蚌埠市２０２１届高三年级第二次教学质量检查考试数学（理工类）本试卷满分１５０分，考试时间１２０分钟注意事项：１答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。２回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本题共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。１复数ｚ满足ｚ·（１＋ｉ）＝２ｉ，则｜ｚ－２ｉ｜＝槡１０Ａ槡２ＢＣ槡１０Ｄ２＋槡２２２２已知集合Ａ＝｛ｘ｜０＜ｘ＜４｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ－２ｘ－８＞０｝，则Ａ∩（瓓ＲＢ）＝Ａ（０，２］Ｂ（０，２）Ｃ（０，４］Ｄ（０，４）３３π３已知α是三角形的一个内角，ｔａｎα＝，则ｃｏｓ（α＋）＝４４Ａ－７槡２Ｂ－槡２Ｃ槡２Ｄ７槡２１０１０１０１０１ππ４函数ｙ＝ｌｎ（－＜ｘ＜）的图象是ｃｏｓｘ２２２５已知抛物线Ｃ∶ｙ＝４ｘ的焦点为Ｆ，过点Ｆ的直线ｌ交Ｃ于Ａ，Ｂ两点，且｜ＡＢ｜＝８，则线段ＡＢ中点的横坐标为Ａ１Ｂ２Ｃ３Ｄ４蚌埠市高三年级数学试卷第１页（共４页）
６某校随机调查了１１０名不同的高中生是否喜欢篮球，得到如下的列联表：男女喜欢篮球４０２０不喜欢篮球２０３０２２ｎ（ａｄ－ｂｃ）附：ｋ＝（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ）２Ｐ（ｋ≥ｋ０）０．０５００．０１００．００１ｋ０３．８４１６．６３５１０．８２８参照附表，得到的正确结论是Ａ在犯错误的概率不超过０．１％的前提下，认为“喜欢篮球与性别有关”Ｂ在犯错误的概率不超过０．１％的前提下，认为“喜欢篮球与性别无关”Ｃ有９９％以上的把握认为“喜欢篮球与性别有关”Ｄ有９９％以上的把握认为“喜欢篮球与性别无关”７在各项均为正数的等比数列中｛ａｎ｝，ａ３＝２－槡２，ａ５＝槡２＋１，则ａ１ａ５＋２ａ２ａ６＋ａ３ａ７＝Ａ１Ｂ９Ｃ５槡２＋７Ｄ３槡２＋９ｘπ８已知函数ｆ（ｘ）＝ｅ－ａｓｉｎｘ在区间（０，）上有极值，则实数ａ的取值范围是３πＡ（０，１）Ｂ（１，ｅ）Ｃ（１，２ｅ）Ｄ（１，２ｅ３）２６９在（ｘ＋－１）的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为ｘＡ６３Ｂ－５１７Ｃ－２１７Ｄ－１７７π１０函数ｆ（ｘ）＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）（Ａ＞０，ω＞０，｜φ｜＜）的２π部分图象如图所示，则将ｙ＝ｆ（ｘ）的图象向右平移个单３位后，所得图象对应函数的解析式可以为Ａｙ＝ｃｏｓ２ｘＢｙ＝－ｃｏｓ２ｘ第１０题图５ππＣｙ＝ｓｉｎ（２ｘ＋）Ｄｙ＝ｓｉｎ（２ｘ－）６６３１１已知ａ＝ｌｏｇ５６，ｂ＝ｌｏｇ３５，ｃ＝ｌｏｇ２３，ｄ＝，则ａ，ｂ，ｃ，ｄ的大小关系是２Ａｂ＜ａ＜ｄ＜ｃＢａ＜ｂ＜ｃ＜ｄＣｂ＜ａ＜ｃ＜ｄＤａ＜ｂ＜ｄ＜ｃ１２已知直四棱柱ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，其底面ＡＢＣＤ是平行四边形，外接球体积为３６π，若ＡＣ１⊥ＢＤ，则其外接球被平面ＡＢ１Ｄ１截得图形面积的最小值为２４３８１Ａ８πＢπＣπＤ６π１０１０蚌埠市高三年级数学试卷第２页（共４页）
