高邮市2021-2022学年高二上学期期中学情调研数学试卷2021.11一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.2.平行直线与之间的距离为（）A.B.C.D.3.数列为等差数列，若，则（）A.B.C.D.4.在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.5.已知方程表示的曲线是椭圆，则的取值范围为（）A.B.C.D.6.若三个数成等差数列，则圆锥曲线的离心率为（）A.B.C.D.7.曲线围成的图形的面积为（）A.B.C.D.8.在平面直角坐标系中，下列结论正确的有（）个①过双曲线右焦点的直线被双曲线所截线段长的最小值为②方程表示的曲线是双曲线③若动圆过点且与直线相切，则圆心的轨迹是抛物线④若椭圆的离心率为，则实数A.B.C.D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是B.若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为C.经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或D.过两点的直线方程为10.长度为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段中点的运动轨迹为曲线，则下列选项正确的是（）A.点在曲线内B.直线与曲线没有公共点C.曲线上任一点关于原点的对称点仍在曲线上D.曲线上有且仅有两个点到直线的距离为11.已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的是（）A.B.C.当时，D.12.在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点作一条与坐标轴不平行的直线，与交于两点，则下列说法正确的是（）A.若直线与准线交于点，则B.对任意的直线，C.的最小值为D.以为直径的圆与轴公共点个数为偶数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设直线.若，则.14.椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.
根据椭圆的光学性质解决下题：现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点是它的两个焦点.当静止的小球从点开始出发，沿角直线运动，经椭圆内壁反射后再回到点时，小球经过的路程为.15.已知圆，直线，为直线上一点.若圆上存在两点，使得，则点的横坐标取值范围为.16.已知椭圆，过椭圆的上顶点作一条与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于另一点，关于轴的对称点为.若直线，与轴交点的横坐标分别为，.则它们的积为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.（10分）（1）求以椭圆的长轴端点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程；（2）已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，求抛物线的方程.18.（12分）如图所示，正方形的顶点.（1）求边所在直线的方程；（2）求出点的坐标，并写出边所在直线的方程.19.（12分）在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.问题：已知数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值.20.（12分）已知圆.（1）过点向圆引切线，求切线的方程；
（2）记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由.21.（12分）已知双曲线.（1）过的直线与双曲线有且只有一个公共点，求直线的斜率；（2）若直线与双曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以线段为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点.22.（12分）设、分别是椭圆的左、右焦点.（1）求的离心率；（2）过的直线与相交于，两点.①当为常数时.若成等差数列，且公差不为，求直线的方程；②当时.延长与相交于另一个点，试判断直线与椭圆的位置关系，并说明理由.高邮市2021—2022学年高二上学期期中学情调研数学试卷（参考答案）2021.11一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A2.B3.B4.C5.D6.C7.A8.A二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9.AD10.ABC11.BCD12.ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.14.15.16.四、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。17.解：（1）椭圆的长轴端点为，焦点为，
设所求双曲线方程为，则，所以所以所求双曲线方程为；.............................................................5分（2）由抛物线定义知，所以所以抛物线的方程为....................................................................10分18.解：（1）因为，所以.又，所以，所以边所在直线的方程为，即....................4分（2）设，由已知得，解得：，即，....8分因为，所以，所以边所在直线的方程为，即........12分19.解：（1）若选择条件①：因为所以，两式相减得，，，即，又，即，所以，，又，，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列．............................................4分所以....................................................................................6分若选择条件②：由，得，即，所以数列是等差数列，公差为，又因为，.......................4分所以数列的通项公式为......................................................6分若选择条件③：由，变形为，在原式中令得，又，所以，所以，所以数列是等差数列，首项为6，公差为-2.所以，所以，.......................4分所以当时，，符合上式，所以数列的通项公式为.........................6分（2）法1：因为，所以当时，取最大值为12....................................................12分
法2：由知时，，所以当时，取最大值为12....................................................12分20.解：（1）若斜率不存在，则方程为，符合；...............................2分若斜率存在，设方程为，即，由得，切线方程为即综上，切线方程为...............................................5分（2），设，由得化简得：，即所以动点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，..............................8分因为圆心距，所以两圆有两个公共点，............10分由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为，公共弦长为................................................12分21.解：由题意得直线的斜率必存在，设，联立，得若，即时，满足题意；.........................1分若，即时，令，解之得；........................3分综上，的斜率为（2）证明：设，，联立，得，则：........................................4分以线段为直径的圆过双曲线的左顶点，，即，..........................5分由韦达定理知，.................6分
，整理得，解得或（均满足）.........10分当时，直线：，此时，直线过点，不满足题意，故舍去；..........................11分当时，直线：，此时，直线恒过点，满足题意.........................12分所以原题得证，即直线过定点.22.解：（1）由题意得，，因为，故，即...............................2分（2）成等差数列，且公差不为，直线斜率存在，且又，；............................3分设直线方程为，联立，得，则..................................................4分，解之得故直线方程为，................................6分（3）直线与椭圆的位置关系是：相切.........................7分理由如下：设，则，令
联立，得，由韦达定理可知，并注意到，得，即，....................................9分故，得同理得............10分此时，，.....................11分直线的方程为，整理得联立，得，注意到，故此时，................12分
