2021年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.角的终边经过点且，则的值为A．B．C．D．第2题图2.如图，在空间四边形各边上分别取点，若直线、相交于点，则A．点必在直线上B．点必在直线上C．点必在平面内D．点必在平面内3.下列命题中，正确的是A.垂直于同一个平面的两个平面平行B.三个平面两两相交，则交线平行C.一个平面与两个平行平面相交，则交线平行D.平行于同一条直线的两个平面平行4.已知则“”是“”的条件.A.充分不必要B．必要不充分C．充要条件D．既不充分也不必要5.设集合，则下列说法一定正确的是A．若，则B．若，则C．若，则有4个元素D．若，则6.著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（JohannesKepler）发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球轨道与太阳中心的最远距离与最近距离之比为2，则C的离心率为A．B．C．D．7.为庆祝中国共产党成立100周年，甲、乙、丙三个小组进行党史知识竞赛，每个小组各派5位同学参赛，若该组所有同学的得分都不低于7分，则称该组为“优秀小组”（满分为10分且得分都是整数），以下为三个小组的成绩数据，据此判断，一定是“优秀小组”的是甲：中位数为8，众数为7乙：中位数为8，平均数为8.4
丙：平均数为8，方差小于2A.甲B．乙C．丙D．无法确定8.在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方体各棱及表面上运动且满足,则点轨迹的面积为A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元次复系数多项式在复数集中有个复数根（重根按重数计）.在复数集范围内，若的一个根，则=A．0B．1C．2D．310.在中，，，，则A．B．C．外接圆直径是D．内切圆半径是第11题图11.正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是A.B．平面平面C．D．向量与向量的夹角是60°12.已知椭圆的左右焦点分别为是圆上且不在轴上的一点，的面积为，设的离心率为,,则A.B.C.D.三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．长轴长为4且一个焦点为的椭圆的标准方程是.14.某圆柱的侧面展开图是面积为的正方形，则该圆柱一个底面的面积为 ．15.在三棱锥中，是正三角形，平面，，则三棱锥的外接球的表面积为.16.若为的重心，，则的最小值为.四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知直线（1）求证：直线过定点，并求出该定点.（2）若直线与圆相切，求直线的方程.
18.(12分)已知是三个内角的对边，且（1）求.（2）若，求周长的最大值.A1B1C1D1ABCD19．(12分)已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，且=（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.20．(12分)已知，动点满足：（1）求动点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；（2）设动点的轨迹为，对上任意一点，在轴上是否存在一个与(为坐标原点)不重合的定点，使得为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理由.21．(12分)如图，周长为3cm圆形导轨上有三个等分点,在点出发处放一颗珠子，珠子只能沿导轨顺时针滚动.现投掷一枚质地均匀的骰子.每当掷出3的倍数时，珠子滚动2cm后停止，每当掷出不是3的倍数时，珠子滚动1cm后停止.ABC(1)求珠子恰好滚动一周后回到点的概率.(2)求珠子恰好滚动两周后回到点（中途不在点停留）的概率.
22．（12分）已知椭圆：的离心率为，椭圆的短轴长等于4．（1）求椭圆的标准方程；xyBNMAPQO（2）设,,过且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，直线，分别交：于异于点的点，，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为．①求证：为定值；②求证：直线过定点.·C2021年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考数学参考答案123456789101112BBCCDBAAADACDABCACD一．选择题：三．填空题：
四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.解：(1)由得………1分令得………………………………………………………………3分故不管取任何实数，直线恒过定点（1，1）………………………………………4分（2）由得平方得：即………………………………6分所以…………………………………………………………………8分故所求直线的方程为：………………………………………10分（用点斜式方程并讨论斜率同样给分.）18解：（1）由得…………2分故，……………………………………………………4分又，故………………………………………………………6分（2）由及……………8分故当且仅当时等号成立………10分故周长，即周长的最大值为……………12分19.解：（1）证明：设与的交点为，连接，因为，，，所以，所以，……………………………………………………………………………2分又因为是的中点，所以…………………………………………………3分在中，在故在中，故故,故又，所以…………………5分而，故平面…………………………………6分（2）（法一）连接，由（1）易知：平面，
所以为直线与平面所成的角，………………………………8分在中，，故…………………10分，所以.………………………………………12分（法二）由（1）知：两两垂直，分别以为x,y,z轴建立空间直角坐标系，依题意，得，，，，，,…………………………………………9分平面的法向量为……………………………………………………10分所以即直线与平面所成的角的正弦值为.………………………………12分20解：(1)设由有…………………1分化简可得轨迹的方程为：………………………………3分表示圆心为，半径为的圆………………………………………………5分（2）设则，设,………………………7分要使为定值，则……9分………………………………………11分故存在定点使得…………………………………………………12分21.解：（1）设掷出3的倍数为事件,掷出不是3的倍数记为事件,则……………………………………………………………1分珠子恰好转一周回到A点包含的事件为（M,N）,(N,M),(N,N,N)且这三种情况互斥…3分故所求概率为………………………………………5分(2)珠子滚两周回到A点，则必须经历以下三个步骤：①②③①A至C:此时概率为……………………………………………………7分
②C至B:掷出的必须是3的倍数，此时的概率为…………………………………9分③B至A:概率与①相同…………………………………………………………………11分又以上三个步骤相互独立，故所求概率为………………………12分22.解：（1）由题意解得所以椭圆的标准方程为：；…………………………………………………4分①设MN的方程为，与联立得：，…5分设，，则……………………………6分……8分②设PQ的方程为，与联立得，设，则……………………………………9分由……………………11分……………………………12分