二、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．ｘ＋２ｙ≥２，１３已知实数ｘ，ｙ满足{ｘ－ｙ＋２≥０，目标函数ｚ＝５ｘ－ｙ的最大值为．４ｘ－ｙ≤４，１４已知单位向量ｅ１，ｅ２满足：ｅ１⊥（ｅ１＋２ｅ２），则向量ｅ１与向量ｅ２的夹角θ＝２２ｘｙ２２１５双曲线Ｅ∶－＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左顶点为Ａ，Ｍ是双曲线的渐近线与圆Ｃ∶ｘ＋ｙ２２ａｂ２＝ｂ的一个交点，过Ｍ作圆的切线ｌ交ｙ轴于Ｐ，若ＡＰ的斜率为槡３，则双曲线Ｅ的离心率为．１６在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，若ａｃｏｓＣ＋２槡３ｓｉｎＣ－ｂ－ｃ＝０，且ａ＝２，则△ＡＢＣ内切圆半径的最大值为三、解答题：共７０分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第１７～２１题为必考题，每个试题考生都必须作答。第２２、２３题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共６０分．１７（１２分）已知数列｛ａｎ｝中，ａ１＝１，ａ２＝３，其前ｎ项和Ｓｎ满足Ｓｎ＋１＋Ｓｎ－１＝２Ｓｎ＋２（ｎ≥２）．（１）求数列｛ａｎ｝的通项公式；１１（２）若ｂｎ＝，记数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和为Ｔｎ，证明：Ｔｎ＜．ａｎａｎ＋１２１８（１２分）如图，已知四边形ＡＢＣＤ和ＢＣＥＧ均为直角梯形，ＡＤ∥ＢＣ，πＣＥ∥ＢＧ，且∠ＢＣＤ＝∠ＢＣＥ＝，∠ＥＣＤ＝１２０°．２ＢＣ＝ＣＤ＝ＣＥ＝２ＡＤ＝２ＢＧ．（１）求证：ＡＧ∥平面ＢＤＥ；第１８题图（２）求二面角Ｅ－ＢＤ－Ｃ的余弦值．１９（１２分）市教育局计划举办某知识竞赛，先在Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个赛区举办预赛，每位参赛选手先参加“赛区预赛”，预赛得分不低于１００分就可以成功晋级决赛，每个赛区预赛中，成功晋级并且得分最高的选手获得一次决赛中的“错题重答”特权．赛区预赛的具体规则如下：每位选手可以在以下两种答题方式中任意选择一种答题．方式一：每轮必答２个问题，共回答６轮，每轮答题只要不是２题都错，则该轮次中参赛选手得２０分，否则得０分，各轮答题的得分之和即为预赛得分；方式二：每轮必答３个问题，共回答４轮，在每一轮答题中，若答对不少于２题，则该轮次中蚌埠市高三年级数学试卷第３页（共４页）
参赛选手得３０分，如果仅答对１题，则得２０分，否则得０分各轮答题的得分之和即为预赛得分．记某选手每个问题答对的概率均为ｐ（０＜ｐ＜１）．１（１）若ｐ＝，该选手选择方式二答题，求他晋级的概率；２（２）证明：该选手选择两种方式答题的得分期望相等．２０（１２分）２２已知圆Ｅ∶（ｘ＋２）＋ｙ＝２４，动圆Ｎ过点Ｆ（２，０）且与圆Ｅ相切，记动圆圆心Ｎ的轨迹为曲线Ｃ．（１）求曲线Ｃ的方程；（２）Ｐ，Ｑ是曲线Ｃ上的两个动点，且ＯＰ⊥ＯＱ，记ＰＱ中点为Ｍ，｜ＯＰ｜·｜ＯＱ｜＝ｔ｜ＯＭ｜，证明：ｔ为定值２１（１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｘｌｎｘ－ａ（ｘ－１），（１）讨论函数ｆ（ｘ）在区间（１，＋∞）内的零点个数；３２（２）若不等式ｆ（ｘ）≤ｘ＋ａｘ－（ａ＋４）ｘ＋ａ＋２恒成立，求实数ａ的取值范围．