高邮市2022~2022学年第一学期高二期中调研测试数学总分：160分 时间：120分钟参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.命题“若则”的否命题是▲．2.抛物线的准线方程为▲ ．3.“”是“”的▲条件.（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一）4.已知直线平面，则过直线与平面垂直的平面有▲个．5.双曲线的两条渐近线方程为▲.6.命题“”的否定是▲.7.方程表示双曲线，则实数的取值范围是▲ ．8.已知是两条不同直线,是两个不同平面,给出四个命题:①若,则②若,则③若,则④若,则其中正确的命题是▲ ．9.将椭圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，所得曲线的方程为▲.10.命题“已知点，对椭圆上任意一点，恒有”是真命题，则实数的取值范围是▲．11.已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ．-9-\n1.如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为▲．2.已知椭圆的左焦点为，右焦点为.若椭圆上存在一点，线段与圆相切于点，且为线段中点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．3.已知椭圆，点为其长轴上从左到右的五个等分点，分别过这五点作斜率为的一组平行线，交椭圆于，则10条直线的斜率乘积为▲．二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）已知双曲线过点，且与椭圆有相同的焦点．（Ⅰ）求双曲线的标准方程；（Ⅱ）求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．16．（本题满分14分）在四棱锥中，平面，四边形是菱形，分别为中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面平面．-9-\n17．（本题满分15分）设命题：实数满足，命题：实数满足(Ⅰ)若时，∧为真，求实数的取值范围；(Ⅱ)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．18．（本题满分15分）已知四面体中，,平面平面,分别为棱和的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；．（Ⅲ）点在棱上，且满足平面，求点在棱上的位置．-9-\n19．（本题满分16分）已知椭圆的两焦点坐标为，且过点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作直线交椭圆于两点.直线交椭圆于两点.若为中点，①求直线的方程；（第19题）②求四边形的面积.20．（本题满分16分）已知椭圆，为其左右顶点，是椭圆上异于一点，直线与直线交于点，的斜率乘积为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）当点纵坐标为时，，求椭圆的方程；（第20题）（Ⅲ）若，过作直线的垂线，问直线是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．-9-\n高邮市2022~2022学年第一学期高二数学期中试卷（答案）一、填空题1．若则2．3．充分不必要4．无数5．6．7．8．②③9．10．11.12．413．14．二、解答题15.解：（Ⅰ）由题意，椭圆的焦点为……2分设双曲线的标准方程为，则……4分解得：，所以所求的双曲线的方程为．……7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，双曲线的右准线方程为．……9分 设抛物线的标准方程为，则即……12分所以所求的抛物线方程为.……14分（注意：若由双曲线的右准线方程直接给出抛物线的方程不扣分）16．（Ⅰ）方法一：取中点，连结．-9-\n 因为是菱形，分别为中点， 所以且 又因为是菱形，分别为中点 所以且 所以为平行四边形 所以……4分 又因为平面，平面 所以∥平面……7分 方法二：取中点 因为为中点，所以 又因为平面，平面，所以平面……3分同理，平面又平面，所以平面∥平面……5分又平面，所以∥平面……7分方法三：连接并延长，交延长线于点，连接．评分标准同方法一 （Ⅱ）因为平面，平面，所以 又因为是菱形，所以……9分 又平面，且 所以平面……11分 又因为平面，所以平面平面……14分17．（Ⅰ）当a＝1时，由得1＜x＜3， 所以 ……2分又由 得，所以 ……4分又p∧q为真．∴x满足即2≤x＜3.所以实数x的取值范围是2≤x＜3.……7分（Ⅱ）由x2－4ax＋3a2＜0得(x－3a)(x－a)＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a.-9-\n所以，……10分由（1）知因为q是p的充分不必要条件，所以，……13分解得所以实数a的取值范围是.……15分18．证明：（Ⅰ）因为中，，为的中点，所以.……1分又∵平面平面，平面，平面平面，∴平面.……5分（Ⅱ）∵，为的中点，∴.……6分由（Ⅰ），又，，平面，∴平面.……9分又平面，∴，即.……10分（Ⅲ）因为平面，平面，平面平面 所以……13分 又因为为中点， 所以为中点……15分.19．解：（Ⅰ）由题可知，……2分解得，所以椭圆的方程为……4分（Ⅱ）①(方法一)由题可知的斜率必存在，可设直线方程为：,.联立方程，可得（*）……7分是的中点，.-9-\n,解得.直线方程为：.……9分①(方法二)设,由的中点为,可得.由，两式相减可得，……7分,直线方程为：.……9分②的斜率为，直线的方程为：.联立方程，可得或..……12分分别到直线的距离为由（*）可得，或,……14分四边形的面积……16分20．解（Ⅰ）由题可知，设，其中，即（*） -9-\n 则的斜率，的斜率 则所以，解得，即离心率……4分 （Ⅱ）设椭圆方程为由题可知设坐标为， 将代入椭圆方程得，解得 所以椭圆的方程为……9分 （Ⅲ）因为，，所以椭圆方程为，则显然直线斜率存在且不为0，设直线方程为，令，得，所以由，解得或所以……12分则的斜率为，……14分又与垂直，所以的斜率为的方程为，即，所以直线恒过原点．……16分-9-
