2020-2021学年长沙市雨花区八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.当x=3时下列各式中值为0的是( )A.x-9x2-9B.1x-3C.2x-6x-6D.x+3x-32.如果(9n)2=316，则n的值为( )A.3B.4C.5D.63.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(-3,5)关于x轴的对称点坐标为( )A.(-3,-5)B.(3,5)C.(3,-5)D.(5,-3)4.下列命题中的假命题是( )A.三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B.三角形的外心到三角形三边的距离相等C.三角形外心一定在三角形一边的中垂线上D.三角形任意两边的中垂线的交点是三角形的外心5.下列计算正确的一项是( )A.a5+a5=2a10B.(a+2)(a-2)=a2-4C.(a-b)2=a2-b2D.4a-2a=26.下列事件中，是随机事件的是( )A.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯B.任意画一个三角形，其内角和为180°C.太阳从东方升起D.任意一个五边形的外角和等于5407.2x+3+1x+1在实数范围内有意义，则x须满足的条件是( )A.x≥-32B.x≠-32且x≠-1
C.x≥-32且x≠-1D.x≤-32且x>-18.1、若二次根式+有意义，则x的取值范围是( )A.x≥2B.x≤3C.2<x<3D.2≤x≤ 39.下列计算正确的是( )A.3+2=5B.23-3=2C.(-3)2=±3D.3-8=-210.在△ABC中，∠A=∠B=∠C，过点B作BD⊥AC于D，已知△ABC的周长为m，则AD=( )A.m2B.m6C.m8D.m1211.如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB外角的平 分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的有( )A.AF平分BCB.AF平分∠BACC.AF⊥BCD.以上结论都正确12.若一个多边形的内角和为540°，则该多边形为( )边形．A.四B.五C.六D.七二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.已知关于x的方程2x-2-x+ax(x-2)=0的增根是2，则a=______．14.已知三角形的两边长分别为3cm和9cm，则第三边(记为x)的取值范围______．15.若A=(x+y)2，B=(x-y)2，则A-B=______．16.计算|-4|-(12)-2=______．17.在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E、F分别在BC与CD上，且∠EAF=45°(1)如图甲，若EA=EF，则EF=______；(2)如图乙，若CE=CF，则EF=______．
18.计算：27-32= ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.计算(1)a(1-a)+(a+1)(a-1)-1(2)x-2x+1⋅(1+2x+5x2-4)四、解答题（本大题共7小题，共60.0分）20.计算：2×(18-12)．21.如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F.求证：CE⊥CF．22.已知：x=2+3，求x3-6x2+8x+5的值．23.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数”．(1)28是“神秘数”吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？(3)根据上面的提示，判断2020是否为“神秘数”？如果是，请写出两个连续偶数平方差的形式；如果不是，说明理由．(4)两个连续奇数的平方差(取正数)是“神秘数”吗？为什么？24.某印染厂生产某种产品，所生产的产品全部售出．每件产品的出厂价为50元，成本价为25元，在生产过程中，平均每生产1件产品就有0.5立方米污水排出，所以为了净化环境，工厂设计了两种对污水进行处理的方案并准备实施．方案一：工厂污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案二：将污水排放到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付费16元排污费．(1)设工厂每月生产x件产品，则方案一每月的利润为 元，方案二每月的利润为 元．(利润=销售额-成本-污水处理费)(2)至少需要生产多少件这种产品，才能使选择方案一更划算？25.已知：如图，AB=AC，∠DBC=∠DCB，求证：∠BAD=∠CAD．26.四边形的四条边长分别为a，b，c，d，其中a与c，b与d是对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，判断此四边形是什么四边形？
参考答案及解析1.答案：C解析：直接利用分式的值为零的条件分析得出答案．此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式有意义的条件是解题关键．解：A.当x=3时，x2-9=0，此时分式无意义，故此选项不合题意；B.1x-3，当x=3时，x-3=0，此时分式无意义，故此选项不合题意；C.当x=3时，2x-6=0，x-6≠0，此时分式的值为零，符合题意；D.当x=3时，x-3=0，此时分式无意义，故此选项不合题意；故选：C． 2.答案：B解析：解：∵(9n)2=(32n)2=34n=316，∴4n=16，解得n=4．故选B．根据幂的乘方将原式变为底数为3的幂，再根据指数相等列出方程求解即可．根据幂的乘方将原式变形是解答本题的关键．3.答案：A解析：解：点P(-3,5)关于x轴的对称点坐标为(-3,-5)，故选：A．利用平面内两点关于x轴对称时：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行求解．本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．4.答案：B解析：试题分析：根据三角形的外接圆的性质及三角形外心的定义对各选项进行逐一判断即可．A、三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，所以到三角形三个顶点的距离相等，故不符合题意．B、由A得，此选项是假命题，符合题意；
