2021～2022学年高三第一学期期中试卷数 学(满分：150分 考试时间：120分钟)2021．11一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1.已知集合M＝[－1，1]，N＝{x|x2－2x≤0}，则M∪N＝( ) A.[－1，1] B.[0，1] C.[－1，2] D.[－1，0]2.设f(x)＝x＋(x∈R)，则“x＞0”是“f(x)＞6”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若复数z＝a＋bi(a，b∈R)满足z·z＝z2，则( )A.a＝0，b≠0 B.a≠0，b＝0C.a＝0 D.b＝04.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a，则a6＝( )A.220 B.224 C.21024 D.240965.下列向量一定与向量－垂直的是( )A.＋ B.－ C.a＋b D.a－b6.已知sin(2θ－)＝－，θ∈(0，)，则sin(θ＋)＝( )A. B. C. D.7.若函数y＝sin2x与y＝sin(2x＋φ)在(0，)上的图象没有交点，其中φ∈(0，2π)，则φ的取值范围是( )A.[π，2π) B.[，π]C.(π，2π) D.[，π)8.函数f(x)＝lnx－的零点最多有( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．9.设等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列数列一定是等比数列的有( )10
A.a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，… B.a1＋a3，a3＋a5，a5＋a7，…C.S2，S4－S2，S6－S4，… D.S3，S6－S3，S9－S6，…10.如图，点A是单位圆O与x轴正半轴的交点，点P是圆O上第一象限内的动点，将点P绕原点O逆时针旋转至点Q，则·(－)的值可能为( )A.－1 B.－C.－ D.－11.已知函数f(x)＝＋，下列说法正确的有( )A.函数f(x)是偶函数B.函数f(x)的最小正周期为2πC.函数f(x)的值域为(1，2]D.函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为12.若正实数x，y满足lny－lnx＞y－x＞siny－sinx，则下列不等式可能成立的有( )A.0＜x＜1＜y B.y＞x＞1 C.0＜y＜x＜1 D.0＜x＜y＜1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝2x，则g(2)＋g(－2)＝________．14.试写出一个先减后增的数列{an}的通项公式：an＝________．15.若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设p＝(a＋b＋c)，则该三角形的面积S＝，这就是著名的“秦九韶－海伦公式”．若△ABC的周长为8，AB＝2，则该三角形面积的最大值为________．16.函数f(x)＝ln(1＋x)在x＝0处的切线方程为____________．由导数的几何意义可知，当x无限接近于0时，的值无限接近于1.于是，当x无限接近于＋∞时，(1＋)x的值无限接近于________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)的图象Γ与y轴交点的纵坐标为，Γ在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[0，]上的值域．10
18.(本小题满分12分)已知数列{an}是首项为1－2i(i为虚数单位)的等差数列，a1，，a3成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)设{an}的前n项和为Sn，求|S10|.10
19.(本小题满分12分)在△ABC中，点D在边BC上，AD为∠A的角平分线，AC＝AD＝，CD＝2.(1)求sin∠BAC的值；(2)求边AB的长．20.(本小题满分12分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(1)求证：a2n＋1－a2n－1＝2；(2)设bn＝a2n－1＋，求{bn}的前n项和Sn.10
21.(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝cosB，b＝cosA.(1)求证：存在△ABC，使得c＝1；(2)求△ABC面积S的最大值．10
22.(本小题满分12分)设函数f(x)＝ex－x2＋mln(x＋2)－2.(1)求证：当m＝0时，f(x)＞0在x∈(2，＋∞)上总成立；(2)求证：不论m为何值，函数f(x)总存在零点．10
