2021-2022学年北京市房山区高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．设集合M＝{0，1，3}，N＝{0，2}，则M∪N中元素的个数为（ ）A．0B．2C．3D．42．命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是（ ）A．∀x∈R，x2+2x+2≤0B．∃x∈R，x2+2x+2≤0C．∀x∈R，x2+2x+2＜0D．∃x∈R，x2+2x+2＞04．方程组的解集是（ ）A．B．（﹣1，﹣2）C．{（﹣1，﹣2）}D．{﹣1，﹣2}5．已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x123f（x）6.12.9﹣3.5那么函数f（x）一定存在零点的区间是（ ）A．（﹣∞，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）6．不等式|x﹣1|＞2的解集为（ ）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣1，3）C．（﹣1，+∞）D．（3，+∞）7．下列四组函数，表示同一函数的是（ ）A．f（x）＝，g（x）＝xB．f（x）＝x，g（x）＝C．f（x）＝|x﹣2|，D．f（x）＝，g（x）＝8．设函数f（x）的定义域为[0，1]，则“f（x）在区间[0，1]上单调递增”是“f（x）在区间[0，1]上的最大值为f（1）”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知函数，若f（m）＝4，则m等于（ ）A．2B．﹣2C．±2D．2或﹣1610．某农家旅游公司有客房300间，每间房日租金为20元，每天都客满．公司欲提高客房档次，并提高租金．如果每间房日租金每增加2元，客房出租数就会减少10间，若不考虑其他因素，旅游公司将客房每间日租金提高（ ）元时，每天客房的租金总收入最高．A．22B．20C．18D．16二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11．已知区间A＝（﹣1，+∞），B＝（﹣∞，3），则A∩B＝ ．12．已知关于x的不等式x2+px﹣q＜0的解集是{x|1＜x＜2}，则p＝ ，q＝ ．13．拟定从甲地到乙地通话t分钟的电话费为f（t）元，且f（t）＝1.06×（0.5×[t]+1），其中t＞0，[t]表示不小于t的最小整数．即[5]＝5，[2.4]＝3，[3.5]＝4，则从甲地到乙地通话5.5分钟的电话费为 ．14．已知函数f（x）同时满足下列条件：①f（x）定义域为（﹣∞，+∞）；②f（x）是偶函数；③f（x）在（0，+∞）上是减函数，则f（x）的一个解析式是 ．15．如果非空数集A满足：①0∉A；②若∀x∈A，有∈A，那么称A是“互倒集”．给出以下数集：①{x∈R|x2+ax+1＝0}；②{x|x2﹣6x+1≤0}；③{y|y＝，x∈[1，4]}；其中“互倒集”的是 .（请在横线上写出所有正确答案的序号）三、解答题：本大题共5小题，每题15分，共75分。16．（15分）已知方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，求下列各式的值：（Ⅰ）；（Ⅱ）x12+x22；（Ⅲ）|x1﹣x2|．17．（15分）已知函数f（x）＝x2﹣bx+3．（Ⅰ）若f（0）＝f（4），求函数y＝f（x）的零点；（Ⅱ）若f（x）＞0对一切实数x恒成立，求实数b的取值范围．
18．（15分）已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|a﹣1＜x＜1+a}．（Ⅰ）求集合A与∁RA；（Ⅱ）若B⊆A，求实数a的取值范围．19．（15分）某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本f（x）（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为f（x）＝﹣100x+40000．（Ⅰ）写出自变量x的取值范围；（Ⅱ）为使每吨平均处理成本最低（如处理500吨垃圾时每吨垃圾平均处理成本为），该厂每月垃圾处理量应为多少吨？20．（15分）已知函数f（x）＝x﹣．（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）证明：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；（Ⅲ）求函数f（x）＝x﹣，x∈[﹣4，﹣1]的值域．
2021-2022学年北京市房山区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．设集合M＝{0，1，3}，N＝{0，2}，则M∪N中元素的个数为（ ）A．0B．2C．3D．4【分析】由集合并集的定义求解即可．【解答】解：因为集合M＝{0，1，3}，N＝{0，2}，则M∪N＝{0，1，2，3}，所以M∪N中元素的个数为4个．故选：D．2．命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是（ ）A．∀x∈R，x2+2x+2≤0B．∃x∈R，x2+2x+2≤0C．∀x∈R，x2+2x+2＜0D．∃x∈R，x2+2x+2＞0【分析】根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定．【解答】解：原命题为：∀x∈R，x2+2x+2＞0，∵原命题为全称命题，∴其否定为存在性命题，且不等号须改变，∴原命题的否定为：∃x∈R，x2+2x+2≤0．故选：B．4．方程组的解集是（ ）A．B．（﹣1，﹣2）C．{（﹣1，﹣2）}D．{﹣1，﹣2}【分析】直接利用二元一次方程组的解法的应用求出结果．【解答】解：方程组，解得：，故解集为{（﹣1，﹣2）}．故选：C．