C、三角形外心一定在三角形一边的中垂线上，由A得，此选项是真命题，不符合题意；D、三角形任意两边的中垂线的交点是三角形的外心，由A得，此选项是真命题，不符合题意．故选：B．5.答案：B解析：解：A、a5+a5=2a5，故A错误；B、(a+2)(a-2)=a2-4，故B正确；C、(a-b)2=a2-2ab+b2，故C错误；D、4a-2a=2a，故D错误；故选B．根据合并同类项、平方差公式、完全平方公式进行计算即可．本题考查了平方差公式、合并同类项、完全平方公式，是常见题型，基础题，比较简单．6.答案：A解析：解：A、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，符合题意；B、任意画一个三角形，其内角和为180°是必然事件，不符合题意；C、太阳从东方升起是必然事件，不符合题意；D、任意一个五边形的外角和等于540°是必然事件，不符合题意，故选：A．根据事件发生的可能性大小判断即可．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7.答案：C解析：解：由题意得：2x+3≥0且x+1≠0，解得：x≥-32且x≠-1．故选：C．根据二次根式有意义的条件可得2x+3≥0，根据分式有意义的条件可得x+1≠0，进而可得答案．此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．8.答案：D
解析：∵二次根式 + 有意义，∴≥0，≥0，∴x≥2，x ≤3，∴2 ≤x ≤3故选D。9.答案：D解析：解：A、2与3不是同类二次根式，不能合并，故A不正确．B、原式=3，故B不正确．C、原式=3，故C不正确．D、原式=-2，故D正确．故选：D．根据二次根式的运算法则即可求出答案．本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．10.答案：B解析：解：∵三角形ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∵BD⊥AC于D，∴AD=12AC，∵△ABC周长为m，∴AD=m6，故选B．根据等边三角形的性质可得AB=AC=BC，再根据等腰三角形三线合一可得AD=12AC，进而得到AD=m6．本题考查了等边三角形的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一．11.答案：B
解析：解：过F点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、D，∵∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点F，∴EF=GF，GF=DF，∴EF=DF，∴AF平分∠BAC．故选B．12.答案：B解析：解：由多边形的内角和公式可得(n-2)×180°=540°解得：n=5故选：B．根据多边形的内角和的公式(n-2)×180°=540°，解方程即可求出n的值．本题考查的是多边形的内角和，利用内角和公式进行列方程解决是本题的关键．13.答案：2解析：解：方程两边都乘x(x-2)，得2x-(x+a)=0，∵原方程增根为x=2，∴把x=2代入整式方程，得a=2，故答案为：2．增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出a的值．本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．14.答案：6cm<x<12cm解析：解：3+9=12，9-3=6，∴x的取值范围为：6cm<x<12cm，故答案为：6cm<x<12cm．
根据三角形的三边关系，第三边的长应大于已知的两边的差，而小于两边的和．此题考查三角形三边关系，关键是根据三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．15.答案：4xy解析：解：A-B=(x+y)2-(x-y)2=[(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]=2x⋅2y=4xy．根据平方差公式进行因式分解，再进行计算即可．考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的结构特点是正确应用的前提．16.答案：0解析：解：原式=4-4=0，故答案为：0．根据负数的绝对值是它的相反数，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可化简整式，根据有理数的加法，可得答案．本题考查了负整数指数幂，利用负数的绝对值是它的相反数，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数化简整式是解题关键．17.答案：(1)10 (2) 72-43.解析：解：(1)如图甲所示：∵EA=EF，∴△AEF是等腰直角形，∠EAF=∠EFA，∵∠EAF=45°，∴∠EFA=45°，又∵在△AEF中，∠EAF+∠EFA+∠AEF=180°，
∴∠AEF=180°-45°-45°=90°，又∵∠AEB+∠AEF+∠FEC=180°，∴∠AEB+∠FEC=90°，又∵△ABE中，∠B+∠BAE+∠AEB=180°，∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF，在△ABE和△ECF中∠BAE=∠CEF∠B=∠C=90°AE=FE，∴△ABE≌△ECF(AAS)∴AB=EC，BE=CF，又∵AB=3，BC=4，∴EC=3，CF=1，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF=EC2+FC2=32+12=10故答案为10．(2)如图乙所示：作DM=DF，BN=BE，分别交AD，AB于点M和点N，设MD=x，∵四边形ABCDA是矩形，∴∠B=∠D=90°，∴∠BNE=45°，∠DMF=90°，又∵∠BNE+∠ENA=180°，∠FMD+∠FMA=180°，∴∠ENA=135°，∠FMA=135°，又∵∠EAF=45°，∠BAD=∠BAE+∠EAF+∠FAD=90°，