2021～2022学年高三第一学期期中试卷(盐城)数学参考答案及评分标准1.C 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.A 8.B 9.BD 10.ABC 11.AD 12.AD13. 14.|n－2|(答案不唯一) 15.2 16.y＝x e217.解：(1)因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象Γ与y轴交点的纵坐标为，所以sinφ＝，又0<φ<，所以φ＝.(3分)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象Γ在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为，所以ω×＋φ＝，得ω＝2，则f(x)的解析式为f(x)＝sin(2x＋).(6分)(2)因为x∈[0，]，所以2x＋∈[，]，所以sin(2x＋)∈[－，1]，即f(x)在[0，]上的值域为[－，1].(10分)18.解：(1)∵a1，，a3成等比数列，a1＝1－2i，∴＝，∴a3＝＝1＋2i.(2分)设{an}的公差为d，则a3－a1＝(1＋2i)－(1－2i)＝4i＝2d，∴d＝2i，(4分)则an＝a1＋(n－1)d＝1－2i＋(n－1)×2i＝1＋(2n－4)i，即{an}的通项公式为an＝1＋(2n－4)i.(6分)(2)S10＝10a1＋d＝10(1－2i)＋×2i＝10＋70i，(9分)∴|S10|＝＝50.(12分)19.解：(1)在△ADC中，cos∠DAC＝＝.∵sin2∠DAC＋cos2∠DAC＝1，sin∠DAC>0，∴sin∠DAC＝.(3分)又AD为∠A的角平分线，∴sin∠BAC＝sin2∠DAC＝2sin∠DAC·cos∠DAC＝.(6分)(2)(解法1)在△ABC中，∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，即AB·AC·sin∠BAC＝AB·AD·sin∠BAD＋AD·AC·sin∠DAC，(9分)∴AB××＝AB××＋×××，∴AB＝.(12分)(解法2)在△ADC中，cos∠ADC＝＝，10
∴cos∠ADB＝cos(π－∠ADC)＝－cos∠ADC＝－.∵AD为∠A的角平分线，∴＝，即＝，∴BD＝AB.(9分)在△ADB中，AB2＝DA2＋DB2－2DA·DB·cos∠ADB，即AB2＝10＋(AB)2－2×AB×(－)，∴AB＝.(12分)(解法3)求出sinB与sin∠ADB，在△ADB中用正弦定理即得，参照评分．20.(1)证明：∵a2n＋1＝＋1，a2n＝22n(a2n－1＋1)，∴a2n＋1＝＋1＝＋1，∴a2n＋1＝a2n－1＋2，即a2n＋1－a2n－1＝2.(4分)(2)解：由(1)可知数列{an}的奇数项成等差数列，∴a2n－1＝a1＋(n－1)·2＝2n－1，∴a1＋a3＋…＋a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.(7分)又a2n＝22n(a2n－1＋1)＝2n·22n，∴＝22n＝4n，∴数列{}成等比数列，∴＋＋…＋＝4＋42＋…＋4n＝＝，∴Sn＝n2＋.(12分)21.(解法1)(1)证明：因为a＝cosB，b＝cosA，由正弦定理＝，得＝.所以sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.(2分)在△ABC中，A，B∈(0，π)，且A＋B<π，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.当A＋B＝时，C＝，所以c2＝cos2A＋cos2B＝cos2A＋sin2A＝1，即c＝1，所以存在△ABC，使得c＝1.(5分)(2)解：①当A＋B＝时，S△ABC＝cosAcosB＝sinAcosA＝sin2A≤；(8分)②当A＝B时，S△ABC＝cos2Asin(π－2A)＝cos2Asin2A＝sinAcos3A，所以S＝sin2Acos6A＝(1－cos2A)cos6A.(9分)令x＝cos2A∈(0，1)，则S＝f(x)＝(1－x)x3，所以f′(x)＝－x3＋3(1－x)x2＝x2(3－4x)，当x∈(0，)时，f′(x)＞0；当x∈(，1)时，f′(x)＜0，10
所以当x＝时，f(x)max＝f()＝，即当cos2A＝，A＝时，(S△ABC)max＝.又＞，所以△ABC面积的最大值为.(12分)(解法2)(1)证明：当a＝，b＝，c＝1时满足条件，故存在△ABC，使得c＝1.(5分)(注：满足a2＋b2＝1即可，满足C＝也可)(2)解：因为a＝cosB，b＝cosA，由正弦定理＝，得＝，所以sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.(7分)在△ABC中，A，B∈(0，π)，且A＋B＜π，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.①当A＋B＝时，S△ABC＝cosAcosB＝sinAcosA＝sin2A≤；(8分)②当A＝B时，S△ABC＝cos2Asin(π－2A)＝cos2Asin2A＝sinAcos3A，所以S＝sin2Acos6A＝(1－cos2A)cos6A.(9分)令x＝cos2A∈(0，1)，则S＝f(x)＝(1－x)x3，所以f′(x)＝－x3＋3(1－x)x2＝x2(3－4x)，当x∈(0，)时，f′(x)＞0；当x∈(，1)时，f′(x)＜0，所以当x＝时，f(x)max＝f()＝，即当cos2A＝，A＝时，(S△ABC)max＝，又＞，所以△ABC面积的最大值为.(12分)22．证明：(1)当m＝0时，f(x)＝ex－x2－2，要证f(x)＞0，即证＜1，令g(x)＝(x＞2)，所以g′(x)＝＜0，故g(x)在(2，＋∞)上单调递减，所以g(x)＜g(2)＝＜1，所以当m＝0时，f(x)＞0在x∈(2，＋∞)上总成立．(4分)(2)①当m≥0时，f(2)＝e2－6＋mln4＞0，f(－1)＝e－1－1－2＜0，又f(x)的图象在[－1，2]上连续不间断，所以函数f(x)有零点；(6分)②当m＜0时，先证当x≥4时，ex≥2x2，令φ(x)＝，所以φ′(x)＝＜0，所以φ(x)≤φ(4)＝＜，所以当x≥4时，ex≥2x2成立．此时，x≥ln(2x2)＞ln(x＋2)，所以当x≥4时，f(x)＞x2＋mx－2，设y＝x2＋mx－2的正零点为x1，x0取max{x1，4}，则f(x0)＞0，又f(－1)＝e－1－1－2＜0，f(x)的图象连续不间断，所以函数f(x)有零点．10
所以不论m为何值，函数f(x)总有零点．(12分)10
