2021～2022学年高三年级期末试卷（无锡）数 学(满分：150分 考试时间：120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A＝{x|－3≤x＜4}，B＝{y|y＝2x2＋1，x∈R}，则(∁RA)∩B＝( )A.[1，4) B.[4，＋∞)C.[－3，＋∞) D.(－∞，－3)∪[4，＋∞)2.已知(i为虚数单位，a∈R)为纯虚数，则a＝( )A.－1 B.1 C.－3 D.33.某年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5个，全年比赛失球个数的标准差为1.4；乙队每场比赛平均失球数是2.3个，全年比赛失球个数的标准差为0.3，下列说法正确的是( )A.甲、乙两队相比，乙队很少失球 B.甲队比乙队技术水平更稳定C.平均来说，甲队比乙队防守技术好 D.乙队有时表现很差，有时表现又非常好4.已知函数f(x)＝(x－)·ln|x|，则函数y＝f(x)的图象可能是( )5.已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，－1)，O为坐标原点，则·的最小值等于( )A.3 B.5－ C.4 D.5＋6.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是正方形ABCD的中心，则直线B1M与平面A1C1B所成角的正弦值为( )A. B. C. D.7.已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，A1，A2是双曲线C的左、右顶点，点P是双曲线C左支上的一点，以A1A2为直径的圆与PF2相切于点M，若M恰为PF2的中点，则双曲线C的渐近线方程为( )A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±2x8.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，则的最大值为( )10
A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知eb＜ea＜1则下列结论正确的是( )A.a2＜b2 B.＋＞2C.ab＞b2 D.lga2＜lg(ab)10.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，下列说法正确的有( )A.至少一次正面朝上的概率是B.恰有一次正面朝上的概率与恰有两次正面朝上的概率一样C.一次正面朝上、一次反面朝上的概率是D.在第一次正面朝上的条件下，第二次正面朝上的概率是11.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．有这样一个函数就是以他名字命名的：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则f(x)＝[x]称为高斯函数，又称为取整函数．如：f(2.3)＝2，f(－3.3)＝－4.则下列结论正确的是( )A.函数f(x)是R上的单调递增函数B.函数g(x)＝f(x)－x有2个零点C.f(x)是R上的奇函数D.对于任意实数a，b，都有f(a)＋f(b)≤f(a＋b)12.已知平面直角坐标系中两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，用以下方式度量A，B两点距离：d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|，则下列说法正确的是( )A.在平面直角坐标系中，A(－3，0)，N(2，0)，满足d(A，N)＝d(A，C)＋d(N，C)的点C的横坐标的取值范围是[－3，2]B.在平面直角坐标系中，任意取三点A，B，C，d(A，B)≤d(A，C)＋d(B，C)恒成立C.在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，则满足d(O，P)＝1的点P(x，y)所形成的图形是圆D.在平面直角坐标系中，点M在y2＝4x上，N(2，0)，则满足d(M，N)＝3的点M共有4个三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若(x＋)6的展开式中x2的系数为160，则实数a的值为________．14.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D在边BC上，且＝，E为AD的中点，则||＝________．15.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＞S11＞S9，则满足Sn·Sn＋1＜0的正整数n的值为________．16.已知正四面体ABCD的棱长为12，在平面BCD内有一动点P，且满足AP＝6，则点P的轨迹是________；设直线AP与直线BC所成的角为θ，则cosθ的取值范围是10
________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和Sn满足Sn＋1＋Sn－1＝2Sn＋1(n≥2，n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝log2，求数列{bn}的前n项和Tn.10
18.(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a＝，tanA＝3，________．请在①csinA＝3cosC；②(sinA－sinB)2＝sin2C－sinA·sinB这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中并加以解答．(1)求角C的大小；(2)求△ABC的面积．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．)19.(本小题满分12分)近日，中华人民共和国应急管理部公布了《高层民用建筑消防安全规定》．其中提到：在公共门厅等地停放电动车或充电，拒不改正的个人，最高可处以1000元罚款．为了研究知晓规定是否与年龄有关，某市随机抽取125名市民进行抽样调查，得到如下2×2列联表：知晓不知晓总计年龄≤60163450年龄＞6096675总计25100125参考公式和数据：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828(1)根据以上统计数据，是否有99%的把握认为知晓规定与年龄有关？10
(2)将上述调查所得的频率视为概率，现在从本地所有市民中，采用随机抽样的方法抽取4位市民，记被抽取的4位市民中知晓规定的人数为X，求X的分布列及数学期望．20.(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，DE＝AD＝2BF＝2.(1)求证：CF∥平面ADE；(2)求二面角AEFC的正弦值．10
