山东乐陵河北迁西山东庆云北京怀柔河北海兴河北唐山天津渤海A平台河北丰南山东长清180毫米175毫米144毫米144毫米143毫米140毫米130毫米127毫米126毫米126毫米（Ⅰ）从这10个区域中随机选出1个区域，求这个区域的降雨量超过135毫米的概率；（Ⅱ）从这10个区域中随机选出3个区域，设随机变量表示选出的区域为北京区域的数量，求的分布列和期望；（Ⅲ）在7月13日2:00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域中，设降雨量超过140毫米的区域降雨量的方差为，降雨量在140毫米或140毫米以下的区域降雨量的方差为，全部十个区域降雨量的方差为.试判断，，的大小关系.（结论不要求证明）
（19）（本小题15分）已知函数.（Ⅰ）若，求在点处的切线方程；（Ⅱ）若在上恰有一个极小值点，求实数的取值范围；（Ⅲ）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围.（20）（本小题15分）已知椭圆的焦点为，长轴长与短轴长的比值为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于两点，轴于点，轴于点，直线交直线于点，求与的面积之比.（21）（本小题15分）已知数列，其中，且.若数列满足，当时，或，则称为数列的“紧数列”.例如，数列的所有“紧数列”为；；；.（Ⅰ）直接写出数列的所有“紧数列”；（Ⅱ）已知数列满足：，，若数列的所有“紧数列”均为递增数列，求证：所有符合条件的数列的个数为；（Ⅲ）已知数列满足：，，对于数列的一个“紧数列”，定义集合
，如果对任意，都有，那么称为数列的“强紧数列”.若数列存在“强紧数列”，求的最小值.（用关于的代数式表示）北京市西城区2021—2022学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考2022.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（ 1 ）A（ 2 ）B（ 3 ）A（ 4 ）C（ 5 ）D（ 6 ）D（ 7 ）C（ 8 ）A（ 9 ）B（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）（12）（13）（14）（答案不唯一）（15）①③④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）因为平面，平面，所以.因为，，所以，.所以.所以，所以.又因为，，所以平面.………………5分（Ⅱ）因为平面，平面，平面，
所以，.又因为是矩形，，所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则，，，所以，.设平面的一个法向量为，则即令，则，.于是.因为平面，取平面的法向量为.则.由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值是.………………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）选条件①②：因为，所以，即，则.由题意可知，则.因为，，所以，即.因为，所以，.所以.………………6分选条件①③：因为，所以，即，则.由题意可知，则.
因为，，所以，即.因为，所以，.所以.………………6分选条件②③：因为，，所以，即，则.由题意可知，则.因为，，所以，即.因为，所以，.所以.………………6分（Ⅱ）由题意得.函数的单调递减区间为．由，得.因为函数在区间上单调递减，且，此时.所以，所以的最大值是.………………13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）设这个区域降雨量在135毫米以上为事件，区域降雨量在135毫米以上的区域共有6个，所以
答：这个区域降雨量在135毫米以上的概率为………………4分（Ⅱ）由题意分析可知，，.随机变量的分布列为:所以随机变量的数学期望为:.………………11分（Ⅲ）.………………14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）当时，，，所以，，所以切线方程为.………………4分（Ⅱ）由，得.令，得，.①若，则，在上恒成立，因此，在上单调递增，无极值，不符合题意.②若，则，与的情况如下：极大值极小值因此，在，上单调递增，在上单调递减.若在上有且只有一个极小值点，则需，
所以.综上，的取值范围是.………………9分（Ⅲ）因为，所以，即.又因为，所以，即.令，所以.因为，所以，又，所以，所以为上减函数，所以，所以综上，实数的取值范围为.………………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，，所以.又因为，，所以.解得，.所以椭圆的方程为.………………5分（Ⅱ）由题意可知，直线斜率存在，设直线的方程为.由得.设，，则，.因为轴，所以.直线方程为，所以.因为轴，所以.因为，.所以
.所以三点共线.因为，所以，所以，所以.………………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）；；；.………………5分（Ⅱ）依题意，对任意，有或,或，因为均为递增数列，所以有，即同时满足：①，②，③，④.因为为递增数列，因此①和②恒成立.又因为为整数数列，对于③，也恒成立.对于④，一方面，由，得，即.另一方面，，所以，即从第项到第项是连续的正整数，所以，，因此，故共有种不同取值，即所有符合条件的数列共有个.………………10分（Ⅲ）记，依题意，对任意，有或，注意到，即对任意，有，若，则，即；
若，则，即，即对任意，或者，或者.所以，所以不能成立.记，，则，且.注意到：若存在且，即，则.否则，若，则，不合题意.因此集合有以下三种情形:①，.对任意，有，则，当且仅当：，，即时，等号成立，此时存在“强紧数列”，故此情形下，的最小值为；②，，其中.对任意，有，对任意，有..故此情形下，的最小值不小于；③，.对任意，有，.故此情形下，的最小值不小于.综上，的最小值为.………………15分
