2018-2019学年上海市某校高一（上）周爽数学试卷一、选择题：)1.设全集为U，定义集合M与N的运算：M*N＝{x|x∈M∪N且x∉M∩N}，则N*(N*M)＝（）A.MB.NC.M∩∁UND.N∩∁UM2.设集合P1={x|x2+ax+1>0}，P2={x|x2+ax+2>0}，Q1={x|x2+x+b>0}，Q2={x|x2+2x+b>0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A.对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B.对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C.存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D.存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集3.P，Q是实数集R的两个非空子集，若函数f(x)满足当x∈P时，f(x)＝2x；当x∈Q时，f(x)＝x．记A＝{y|y＝f(x), x∈P}，B＝{y|y＝f(x), x∈Q}，下列四个命题中：正确的是（）（1）若P∩Q＝⌀，则A∩B＝⌀；（2）若P∩Q≠⌀，则A∩B≠⌀；（3）若P∪Q＝R，则A∪B＝R；（4）若P∪Q≠R，则A∪B≠R；A.0个B.1个C.2个D.3个4.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝⌀，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M, N)为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割(M, N)，下列选项中，不可能成 立的是（）A.M没有最大元素，N有一个最小元素B.M没有最大元素，N也没有最小元素C.M有一个最大元素，N有一个最小元素D.M有一个最大元素，N没有最小元素二、填空题：)5.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k-1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“单独元”，给定A＝{1, 2, 3, 4, 5}，则A的所有子集中，只有一个“单独元”的集合共有________个．6.若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1, A2)为集合A的一种分析，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1, A2)与(A2, A1)为集合A的同一种分析，则集合A＝{a1, a2, a3}的不同分析种数是________．7.若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，⌀属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中有限个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a, b, c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{⌀, {a}, {c}, {a, b, c}}；②τ＝{⌀, {b}, {c}, {b, c}, {a, b, c}}；③τ＝{⌀, {a}, {a, b}, {a, c}}；④τ＝{⌀, {a, c}, {b, c}, {c}, {a, b, c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是________．试卷第3页，总4页
8.设集合P＝{1, 2, ..., 6}，A，B是P的两个非空子集．则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A, B)的个数为：________．9.若规定集合M＝{a1, a2, ..., an}(n∈N*)的子集{ai1, ai2, ⋯aim}(m∈N*)为M的第k个子集，其中k=2i1-1+2i2-1+⋯+2in-1，则M的第25个子集是________．10.已知集合A＝{0, 2, 3}，B＝{x|x＝a⋅b, a, b∈A}，则集合B的子集个数为________．11.已知集合P＝{x|1≤x≤6, x∈N}，对它的非空子集A，将A中每个元素k，都乘以(-1)k再求和（如A＝{1, 3, 6}，可求得和为(-1)⋅1+(-1)3⋅3+(-1)6⋅6＝2，则对M的所有非空子集，这些和的总和是________．12.已知集合A＝{x|x2-16≤0, x∈R}，B＝{x||x-3|≤a, x∈R}，若B⊆A，则正实数a的取值范围是________．13.已知全集U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，在U中任取四个元素组成的集合记为A＝{a1, a2, a3, a4}，余下的四个元素组成的集合记为∁UA＝{b1, b2, b3, b4}，若a1+a2+a3+a4<b1+b2+b3+b4，则集合A的取法共有________种．14.已知集合A中有10个元素，集合B中有6个元素，全集U中有18个元素，且有A∩B≠⌀，设集合∁U(A∪B)中有x个元素，则x的取值范围是________．15.设f(x)＝ax2+2x-3，g(x)＝x2+(1-a)x-a，M＝{x|f(x)≤0}，P＝{x|g(x)≥0}．若M∩P＝R，则实数a的取值集合为________．16.定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P(A)，用n(A)表示有限集A的元素个数．给出下列命题：①对于任意集合A，都有A∈P(A)；②存在集合A，使得n[P(A)]＝3；③若A∩B＝⌀，则P(A)∩P(B)＝⌀；④若A⊆B，则P(A)⊆P(B)；⑤若n(A)-n(B)＝1，则n[P(A)]＝2×n[P(B)]．其中所有正确命题的序号为________．三、解答题：)17.已知集合A＝{1, 2, 3, ..., 2n}(n∈N*)．对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1-s2|≠m，则称S具有性质P．(Ⅰ)当n＝10时，试判断集合B＝{x∈A|x>9}和C＝{x∈A|x＝3k-1, k∈N*}是否具有性质P？并说明理由．(Ⅱ)若n＝1000时①若集合S具有性质P，那么集合T＝{2001-x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由；②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值．试卷第3页，总4页
参考答案与试题解析2018-2019学年上海市某校高一（上）周爽数学试卷一、选择题：1.A2.B3.C4.C二、填空题：5.136.277.②④8.1299.{a1, a4, a5}10.1611.9612.(0, 1]13.3114.3≤x≤8且x为整数15.{-1}16.①④⑤三、解答题：17.（1）当n＝10时，集合A＝{1, 2, 3, ..., 19, 20}，B＝{x∈A|x>9}＝{10, 11, 12, ..., 19, 20}不具有性质P．因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到该集合中两个元素b1＝10与b2＝10+m，使得|b1-b2|＝m成立．集合C＝{x∈A|x＝3k-1, k∈N*}具有性质P．因为可取m＝1<10，对于该集合中任意一对元素c1＝3k1-1，c2＝3k2-1，k1，k2∈N*都有|c1-c2|＝3|k1-k2|≠1．（2）当n＝1000时，则A＝{1, 2, 3, ..., 1999, 2000}①若集合S具有性质P，那么集合T＝{2001-x|x∈S}一定具有性质P．首先因为T＝{2001-x|x∈S}，任取t＝2001-x0∈T，其中x0∈S，因为S⊆A，所以x0∈{1, 2, 3, ..., 2000}，从而1≤2001-x0≤2000，即t∈A，所以T⊆A．由S具有性质P，可知存在不大于1000的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1-s2|≠m．对于上述正整数m，从集合T＝{2001-x|x∈S}中任取一对元素t1＝2001-x1，t2＝2001-x2，其中x1，x2∈S，则有|t1-t2|＝|x1-x2|≠m，所以集合T＝{2001-x|x∈S}具有性质P．②设集合S有k个元素．由第①问知，若集合S具有性质P，那么集合T＝{2001-x|x∈S}一定具有性质P．任给x∈S，1≤x≤2000，则x与2001-x中必有一个不超过1000，所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，不妨设S中有t(t≥k2)个元素b1，b2，…，bt不超过1000．由集合S具有性质P，可知存在正整数m≤1000，使得对S中任意两个元素试卷第3页，总4页
s1，s2，都有|s1-s2|≠m，所以一定有b1+m，b2+m，…，bt+m∉S．又bi+m≤1000+1000＝2000，故b1+m，b2+m，…，bt+m∈A，即集合A中至少有t个元素不在子集S中，因此k+k2≤k+t≤2000，所以k+k2≤2000，得k≤1333，当S＝{1, 2, ..., 665, 666, 1334, ..., 1999, 2000}时，取m＝667，则易知对集合S中任意两个元素y1，y2，都有|y1-y2|≠667，即集合S具有性质P，而此时集合S中有1333个元素．因此集合S元素个数的最大值是1333．试卷第3页，总4页