（二）选考题：共１０分。请考生在第２２、２３题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。２２［选修４—４：坐标系与参数方程］（１０分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，以坐标原点Ｏ为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ｃ的极坐标方程为ρ＝２ｃｏｓθ＋４ｓｉｎθ，θ∈［０，２π）．（１）求曲线Ｃ的直角坐标方程；ｘ＝２槡５ｔ＋６，５（２）由直线ｌ：{（ｔ为参数，ｔ∈Ｒ）上的点向曲线引切线，求切线长的最小值．ｙ＝槡５ｔ，５２３［选修４—５：不等式选讲］（１０分）设函数ｆ（ｘ）＝｜２ｘ－１｜－｜ａ－１｜，（１）若ａ＝１时，解不等式：ｆ（ｘ）＞２｜ｘ＋１｜；（２）若关于ｘ的不等式ｆ（ｘ）＞２｜ｘ＋１｜存在实数解，求实数ａ的取值范围．蚌埠市高三年级数学试卷第４页（共４页）
蚌埠市２０２１届高三年级第二次教学质量检查考试数学参考答案及评分标准（理工类）一、选择题：题号１２３４５６７８９１０１１１２答案ＡＤＡＣＣＣＢＤＢＢＤＡ二、填空题：２π槡３１３６１４１５槡３１６３３三、解答题：１７（１２分）解：（１）由题意知，Ｓｎ＋１－Ｓｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＋２（ｎ≥２），从而ａｎ＋１＝ａｎ＋２（ｎ≥２），即ａｎ＋１－ａｎ＝２（ｎ≥２），………………………２分又ａ２－ａ１＝３－１＝２，∴数列｛ａｎ｝是以１为首项，公差为２的等差数列，…………………………４分故ａｎ＝２ｎ－１（ｎ∈Ｎ）；……………………………………………………６分１１１１１（２）ｂｎ＝＝＝(－)………………８分ａｎ·ａｎ＋１（２ｎ－１）（２ｎ＋１）２２ｎ－１２ｎ＋１１１１１１１∴Ｔｎ＝(１－＋－＋…＋－)……………………１０分２３３５２ｎ－１２ｎ＋１１１１＝(１－)＜………………………………………………………１２分２２ｎ＋１２１８（１２分）（１）证明：在平面ＢＣＥＧ中，过Ｇ作ＧＮ⊥ＣＥ于Ｎ，交ＢＥ于Ｍ，连ＤＭ，１由题意知，ＭＧ＝ＭＮ，ＭＮ∥ＢＣ∥ＤＡ且ＭＮ＝ＡＤ＝ＢＣ，２∵ＭＧ∥ＡＤ，ＭＧ＝ＡＤ，……………………………………………………………３分故四边形ＡＤＭＧ为平行四边形，∴ＡＧ∥ＤＭ，又ＤＭ平面ＢＤＥ，ＡＧ平面ＢＤＥ，故ＡＧ∥平面ＢＤＥ．…………………………………………………………………６分（２）由题意知ＢＣ⊥平面ＥＣＤ，在平面ＥＣＤ内过Ｃ点作ＣＦ⊥ＣＤ交ＤＥ于Ｆ，→→→以Ｃ为原点，ＣＤ，ＣＢ，ＣＦ的方向为ｘ，ｙ，ｚ轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设ＡＤ＝１，则ＢＣ＝ＣＤ＝ＣＥ＝２ＢＧ＝２．且Ｃ（０，０，０），Ｄ（２，０，０），Ｂ（０，２，０），Ｅ（－１，０，槡３），………………………………８分设平面ＥＢＤ的法向量ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），→ＤＥ·ｎ＝０，－３ｘ＋槡３ｚ＝０，则由{得{Ｂ→Ｄ·ｎ＝０，２ｘ－２ｙ＝０，取ｙ＝１，得ｎ＝（１，１，槡３），………………………………………………………９分蚌埠市高三年级数学试卷答案第１页（共４页）
