房山区2021-2022学年度第一学期期末考试高三数学本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，且，则实数取值的集合是（A）（B）（C）（D）（2）复数的实部是（A）（B）（C）（D）（3）在的展开式中，的系数是（A）（B）（C）（D）（4）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（A）（B）（C）（D）（5）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为尺，春分当日日影长为尺，则立夏当日日影长为（A）尺（B）尺（C）尺（D）尺（6）已知双曲线的焦距为10，点在的渐近线上，则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）高三数学期末试卷15/15
（7）“”是“直线与圆相交”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）正四面体的棱长为1，现将正四面体绕着旋转，则所经过的区域构成的几何体的体积为（A）（B）（C）（D）（9）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为.下列说法中正确的是（A）第5个月时，浮萍面积就会超过（B）浮萍面积每月的增长率不相等（C）浮萍每月增加的面积都相等（D）若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，则（10）某数学兴趣小组研究曲线和曲线的性质，下面是四位同学提出的结论：甲：曲线关于原点对称；乙：曲线都关于直线对称；丙：曲线与坐标轴在第一象限围成的面积；丁：曲线与坐标轴在第一象限围成的面积.四位同学的结论中错误的是（A）甲（B）乙（C）丙（D）丁高三数学期末试卷15/15
第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）抛物线的顶点到其准线的距离为.（12）在△中，，则____，△的面积____．（13）如图，网格纸上小正方形的边长为.从四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则；的最大值为.（14）无穷数列的前n项和记为．若是递增数列，而是递减数列，则数列的通项公式可以为____．（15）设函数给出下列四个结论：①函数的值域是；②对，方程都有3个实数根；③，使得；④若互不相等的实数满足，则的取值范围是.其中所有正确结论的序号是____.高三数学期末试卷15/15
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）在下列三个条件中，选择一个作为已知，使得实数的值唯一确定，求函数在上的最小值.条件①：的最大值为；条件②：的一个对称中心为；条件③：的一条对称轴为．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（17）（本小题14分）如图，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）判断直线与平面是否相交，如果相交，求出到交点的距离；如果不相交，求直线到平面的距离．高三数学期末试卷15/15
（18）（本小题14分）某种水果按照果径大小分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．一般的，果径越大售价越高．为帮助果农创收，提高水果的果径，某科研小组设计了一套方案，并在两片果园中进行对比实验．其中实验园采用实验方案，对照园未采用．实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[21，26），[26，31），[31，36），[36，41），[41，46]（单位：mm）．统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36mm及以上的为“大果”．（Ⅰ）估计实验园的“大果”率；（Ⅱ）现采用分层抽样的方法从对照园选取的100个果实中抽取10个，再从这10个果实中随机抽取3个，记“大果”个数为，求的分布列和数学期望的；（Ⅲ）以频率估计概率，从对照园这批果实中随机抽取个，设其中恰有2个“大果”的概率为，当最大时，写出的值（只需写出结论）.（19）（本小题14分）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的上、下顶点，且.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于（不与点重合）两点，若直线与直线的斜率之和为，判断直线是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.高三数学期末试卷15/15
（20）（本小题15分）已知函数，函数，其中．（Ⅰ）如果曲线与在处具有公共的切线，求的值及切线方程；（Ⅱ）如果曲线与有且仅有一个公共点，求的取值范围．（21）（本小题14分）若数列满足，则称为数列．记．（Ⅰ）写出一个满足，且的数列；（Ⅱ）若，证明数列是递减数列的充要条件是；（Ⅲ）对任意给定的整数，是否存在首项为的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由.高三数学期末试卷15/15
房山区2021-2022学年度第一学期（中学）期末考试参考答案高三数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。12345678910BCACDABCDC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）（12）（13）（14）答案不唯一，如；等比数列中，（15）①③④三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）（Ⅰ）函数的最小正周期………...………………3（7）（Ⅱ）选择条件①：由的最大值为，可知，所以……………...…………2（9）所以因为，所以……………...………...………………...……………1所以当，即时，……………………...…………………...………………2取得最小值……………...………………...………………...………………2（14）选择条件②：高三数学期末试卷15/15