21.(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点A(－1，)在椭圆C上，点P是y轴正半轴上的一点，过椭圆C的右焦点F和点P的直线l与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求的取值范围．22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数).(1)若不等式f(x)＞恒成立，求实数x的取值范围；(2)若不等式f(x)＜ax＋－aln2在x∈(ln2，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．10
2021～2022学年高三年级期末试卷(无锡)数学参考答案及评分标准1.B 2.C 3.C 4.A 5.B 6.D 7.D 8.A 9.ABD 10.AD 11.BD 12.ABD13.2 14. 15.20 16.圆 [0，]17.解：(1)由题得Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋1(n≥2)，即an＋1－an＝1(n≥2).因为a2－a1＝1，所以an＋1－an＝1(n≥1)，(3分)所以数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，则an＝n＋1.(5分)(2)由题bn＝log2(·2n)＝log2＋n，Tn＝(log2＋log2＋…＋log2)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝log2(××…×)＋＝log2(n＋1)＋.(10分)18.解：(1)选择①，由正弦定理，得asinC＝csinA.∵csinA＝3cosC，∴asinC＝a2cosC，∴tanC＝a＝.(3分)又C∈(0，π)，C＝.(5分)选择②，由题意，角化边得a2－2ab＋b2＝c2－ab，整理得cosC＝.(3分)又C∈(0，π)，C＝.(5分)(2)∵tanA＝3，∴sinA＝，cosA＝.(7分)由正弦定理，得c＝a＝××＝.(8分)在△ABC中，sinB＝sin(A＋)＝，(10分)∴S＝acsinB＝.(12分)19.解：(1)K2＝＝＝7.5>6.635，所以有99%的把握认为知晓规定与年龄有关．(4分)(2)由2×2列联表可知，抽到知晓规定的市民的频率为＝10
，将频率视为概率，即从市民中任意抽取到一名知晓规定的市民的概率为.由于总体容量很大，故X可视作服从二项分布，即X～B(4，),(6分)所以P(X＝k)＝C()k()4－k(k＝0，1，2，3，4).从而X的分布列为X01234P所以X的数学期望为E(X)＝4×＝.(12分)20.(1)证明：∵DE⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，∴BF∥DE.∵BF⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴BF∥平面ADE.∵四边形ABCD为菱形，∴BC∥AD.∵BC⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴BC∥平面ADE.∵BF∩BC＝B，BF⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，∴平面BCF∥平面ADE.∵FC⊂平面BCF.∴CF∥平面ADE.(5分)(2)解：取BC的中点M，连接BD.∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∴△BCD为等边三角形，∴DM⊥BC.∵AD∥BC，∴DM⊥AD.∵ED⊥平面ABCD，∴DA，DM，DE两两垂直．以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系Dxyz.(6分)∴＝(－1，，－2)，＝(1，，－1).设平面ECF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，∴n1⊥，n1⊥，∴取x1＝1，得z1＝－2，y1＝－，∴平面ECF的一个法向量n1＝(1，－，－2).(8分)又＝(－2，0，2)，＝(－1，，1)，设平面AEF的法向量为n2＝(x2，y2，z2).∴取x2＝1，得y2＝0，z2＝1，∴平面AEF的一个法向量为n2＝(1，0，1).(10分)10
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝－，sin〈n1，n2〉＝＝，即二面角AEFC的正弦值为.(12分)21．解：(1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得解得所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(4分)(2)由已知直线l的斜率k存在且k<0，设直线l的方程为y＝k(x－1)，代入椭圆方程得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，(*)显然Δ>0恒成立，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1·x2＝.(6分)过点M，N作y轴的垂线，垂足分别为M′，N′，设原点为O，则＝|x1|＋|x2|.(7分)因为点P(0，－k)是y轴正半轴上的一点，当点P在椭圆外时，－k>，所以k<－，此时|x1|＋|x2|＝x1＋x2＝＝.因为k2>3，所以4<＋4<5，所以|x1|＋|x2|∈(，2)；(9分)当点P在椭圆内时，0<－k<，所以－<k<0，|x1|＋|x2|＝|x1－x2|＝＝＝.设＝t，则k2＝t2－1，且1<t<2，所以|x1|＋|x2|＝＝＝.因为函数y＝4x－在(1，2)上单调递增，所以4t－∈(3，)，所以|x1|＋|x2|＝＝∈(，4)；(11分)当点P是椭圆上顶点时，－k＝，此时|x1|＋|x2|＝x1＋x2＝＝.综上，的取值范围是[，4).(12分)10
22.解：(1)因为f(x)＝＝1－，则f′(x)＝>0，所以f(x)在R上单调递增，所以f(x)>＝f(1)的解为x>1.(3分)(2)因为F(x)＝f(x)－(ax＋－aln2)＝－ax－＋aln2，所以F′(x)＝－a＝－.(4分)令ex＝t>0，则F′(t)＝－(t>0).令g(t)＝at2＋2(a－1)t＋a，t>0.①当a<0时，因为g(0)＝a<0，且对称轴在y轴左边，所以g(t)<0，所以F′(t)>0，即F′(x)>0，所以当x∈(ln2，＋∞)时，存在F(3)>F(ln2)＝0，不满足题意；(5分)②当a＝0时，x∈(ln2，＋∞)时，存在F(3)＝－>0，不满足题意；(6分)③当a>0时，因为Δ＝4(a－1)2－4a2＝4－8a，所以当a≥时，Δ≤0，所以g(t)≥0，所以F′(t)≤0，且F(ln2)＝0，当x∈(ln2，＋∞)时，F(x)<0，满足题意；(7分)当0<a<时，Δ>0，此时g(t)有2个零点，设为t1，t2，且t1<t2，因为t1＋t2＝－2>0，t1t2＝1，所以0<t1<1<t2.因为F(x)在(－∞，lnt1)，(lnt2，＋∞)上单调递减，在(lnt1，lnt2)上单调递增，由题意，lnt2≤ln2，即t2≤2，所以0<t1<1<t2≤2，(9分)所以方程at2＋2(a－1)t＋a＝0在(0，2]上有不等的两根．因为0<t1<1<t2，只需g(2)≥0，解得a∈[，).(11分)综上，当a∈[，＋∞)时，不等式f(x)<ax＋－aln2在x∈(ln2，＋∞)上恒成立．(12分)10
