蚌埠市２０２１届高三年级第三次教学质量检查考试数学（文史类）本试卷满分１５０分，考试时间１２０分钟注意事项：１答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。２回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本题共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。—１复数ｚ满足（１＋ｉ）·ｚ＝１－ｉ，则ｚ的虚部为Ａ１Ｂ－１ＣｉＤ－ｉ２２已知集合Ｐ＝｛ｘ｜ｘ－２ｘ－３≤０｝，Ｑ＝｛ｍ｝．若Ｐ∩Ｑ＝Ｑ，则实数ｍ的取值范围是Ａ（－１，３）Ｂ（－∞，３］Ｃ（－∞，－１］∪［３，＋∞）Ｄ［－１，３］３下面四个条件中，使ａ＞ｂ成立的必要不充分条件是１１Ａａ－２＞ｂＢａ＋２＞ｂＣ｜ａ｜＞｜ｂ｜Ｄ＞ａｂＳ３４已知等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，且Ｓ１＝１，Ｓ５＝２５，则＝３Ａ３Ｂ６Ｃ９Ｄ１２５国家统计局官方网站２０２１年２月２８日发布了《中华人民共和国２０２０年国民经济和社会发展统计公报》，全面展示了一年来全国人民顽强奋斗取得的令世界瞩目、可载入史册的伟大成就如图是２０１６－２０２０年国内生产总值及其增长速度统计图和三次产业增加值占国内生产总值比重统计图给出下列说法：①从２０１６年至２０２０年国内生产总值逐年递增；②从２０１６年至２０２０年国内生产总值增长逐年递减；③从２０１６年至２０２０年第三产业增加值占国内生产总值比重逐年递增；④从２０１６年至２０２０年第二产业增加值占国内生产总值比重逐年递减其中正确的的是Ａ①④Ｂ②③Ｃ②④Ｄ①③第５题图蚌埠市高三年级数学试卷第１页（共４页）
６已知向量ａ，ｂ满足｜ａ｜＝２，（ａ＋ｂ）·ａ＝２，｜ａ－ｂ｜＝２槡３，则｜ｂ｜＝Ａ１Ｂ槡３Ｃ２Ｄ４０．２７已知ａ＝ｌｏｇ３１．５，ｂ＝ｌｏｇ０．５０．１，ｃ＝０．５，则ａ、ｂ、ｃ的大小关系为Ａａ＜ｂ＜ｃＢａ＜ｃ＜ｂＣｂ＜ｃ＜ａＤｃ＜ａ＜ｂ２－ｘｅ，ｘ≤１，８已知函数ｆ（ｘ）＝{则不等式ｆ（ｘ）＜１的解集为ｌｇ（ｘ＋２），ｘ＞１，Ａ（１，７）Ｂ（０，８）Ｃ（１，８）Ｄ（－∞，８）９已知平面α，β，γ仅有一个公共点，直线ａ，ｂ，ｃ满足：ａα，ｂβ，ｃγ，则直线ａ，ｂ，ｃ的位置关系不可能是獉獉獉Ａ两两垂直Ｂ两两平行Ｃ两两相交Ｄ两两异面１０若把定义域为Ｒ的函数ｆ（ｘ）的图象沿ｘ轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于ｙ轴对称的图象，则关于函数ｆ（ｘ）的性质叙述一定正确的是獉獉獉獉Ａｆ（－ｘ）＋ｆ（ｘ）＝０Ｂｆ（ｘ－１）＝ｆ（１－ｘ）Ｃｆ（ｘ）是周期函数Ｄｆ（ｘ）存在单调递增区间ππ１１在曲线ｙ＝２ｓｉｎｘ与ｙ＝２ｃｏｓｘ的所有公共点中，任意两点间的最小距离为２２Ａ２槡３Ｂ２槡２Ｃ２Ｄ１７２２２５２２１２已知圆Ｃ∶（ｘ＋）＋ｙ＝ｐ（ｐ＞０），若抛物线Ｅ∶ｙ＝２ｐｘ与圆Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，且４４４ｓｉｎ∠ＡＢＣ＝，则ｐ＝５Ａ６Ｂ４Ｃ３Ｄ２二、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分２ｘ－ｙ－２≤０，１３已知实数ｘ，ｙ满足{ｘ＋ｙ－２≥０，则ｚ＝ｘ＋ｙ的最小值为ｘ－ｙ＋１≥０，１４“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕、着陆、巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测２０２１年２月１０日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道（将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点）２月１５日１７时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点（椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点）平面机动”，同时将近火点高度调整至约２６５公里若此时远火点距离约为１１９４５公里，火星半径约为３４００公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹（环火轨道曲线）的离心率约为（精确到０１）１５正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１棱长为２，Ｍ为ＣＤ１中点，则四面体ＡＢＤＭ外接球的体积为１ｂ１ｂ２ｂｎｂｎ＋１１６已知数列｛ａｎ｝满足：ａ１＝１，ａ２＝，＋＋…＋＝＋６（ｎ≥２且ｎ∈Ｎ＋），等３ａ１ａ２ａｎａｎ－１ｂｎ比数列｛ｂｎ｝公比ｑ＝２，则数列｛｝的前ｎ项和Ｓｎ＝ａｎ蚌埠市高三年级数学试卷第２页（共４页）