5．已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x123f（x）6.12.9﹣3.5那么函数f（x）一定存在零点的区间是（ ）A．（﹣∞，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）【分析】利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点．【解答】解：由于f（2）＞0，f（3）＜0，根据函数零点的存在定理可知故函数f（x）在区间（2，3）内一定有零点，其他区间不好判断．故选：C．6．不等式|x﹣1|＞2的解集为（ ）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣1，3）C．（﹣1，+∞）D．（3，+∞）【分析】解不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵|x﹣1|＞2，∴x﹣1＞2或x﹣1＜﹣2，∴x＞3或x＜﹣1，故不等式的解集是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），故选：A．7．下列四组函数，表示同一函数的是（ ）A．f（x）＝，g（x）＝xB．f（x）＝x，g（x）＝C．f（x）＝|x﹣2|，D．f（x）＝，g（x）＝【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．【解答】解：f（x）＝＝|x|，（x）＝x对应关系不同；
f（x）＝x，g（x）＝＝x（x≠1）定义域不同；f（x）＝|x﹣2|＝与表示同一函数；f（x）＝中，，解得x≥1，g（x）＝中，x2﹣1≥0，解得x≥1或x≤﹣1，两函数定义域不同．故选：C．8．设函数f（x）的定义域为[0，1]，则“f（x）在区间[0，1]上单调递增”是“f（x）在区间[0，1]上的最大值为f（1）”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分、必要条件的定义，判断命题的真假性即可．【解答】解：若函数f（x）在[0，1]上单调递增，则函数f（x）在[0，1]上的最大值为f（1），若f（x）＝（x﹣）2，则函数f（x）在[0，1]上的最大值为f（1），但函数f（x）在[0，1]上不单调，故选：A．9．已知函数，若f（m）＝4，则m等于（ ）A．2B．﹣2C．±2D．2或﹣16【分析】根据题意，由函数的解析式，分析m≤0与m＞0两种情况讨论，求出m的值，综合可得答案．【解答】解：根据题意，函数，当m≤0时，f（m）＝＝4，解可得m＝﹣16，当m＞0时，f（m）＝m2＝4，解可得m＝2或﹣2（舍），综合可得：m＝﹣16或2；故选：D．10．某农家旅游公司有客房300间，每间房日租金为20元，每天都客满．公司欲提高客房档
次，并提高租金．如果每间房日租金每增加2元，客房出租数就会减少10间，若不考虑其他因素，旅游公司将客房每间日租金提高（ ）元时，每天客房的租金总收入最高．A．22B．20C．18D．16【分析】先设宾馆客房租金每间日租金提高2x元，客房租金总收入为y，则根据如果每间客房日房租每增加2元，客房出租数就会减少10间，可得每天客房出租数为300﹣10x，从而可建立y与x的关系式，再通过二次函数，利用配方法求解最大值．【解答】解：设客房日租金每间提高2x元，则根据如果每间客房日房租每增加2元，客房出租数就会减少10间，可得每天客房出租数为300﹣10x，由x＞0，且300﹣10x＞0，得0＜x＜30．设客房租金总收入y元，y＝（20+2x）（300﹣10x）＝﹣20（x﹣10）2+8000（0＜x＜30），当x＝10时，ymax＝8000．即将客房每间日租金提高20元时，客房租金总收入最高，为每天8000元．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11．已知区间A＝（﹣1，+∞），B＝（﹣∞，3），则A∩B＝ （﹣1，3） ．【分析】由集合交集的定义求解即可．【解答】解：因为区间A＝（﹣1，+∞），B＝（﹣∞，3），则A∩B＝（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．12．已知关于x的不等式x2+px﹣q＜0的解集是{x|1＜x＜2}，则p＝ ﹣3 ，q＝ ﹣2 ．【分析】由不等式的解集得出对应方程的实数根，利用根与系数的关系列方程组求出p、q的值．【解答】解：不等式x2+px﹣q＜0的解集为{x|1＜x＜2}，所以1和2是对应方程x2+px﹣q＝0的实数根，由根与系数的关系知，，解得p＝﹣3，q＝﹣2，故答案为：﹣3，﹣2．13．拟定从甲地到乙地通话t分钟的电话费为f（t）元，且f（t）＝1.06×（0.5×[t]+1），其中
