长春市2022届高三质量监测（一）文科数学本试卷共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A.B.C.D.2.在复平面内，复数对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.△中，已知分别是角的对边，若，，则△外接圆的直径为A.B.C.D.4.已知函数，若，则A.B.C.D.5.右图是某市2020年6月与2021年6月空气质量等级的频率分布条形图，根据此统计图，有下列结论：①2021年6月的空气等级为优、良的天数和多于2020年6月的天数；文科数学试题第9页（共9页）
②2020年6月没有出现重度污染天气和严重污染天气；③2021年6月份出现污染天数多于2020年6月的天数；④2020年6月份约有半个月空气质量为良.其中正确结论的个数是A.1B.2C.3D.41.下列关于函数的说法中，正确的是A.函数是奇函数B.其图象关于直线对称C.其图象关于点对称D.函数在区间上单调递增2.长方体中，，，，则异面直线与成角余弦值为A.B.C.D.3.已知，，，则A.B.C.D.4.若函数在区间内有零点，则实数的取值范围是A.B.C.D.5.已知圆，直线过点且与圆相切，若直线与两坐标轴交点分别为，则=A.B.C.D.6.已知，，则A.B.C.D.7.已知是抛物线上的一动点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为A.B.C.D.文科数学试题第9页（共9页）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.1.已知向量，，，则实数__________.2.已知公比大于1的等比数列满足，，则公比等于________.3.某公园供游人休息的石凳如图所示，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的表面积为________.（长春一模）4.曲线在点处的切线与曲线的公共点个数为_______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.5.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，△是正三角形，侧面底面，是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥与四棱锥的体积比.6.（本小题满分12分）设等差数列的前项和为，若，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.7.（本小题满分12分）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：小时）各分为5组：，得其频率分布直方图如图所示.文科数学试题第9页（共9页）
（Ⅰ）国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半小时，若该校初中学生课外阅读时间低于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间.根据以上抽样调查数据（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？（Ⅱ）从课外阅读时间不足10个小时的样本中随机抽取3人，求至少有2名初中生的概率.1.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围.2.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且有，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求证：.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.3.（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程文科数学试题第9页（共9页）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，点，求的值.1.（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若，，求实数的取值范围.（长春一模）文科数学试题第9页（共9页）
长春市普通高中2022届高三质量监测（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.A2.C3.A4.D5.C6.C7.D8.B9.A10.C11.B12.C1.集合，故选A.2.，对应点在第三象限，故选C.3.由知，，由，所以，故选A.4.，所以，故选D.5.由图中数据易知，故选C.6.由知，，C正确，故选C.7.由长方体可知，等于异面直线与所成的角，，故选D.8.，，，故，故选B.9.由函数在其定义域内单调递增，有，解得，故选A.10.直线的斜率为，，令，则，故选C.11.由，，所以，，故选B.12.过作垂直准线，为垂足，，所以（当且仅当纵坐标相等时取等号），故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.14.15.16.13..文科数学试题第9页（共9页）
1.，解得或，由等比数列的各项均大于1，故，，.2.由题意知，表面积为.3.由题意知，切线方程为，有，整理有，所以切线与曲线有2个公共点.三、解答题17.(本题满分12分)（Ⅰ）因为平面平面，底面为正方形，，所以平面，所以，又因为△是正三角形，是的中点所以，所以平面.（6分）（Ⅱ）设，，，所以.（12分）18.(本题满分12分)（Ⅰ），解得，所以.（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故①①，②①②得，所以.（12分）19.(本题满分12分)（Ⅰ）由图可求出初中生在内的频率为，故样本中初中生阅读时间的平均数为，故按国家标准，该校需要增加初中学生课外阅读时间.（6分）（Ⅱ）由图可求出初中生和高中生课外阅读时间不足10小时的人数分别为3人和2人，记初中生3人为，高中生2人为，从这5人中随机抽取3人一共有10种，分别为文科数学试题第9页（共9页）
其中至少2名初中生包括7种情况，所以所求事件的概率为.（12分）17.(本题满分12分)（Ⅰ）①当时，，在上单调递增；②当时，令，令.所以在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，而不成立.当时，的最大值为，有，即，所以.综上.（12分）18.(本小题满分12分)（Ⅰ）在△中，，，解得，所以，则椭圆的方程为：.（6分）（Ⅱ）当直线斜率为0时，易知成立，当直线斜率不为0时，设直线方程为，，消去有，，文科数学试题第9页（共9页）
所以，综上可知不论直线的斜率是否为0，总有.（12分）17.(本小题满分10分)（Ⅰ）；（5分）（Ⅱ）为参数，将其代入椭圆方程，有，对应的参数分别为，有，所以.（10分）18.(本小题满分10分)（Ⅰ），等价于或，解得或，所以不等式解集为或；（5分）（Ⅱ），等价于，等价于，，即，或，从而或.（10分）文科数学试题第9页（共9页）