易知平面ＢＣＤ的一个法向量为ｍ＝（０，０，１）…………………………………１０分ｃｏｓ＜ｍ，ｎ＞＝ｍ·ｎ＝槡３＝槡１５，｜ｍ｜·｜ｎ｜５槡５·１所以二面角Ｅ－ＢＤ－Ｃ的余弦值为槡１５．………………………………………１２分５１９（１２分）解：（１）该选手选择方式二答题，记每轮得分为Ｘ，则Ｘ可取值为０，２０，３０，１３１且Ｐ（Ｘ＝０）＝，Ｐ（Ｘ＝２０）＝，Ｐ（Ｘ＝３０）＝……………………３分８８２记预赛得分为Ｙ，Ｐ（Ｙ≥１００）＝Ｐ（Ｙ＝１２０）＋Ｐ（Ｙ＝１１０）＋Ｐ（Ｙ＝１００）１４３１３３２１２３２５９＝（）＋Ｃ４（）×＋Ｃ４（）×（）＝２２８２８１２８５９∴该选手所以选择方式二答题晋级的概率为．……………………………６分１２８（２）该选手选择方式一答题：设每轮得分为ξ，则ξ可取值为０，２０，２２且Ｐ（ξ＝０）＝（１－ｐ），Ｐ（ξ＝２０）＝１－Ｐ（ξ＝０）＝２ｐ－ｐ∴Ｅ（ξ）＝２０ｐ（２－ｐ），设预赛得分为Ｙ１，则Ｙ１＝６ξ，Ｅ（Ｙ１）＝Ｅ（６ξ）＝６Ｅ（ξ）＝１２０ｐ（２－ｐ）．…………………………………９分该选手选择方式二答题：设每轮得分为ζ，则ζ可取值为０，２０，３０，且３Ｐ（ζ＝０）＝（１－ｐ），２Ｐ（ζ＝２０）＝３ｐ（１－ｐ），２３Ｐ（ζ＝３０）＝３ｐ（１－ｐ）＋ｐ，２２３∴Ｅ（ζ）＝６０ｐ（１－ｐ）＋３０［３ｐ（１－ｐ）＋ｐ］＝３０ｐ（２－ｐ）．设预赛得分为Ｙ２，则Ｙ２＝４ζ，Ｅ（Ｙ２）＝Ｅ（４ζ）＝４Ｅ（ζ）＝１２０ｐ（２－ｐ）因为Ｅ（Ｙ１）＝Ｅ（Ｙ２），所以该选手选择两种方式答题的得分期望相等．…１２分２０（１２分）２２解：（１）∵点Ｆ（２，０）在圆Ｅ∶（ｘ＋２）＋ｙ＝２４内，∴圆Ｎ内切于圆Ｅ，∴｜ＮＥ｜＋｜ＮＦ｜＝２槡６＞｜ＥＦ｜，……………………………………………２分所以Ｎ点轨迹是以Ｅ，Ｆ为焦点的椭圆，且ａ＝槡６，ｃ＝２，从而ｂ＝槡２２２ｘｙ故点Ｎ的轨迹Ｃ的方程为：＋＝１．………………………………………４分６２（２）设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２），若直线ＰＱ斜率存在，设直线ＰＱ方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍ，ｙ＝ｋｘ＋ｍ２２２联立ｘ２ｙ２，整理得：（１＋３ｋ）ｘ＋６ｋｍｘ＋３ｍ－６＝０，{＋＝１６２蚌埠市高三年级数学试卷答案第２页（共４页）
２－６ｋｍ３ｍ－６ｘ１＋ｘ２＝２，ｘ１ｘ２＝２……………………………………………６分１＋３ｋ１＋３ｋ→→因为ＯＰ⊥ＯＱ，所以ＯＰ·ＯＱ＝０，即ｘ１ｘ２＋ｙ２ｙ２＝０．２２化简得：（１＋ｋ）ｘ１ｘ２＋ｋｍ（ｘ１＋ｘ２）＋ｍ＝０，２２３ｍ－６－６ｋｍ２即（１＋ｋ）·＋ｋｍ·＋ｍ＝０，２２１＋３ｋ１＋３ｋ２２从而，２ｍ－３ｋ－３＝０，①……………………………………………………８分因为ＯＰ⊥ＯＱ，且Ｍ为ＰＱ中点，所以｜ＰＱ｜＝２｜ＯＭ｜，在直角△ＡＢＣ中，记原点Ｏ到直线ＰＱ的距离为ｄ，则｜ＯＰ｜·｜ＯＱ｜＝ｄ｜ＰＱ｜＝２ｄ｜ＯＭ｜，｜ｍ｜｜ｍ｜槡６由①知，原点Ｏ到直线ｌ的距离为ｄ＝＝＝，２２槡１＋ｋ槡２｜ｍ｜槡３所以ｔ为定值槡６．………………………………………………………………１０分若直线ＰＱ斜率不存在，设直线ＰＱ方程为ｘ＝ｎ，ｘ＝ｎ２２６－ｎ６－ｎ联立ｘ２ｙ２，解得ｐ（ｎ，），（ｎ，－）{＋＝１槡３槡３６２由ＯＰ⊥ＯＱ得｜ｎ｜＝槡６，即ｔ＝槡６，２综上，ｔ为定值槡６．