t＞0，[t]表示不小于t的最小整数．即[5]＝5，[2.4]＝3，[3.5]＝4，则从甲地到乙地通话5.5分钟的电话费为 4.24 ．【分析】先利用[t]是大于或等于t的最小整数求出[5.5]＝6，再直接代入f（t）＝1.06（0.50×[t]+1）即可求出结论．【解答】解：由[t]是大于或等于t的最小整数可得[5.5]＝6．所以f（5.5）＝1.06×（0.50×[5.5]+1）＝1.06×4＝4.24．故答案为：4.24．14．已知函数f（x）同时满足下列条件：①f（x）定义域为（﹣∞，+∞）；②f（x）是偶函数；③f（x）在（0，+∞）上是减函数，则f（x）的一个解析式是 f（x）＝﹣x2（答案不唯一） ．【分析】由常见函数的奇偶性与单调性即可求解．【解答】解：同时满足三个条件的函数可以为f（x）＝﹣x2，f（x）＝﹣|x|，f（x）＝﹣x2+1等，答案不唯一．故答案为：f（x）＝﹣x2（答案不唯一）．15．如果非空数集A满足：①0∉A；②若∀x∈A，有∈A，那么称A是“互倒集”．给出以下数集：①{x∈R|x2+ax+1＝0}；②{x|x2﹣6x+1≤0}；③{y|y＝，x∈[1，4]}；其中“互倒集”的是 ②③ .（请在横线上写出所有正确答案的序号）【分析】由互倒集的定义知，需判断集合满足三个条件：非空数集、0∉A、若∀x∈A，有∈A．依次判断即可．【解答】解：对于①{x∈R|x2+ax+1＝0}，当a＝3时，{x∈R|x2+ax+1＝0}＝∅，故不是互倒集；对于②{x|x2﹣6x+1≤0}；∵△＝36﹣4＝32＞0，∴{x|x2﹣6x+1≤0}是非空数集，且0∉{x|x2﹣6x+1≤0}，若x1∈{x|x2﹣6x+1≤0}，即x12﹣6x1+1≤0，
则﹣6+1＝≤0，故∈{x|x2﹣6x+1≤0}，故是互倒集；对于③{y|y＝，x∈[1，4]}＝[，2]，若x1∈[，2]，易知∈[，2]，故是互倒集；故答案为：②③．三、解答题：本大题共5小题，每题15分，共75分。16．（15分）已知方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，求下列各式的值：（Ⅰ）；（Ⅱ）x12+x22；（Ⅲ）|x1﹣x2|．【分析】由一元二次方程及韦达定理，逐一分析即可．【解答】解：由x﹣3x﹣1＝0，根据韦达定理，得x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，（I），（II）＝32﹣2×（﹣1）＝11，（III）|x1﹣x2|＝＝＝，17．（15分）已知函数f（x）＝x2﹣bx+3．（Ⅰ）若f（0）＝f（4），求函数y＝f（x）的零点；（Ⅱ）若f（x）＞0对一切实数x恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）依题意可得b＝4，进而函数f（x）＝x2﹣4x+3，令f（x）＝0，即可求得零点；（Ⅱ）由f（x）＞0对一切实数x恒成立，则△＝b2﹣12＜0恒成立，由此可得b的取值范
围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）为二次函数，且f（0）＝f（4），∴函数f（x）关于x＝2对称，则，即b＝4，∴f（x）＝x2﹣4x+3，令f（x）＝x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或x＝3，∴函数y＝f（x）的零点为1或3；（Ⅱ）∵f（x）＞0对一切实数x恒成立，∴△＝b2﹣12＜0，解得，∴实数b的取值范围为．18．（15分）已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|a﹣1＜x＜1+a}．（Ⅰ）求集合A与∁RA；（Ⅱ）若B⊆A，求实数a的取值范围．【分析】（1）先求出集合A，然后结合集合补集运算即可求解；（II）结合集合的数轴表示及集合的包含关系可求．【解答】解：（I）由得﹣3＜x≤4，所以A＝（﹣3，4]，∁RA＝（﹣∞，﹣3]∪（4，+∞）；（II）B＝{x|a﹣1＜x＜1+a}≠∅，A＝（﹣3，4]，若B⊆A，则，解得﹣2≤a≤3，所以实数a的取值范围[﹣2，3]．19．（15分）某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本f（x）（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为f（x）＝﹣100x+40000．（Ⅰ）写出自变量x的取值范围；（Ⅱ）为使每吨平均处理成本最低（如处理500吨垃圾时每吨垃圾平均处理成本为），该厂每月垃圾处理量应为多少吨？【分析】（Ⅰ）直接由题意可得自变量x的取值范围；
（Ⅱ）写出每吨平均处理成本，利用基本不等式求最值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，300≤x≤600；（Ⅱ）∵f（x）＝x2−100x+40000，∴每吨平均处理成本w＝＝+−100≥2−100＝200−100＝100，当且仅当＝，即x＝400吨时，上式等号成立．∴该厂每月处理垃圾应为400吨．20．（15分）已知函数f（x）＝x﹣．（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）证明：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；（Ⅲ）求函数f（x）＝x﹣，x∈[﹣4，﹣1]的值域．【分析】（I）先判断函数的定义域，然后检验f（﹣x）与f（x）的关系即可判断；（II）先设0＜x1＜x2，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；（III）结合函数的单调性即可求解函数的最大与最小值．【解答】解：（I）f（x）为奇函数，利用如下：x≠0，f（﹣x）＝﹣x+＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数；证明：（II）设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+﹣＝x1﹣x2+4×＝（x1﹣x2）（4）＜0，所以f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；解：（III）由（I）（II）及奇函数对称区间上单调性一致知，函数f（x）＝x﹣在[﹣4，﹣1]上单调递增，所以，当x＝﹣4时，函数取得最小值f（﹣4）＝﹣3，当x＝﹣1时，函数取得最大值f（﹣1）＝3，
所以函数的值域[﹣3，3]．
