北京市东城区2021—2022学年度第一学期期末统一检测高三数学2022.1本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，，则（A）（B）（C）（D）（2）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（A）（B）（C）（D）（3）在等比数列中，若，则（A）（B）（C）（D）（4）在二项式的展开式中，含项的系数为（A）（B）（C）（D）（5）在平面直角坐标系中，角的终边过点，，将的终边绕原点按逆时针方向旋转与角的终边重合，则=（A）（B）（C）（D）（6）人类已进入大数据时代.目前，全球年数据产生量已经从TB级别跃升到PB，EB乃至ZB级别（1TB＝1024GB，1PB=1024TB，1EB=1024PB，1ZB=1024EB）．由国际数据公司IDC的研究结果得到2008年至2020年全球年数据产生量（单位：ZB）的散点图.
根据散点图，下面四个选项中最适宜刻画2008年至2020年全球年数据产生量和时间的函数模型是（A）（B）（C）（D）（7）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，过作的垂线，垂足为.若，则（A）（B）（C）（D）（8）已知直线：，为圆：上一动点，设到直线距离的最大值为，当最大时，的值为（A）（B）（C）（D）（9）已知点,,不共线，，为实数，,则“”是“点在内（不含边界）”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（10）已知是各项均为正整数的数列，且，，对，与有且仅有一个成立，则的最小值为（A）18（B）20（C）21（D）23第二部分（非选择题共110分）二、填空题5小题，每小题5分，共25分．（11）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则.
（12）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则__________；的离心率为____.（13）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面.写出以之间的部分位置关系为条件（除外），为结论的一个真命题：___________________．（14）函数（）的非负零点按照从小到大的顺序分别记为.若，则__________；_______.（15）阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用.如图，在平面直角坐标系中，螺线与坐标轴依次交于点,,,,，,,,并按这样的规律继续下去.给出下列四个结论：①对于任意正整数，；②存在正整数，为整数；③存在正整数，三角形的面积为2022；④对于任意正整数，三角形为锐角三角形.其中所有正确结论的序号是________．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）在中，，．（Ⅰ）求证为等腰三角形；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值．
条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高为3.注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（17）（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段上的动点．（Ⅰ）若直线平面，求证：为的中点；（Ⅱ）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.（18）（本小题13分）2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放，助力碳中和.某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式，随机抽取了200名学生进行调查，样本调查结果如下表：高中部初中部男生女生男生女生清楚1282424不清楚28323834
假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立.（Ⅰ）从该校学生中随机抽取一人，估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率；（Ⅱ）从样本高中部和初中部的学生中各随机抽取一名学生，以X表示这2人中清楚垃圾分类后处理方式的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）从样本中随机抽取一名男生和一名女生，用“”表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式.直接写出方差和的大小关系.（结论不要求证明）（19）（本小题15分）已知椭圆过点，其右焦点为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为椭圆上一动点（不在轴上），为中点，过原点作的平行线，与直线交于点.问：直线与斜率的乘积是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由.（20）（本小题15分）曲线在点处的切线交轴于点.（Ⅰ）当时，求切线的方程；（Ⅱ）为坐标原点,记的面积为.求面积以为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.（21）（本小题15分）对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：①；②对任意的,，则称数列具有性质.（Ⅰ）若数列具有性质，求数列的前10项和；（Ⅱ）对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项式；
（Ⅲ）若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立.北京市东城区2021—2022学年度第一学期期末统一检测高三数学参考答案2022.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）C（3）B（4）D（5）A（6）D（7）C（8）A（9）B（10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（ 11 ）（12）1；（13）若，，则（答案不唯一）（14）2，（15）①②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）在中，，，设，，其中.根据余弦定理，得.整理，得，因为，解得，所以.所以为等腰三角形.………………7分（Ⅱ）若选择条件②：在中，由，得.所以.
解得，即.………………13分若选择条件③：在中，由边上的高为3，得.由，得.解得.………………13分（17）（共14分）APDCBMO解：（Ⅰ）如图，连结BD，交AC于点O，连结MO.APDCBMOAPDCBMO因为直线平面，又平面平面，APDCBMOxyzAPDCBMOxyzAPDCBMOAPDCBMOAPDCBMOxyzAPDCBMOxyz平面，所以．因为正方形，APDCBMO所以为的中点．所以为的中点．………………5分（Ⅱ）因为底面为正方形，平面，所以AB，AD，AP两两垂直.如图建立空间直角坐标系.设，可得，，，，．则．设，则设为平面的法向量，则即令，，则，可得．又，，所以为平面的法向量，，
解得，所以.………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）依题意，参与调查的学生有200人，其中清楚垃圾分类后处理方式的学生有人.在样本中，学生清楚垃圾分类后的处理方式的频率为.用样本的频率估计总体的频率，可估计从该校学生中随机抽取一人，该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率为.………………3分（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2.记事件为“从样本初中部学生中随机抽取1名学生，该学生清楚垃圾分类后处理方式”，事件为“从样本高中部学生中随机抽取1名学生，该学生清楚垃圾分类后处理方式”，则，.由题设知，事件，相互独立，所以；；.所以X的分布列为X012P.………………11分（Ⅲ）.………………2分（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题可知，则.故椭圆的方程为.………………5分（Ⅱ）设，则，即.由为的中点，得，所以.
因为直线的斜率，且，所以直线的方程为.令，得，则.因为，所以.所以.所以直线与斜率的乘积是为定值-1.………………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）设函数，的定义域为.因为，所以.当时，，即.所以切线的方程为，即.…………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线在点处的切线方程为，即.令，得，所以..的定义域为.设，则.令，解得，或.即，或.
当，或时，，.，得，或.当时，，.，得.所以函数的单调增区间为，，.…………………………………………………………………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）依题意，且，所以数列的前10项和为5.………………4分（Ⅱ）由于数列具有性质和，其中为大于零的奇数，令，，则有，所以.综上为常数列.又因为具有性质，所以.所以.………………9分（Ⅲ）要证，只需证，即只需证，令数列，由于数列具有性质，则数列具有性质.令，设的最小值为，对，令，,，由于具有性质，所以.
所以.所以成立.………………15分