………………………………………………………………１２分２１（１２分）解：（１）函数ｆ（ｘ）定义域（１，＋∞），ｆ′（ｘ）＝１＋ｌｎｘ－ａ，ａ≤１时，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）在（１，＋∞）内单调递增，所以ｆ（ｘ）＞ｆ（１）＝０，ｆ（ｘ）在（１，＋∞）内无零点；……………………………３分ａ－１ａ＞１时，ｆ′（ｘ）＝０的解为ｘ０＝ｅ＞１，又因为ｆ′（ｘ）在（１，＋∞）内单调递增，所以当１＜ｘ＜ｘ０，ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）在（１，ｘ０）内单调递减，ｆ（ｘ）＜ｆ（１）＝０，所以ｆ（ｘ）在（１，ｘ０）内无零点；当ｘ＞ｘ０，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）在（ｘ０，＋∞）内单调递增；ａａａｆ（ｘ０）＜ｆ（１）＝０，ｆ（ｅ）＝ａｅ－ａ（ｅ－１）＝ａ＞０，所以ｆ（ｘ）在（ｘ０，＋∞）有且仅有一个零点；综上所述，当ａ≤１，函数ｆ（ｘ）在（１，＋∞）无零点；当ａ＞１，函数ｆ（ｘ）在（１，＋∞）有１个零点．…………………………………………………………………………６分ｌｎｘ４２（２）由题意知ａ≥－ｘ＋－在区间（０，＋∞）上恒成立，２ｘｘｘ２４－ｌｎｘ－ｘ－３＋ｌｎｘ４２ｘ设ｇ（ｘ）＝－ｘ＋－，ｇ＇（ｘ）＝，…………………８分２２ｘｘｘｘ２４１４设ｈ（ｘ）＝－ｌｎｘ－ｘ－３＋，ｈ＇（ｘ）＝－－２ｘ－＜０，２ｘｘｘ所以ｈ（ｘ）在（０，＋∞）单调递减，又因为ｈ（１）＝０，…………………………１０分蚌埠市高三年级数学试卷答案第３页（共４页）
列表如下（０，１）（１，＋∞）ｈ（ｘ）＋—ｇ＇（ｘ）＋—ｇ（ｘ）增减当时ｘ＝１，ｇ（ｘ）ｍａｘ＝ｇ（１）＝１，所以ａ≥１．…………………………………１２分２２．（１０分）解：（１）由ρ＝２ｃｏｓθ＋４ｓｉｎθ，θ∈［０，２π），２可得ρ＝２ρｃｏｓθ＋４ρｓｉｎθ，θ∈［０，２π）………………………………………２分２２２∵ρ＝ｘ＋ｙ，ρｃｏｓθ＝ｘ，ρｓｉｎθ＝ｙ２２∴曲线Ｃ的直角坐标方程为（ｘ－１）＋（ｙ－２）＝５．………………………５分ｘ＝２槡５ｔ＋６５（２）∵直线ｌ的参数方程为：{（ｔ为参数，ｔ∈Ｒ），ｙ＝槡５ｔ５∴直线ｌ上的点Ｐ(２槡５ｔ＋６，槡５ｔ)向圆Ｃ引切线长是５５２２槡｜ＰＣ｜２－５＝２槡５＋槡５－５………………………７分(ｔ＋６－１)(ｔ－２)槡５５２＝ｔ＋８槡５＋５６２槡７０()５≥５槡５∴当ｔ＝－８槡５时，切线长的最小值为２槡７０………………………………１０分５５２３．（１０分）解：（１）ａ＝１时，所解不等即为：｜２ｘ－１｜＞２｜ｘ＋１｜，……………………………２分１两边平方解得ｘ＜－，４１∴原不等式解集为{ｘ｜ｘ＜－}……………………………………………５分４（２）｜２ｘ－１｜－｜ａ－１｜＞２｜ｘ＋１｜存在实数解，即｜ａ－１｜＜｜２ｘ－１｜－２｜ｘ＋１｜存在实数解，令ｇ（ｘ）＝｜２ｘ－１｜－２｜ｘ＋１｜，即｜ａ－１｜＜ｇ（ｘ）ｍａｘ，……………………７分ｇ（ｘ）＝｜２ｘ－１｜－２｜ｘ＋１｜≤｜２ｘ－１－（２ｘ＋２）｜＝３，∴当ｘ≤－１时等号成立。∴｜ａ－１｜＜３，解得ａ∈（－２，４）…………………………………………１０分（其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）蚌埠市高三年级数学试卷答案第４页（共４页）