∴∠BAE+∠FAD=45°，∵∠BAE+∠NEA=45°，在△ANE和△FMA中∠NEA=∠MAF∠ENA=∠FMA=135∘，∴△ANE∽△FMA(AA)∴MFAN=AMNE；又∵MD=x，∴DF=x，∵CE=CF，AB=3，BC=4，∴FC=EC=3-x，BE=AB=x+1，AN=2-x，∴2x2-x=4-x2(x+1)，解得：26-4，或-26-4(舍去)，∴FC=3-(26-4)=7-26，∴EF=2FC=2(7-26)=72-43．故答案为72-43．(1)已知EA=EF，∠EAF=45°，由三角形的内角和得∠AEF=90°，∠AEB+∠FEC=90°，又因∠BAE+∠AEB=90°，等量代换得∠BAE=∠CEF，从而证明△ABE≌△ECF；EF的长可由勾股定理求出．(2)作辅助线FM和EN，已知△CEF，构建两个等腰△DEM，△BEN可求出线段DF，AM，FC，BE和AN的长；证明△ANE∽△FMA，再由两个三角形相似的性质求出相似比，解出x的值，由勾股定理(或三角函数)求出EF的长．本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用等相关知识，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键， 18.答案：532解析：试题分析：先将二次根式化为最简，然后合并即可得出答案．原式=33-32=532．故答案为：532．19.答案：解：(1)a(1-a)+(a+1)(a-1)-1=a-a2+a2-1-1
=a-2；(2)x-2x+1⋅(1+2x+5x2-4)=x-2x+1⋅x2-4+2x+5(x+2)(x-2)=x-2x+1⋅(x+1)2(x+2)(x-2)=x+1x+2．解析：(1)根据单项式乘多项式、平方差公式可以解答本题；(2)根据分式的加法和乘法可以解答本题．本题考查分式的混合运算、单项式乘多项式、平方差公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．20.答案：解：原式=2×18-2×12=6-1=5．解析：利用二次根式的乘法法则运算．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．21.答案：证明：∵CD=CA，E是AD的中点，∴∠ACE=∠DCE．∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF．∵∠ACE+∠DCE+∠ACF+∠BCF=180°，∴∠ACE+∠ACF=90°．即∠ECF=90°．∴CE⊥CF．解析：根据三线合一定理证明CE平分∠ACD，然后根据CF平分∠ACB，根据邻补角的定义即可证得．本题考查了等腰三角形的性质，顶角的平分线、底边上的中线和高线、三线合一．22.答案：解：x3-6x2+8x+5
=x(x2-6x+9)-x+5=x(x-3)2-x+5当x=2+3时，原式=(2+3)×(2)2-(2+3)+5=2+8．解析：根据提公因式法、完全平方公式把原式变形，代入计算即可．本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则、完全平方公式是解题的关键．23.答案：解：(1)∵28=82-62，∴28是“神秘数”；(2)两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．理由如下：(2k+2)2-(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2-2k)=2(4k+2)=4(2k+1)，∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数，∵2k+1是奇数，∴它是4的倍数，不是8的倍数；(3)∵2020=505×4，∴2020是“神秘数”，2020=5062-5042，(4)设两个连续的奇数为：2k+1，2k-1，则(2k+1)2-(2k-1)2=8k，此数是8的倍数，但不是4的奇数倍，所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．解析：(1)根据“神秘数”的定义，只需看能否把28写成两个连续偶数的平方差即可判断；(2)根据题意，列出算式，运用平方差公式进行计算，进而判断即可；(3)根据(2)中的结论，2020是否为4的倍数即可得到答案，然后再把20220写成两个连续偶数平方差的形式；(4)设两个连续的奇数为：2k+1，2k-1，运用平方差公式进行计算，进而判断即可．此题考查了因式分解的实际运用，掌握平方差公式，理解新定义的意义是解题关键．24.答案：(1)由题意，得方案一每月的利润为：(50-25)x-0.5x×2-30000=(24x-30000)元， 方案二每月的利润为：(50-25)x-0.5x×16=17x元． 故答案为：(24x-30000)，17x (2)由题意，得 24x-30000>17x，
解得：x> . 答：至少需要生产4286件这种产品，才能选择方案一更划算．解析：试题分析：(1)根据每月的利润=每件产品的利润×数量-处理污水需要的费用即可得出结论；(2)根据(1)表达式建立不等式求出其解即可．25.答案：证明：∵∠DBC=∠DCB，∴BD=CD在△ABD和△ACD中∴AB=ACBD=CDAD=AD∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠BAD=∠CAD解析：证明在△ABD和△ACD全等即可得出结论．本题考查全等三角形的判定，属于基础题型．26.答案：解：∵a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，∴a2+b2+c2+d2-2ac-2bd=0，∴(a-c)2+(b-d)2=0，∴a-c=0，b-d=0，∴a=c，b=d，∴此四边形为平行四边形．解析：根据题意和a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，可以得到a与c，b与d的关系，从而可以判断四边形是什么四边形，本题得以解决．本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的知识求得a与c，b与d的关系．