由的一个对称中心为，可知，所以……………...………………...…………………………...…………2所以因为，所以……...………………...………………1所以当，即时，……...…………………...………………2取得最小值………...………………...………………2（14）（17）（本小题14分）（Ⅰ）证明：因为，所以又，，，所以平面．……...………………...…………………...………………...………3（Ⅱ）证明：因为平面，所以又所以两两互相垂直.………………...……………...………………...………………1如图以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.…...………………...……………...………………...………………1由,可知，，，，，，,，设为平面的一个法向量，则，即，….….….….….1令则，所以，…...………………...…………………...………………1高三数学期末试卷15/15
设为平面的一个法向量，则，即，…...………………...……………………...………………1令则，所以，…...………………...……………………...………………1则….………………...…………………...………………2易知二面角为锐二面角所以二面角的余弦值为.…...………………...………………...………………1（Ⅲ）由，得因为所以与平面不平行，所以直线与平面相交.………...……………1在四边形中延长交的延长线于点.点就是直线与平面的交点易知，所以.……………...………………...…………1（18）（本小题14分）（Ⅰ）由实验园的频率分布直方图得：所以估计实验园的“大果”率为………………...………………...…………3（Ⅱ）由对照园的频率分布直方图得：这个果实中大果的个数为：高三数学期末试卷15/15
个.采用分层抽样的方法从100个果实中抽取10个，其中大果有个………………...………………...…………1从这10个果实中随机抽取3个，记“大果”个数为，则的可能取值为，…………...….………………...…………1……...………………4所以的分布列为： 0 1 2 3 …………...….………………...……………...….………………..………1所以…………...….………………………………2高三数学期末试卷15/15
（Ⅲ）…………...….…………………………...….………………...…………2（19）（本小题14分）（Ⅰ）由离心率为，可得…...….…………………...….……………………………1因为为椭圆的上、下顶点，且，所以即,……………1又解得…...….…………………...….……………………………1所以椭圆的标准方程为…...….…………………...….……………………………1（4）（Ⅱ）直线经过定点，证明如下：…...….…………...….……………………………1①当直线的斜率存在时，设，()，由，得，….………….…...….…………...….………1则…...….…………...….…...….…………...….………1设则，，…...….…………...….…...….…………...….………2则…...….…………...….………2高三数学期末试卷15/15
所以…...….…………...….…...….…………...….………1所以直线的方程为，即所以直线经过定点．…...….…………...….…...….…………...….………1②当直线的斜率不存在时，设，，，·则解得，此时直线也经过定点…...….…………...….…...….…………...….………1综上直线经过定点．（20）（本小题15分）（Ⅰ）…...….…...….…………...….…………...….…...….…………...….………2由题意，公共切线的斜率，即…...….…...….…………...….………1又因为，所以切线方程为．…...….…...….…………...….………1（4）（Ⅱ）设函数．“曲线与有且仅有一个公共点”等价于“函数有且仅有一个零点”．①当时，当时，，所以在单调递增．又因为，所以有且仅有一个零点，符合题意．.….…………...….………3②当时，令，解得与的变化情况如下：高三数学期末试卷15/15
0↘↗所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，故有且仅有一个零点，符合题意．..….…...….…………...….…………...….…...….………3③当时，令，解得．与的变化情况如下：0↘↗所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，因为，，且在上单调递增，所以又因为存在，使得所以存在使得，所以函数存在两个零点，与题意不符.…...….…………...….…………...….…...….…4高三数学期末试卷15/15
综上，曲线与有且仅有一个公共点时，的范围是或....….…...….…………...….…………...….…...….…………...….1（21）（本小题14分）（Ⅰ）（或）..…...….…………...….…………...….…...….3（Ⅱ）必要性：因为数列是递减数列，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以...…...….…………...….…………...….…...….3充分性：由于，，…，所以，即，因为，所以，，所以数列是递减数列.综上，结论得证．..…...….…………...….…………...….…...….3（Ⅲ）令，则．因为，，，所以高三数学期末试卷15/15
因为，所以为偶数，所以为偶数．所以要使，必须使为偶数，即整除，亦即或．当时，数列的项满足，，时，有，；当时，数列的项满足，，，时，有，．当，时，不能被整除，此时不存在数列使得，．..…...….…………...….…………...….…...….5高三数学期末试卷15/15