三、解答题：共７０分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第１７～２１题为必考题，每个试题考生都必须作答第２２、２３题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共６０分１７（１２分）２２４２２已知△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，ａ＋ｃ＝ａｓｉｎＢ＋２ａｃｃｏｓＢ３（１）求ｓｉｎＡ；（２）若角Ａ为锐角，且△ＡＢＣ的面积为槡３，求ａ的最小值１８（１２分）已知平面四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ⊥ＡＣ，ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ＝ＣＤ＝２，现将△ＡＢＣ沿ＡＣ折起，使得点Ｂ移至点Ｐ的位置（如图），且ＰＣ＝ＰＤ（１）求证：ＣＤ⊥ＰＡ；（２）若Ｍ为ＰＤ的中点，求点Ｄ到平面ＡＣＭ的距离第１８题图１９（１２分）数独是源自１８世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据９×９盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（３×３）内的数字均含１－９，不重复数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛赛前小明在某数独ＡＰＰ上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度ｙ（秒）与训练天数ｘ（天）有关，经统计得到如下的数据：ｘ（天）１２３４５６７ｙ（秒）９９０９９０４５０３２０３００２４０２１０ｂ（１）现用ｙ＝ａ＋作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；ｘ（２）请用第（１）题的结论预测，小明经过１００天训练后，每天解题的平均速度ｙ约为多少秒？１参考数据（其中ｔｉ＝）：ｘｉ７７—２—２∑ｔｉｙｉｔ∑ｔｉ－７×ｔｉ＝１ｉ＝１１８４５０３７０５５蚌埠市高三年级数学试卷第３页（共４页）
∧∧∧参考公式：对于一组数据（ｕ１，ｖ１），（ｕ２，ｖ２），…，（ｕｎ，ｖｎ），其回归直线ｖ＝α＋βｕ的斜ｎ——∑ｕｉｖｉ－ｎｕｖ∧ｉ＝１∧—∧—率和截距的最小二乘估计公式分别为：β＝，α＝ｖ－βｕｎ２—２∑ｕｉ－ｎｕｉ＝１２０（１２分）２２ｘｙ已知双曲线Ｃ∶－＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的虚轴长为４，直线２ｘ－ｙ＝０为双曲线Ｃ的２２ａｂ一条渐近线．（１）求双曲线Ｃ的标准方程；（２）记双曲线Ｃ的左右顶点分别为Ａ，Ｂ，过点Ｔ（２，０）的直线ｌ交双曲线Ｃ于点Ｍ，Ｎ（点Ｍｋ１在第一象限），记直线ＭＡ斜率为ｋ１，直线ＮＢ斜率为ｋ２，求证：为定值ｋ２２１（１２分）ａｘｅ已知函数ｆ（ｘ）＝－ｌｎｘ＋ｘ－２ａ，其中ａ∈Ｒｘｅ（１）若ａ＝１，求函数ｆ（ｘ）在ｘ＝１处的切线方程；（２）证明：ａ≤１时，ｆ（ｘ）≥０恒成立（二）选考题：共１０分请考生在第２２、２３题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分２２．［选修４—４：坐标系与参数方程］（１０分）２πｘ＝ｔｃｏｓ，３在平面直角坐标系ｘＯｙ中，直线ｌ的参数方程为（ｔ为参数），以坐标原点{２π，ｙ＝３＋ｔｓｉｎ３Ｏ为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ｃ的极坐标方程为ρ＝２ａｓｉｎθ（ａ＞０），曲线Ｃ与ｌ有且只有一个公共点（１）求实数ａ的值；π（２）若Ａ，Ｂ为曲线Ｃ上的两点，且∠ＡＯＢ＝，求｜ＯＡ｜·｜ＯＢ｜的最大值．３２３［选修４—５：不等式选讲］（１０分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｍ－｜ｘ｜－｜ｘ－１｜，ｍ∈Ｒ，且ｆ（ｘ）的最大值为１．（１）求实数ｍ的值；１１２（２）若ａ＞０，ｂ＞０，ａ＋ｂ＝ｍ，求证：＋＋≥４ａｂａｂ蚌埠市高三年级数学试卷第４页（共４页）
蚌埠市２０２１届高三年级第三次教学质量检查考试数学（文史类）参考答案及评分标准一、选择题：题号１２３４５６７８９１０１１１２答案ＡＤＢＡＤＣＢＣＢＣＡＤ二、填空题：１３２１４０６１５８槡２π１６（２ｎ－３）·２ｎ＋１＋６３三、解答题：１７（１２分）２２４２２４２２解：（１）由ａ＋ｃ＝ｓｉｎＢ＋２ａｃｃｏｓＢ得，ｂ＝ａｓｉｎＢ，…………………………２分３３２４２２即ｓｉｎＢ＝ｓｉｎＡｓｉｎＢ…………………………………………………………４分３∵Ａ，Ｂ为△ＡＢＣ的内角∴ｓｉｎＢ≠０则ｓｉｎＡ＝槡３……………………………………………………………………６分２１（２）若△ＡＢＣ的面积为槡３，则ｂｃｓｉｎＡ＝槡３，解得ｂｃ＝４，………………………８分２槡３１∵Ａ为锐角，且ｓｉｎＡ＝，∴ｃｏｓＡ＝．……………………………………１０分２２２２２２２由余弦定理得ａ＝ｂ＋ｃ－２ｂｃｃｏｓＡ＝ｂ＋ｃ－ｂｃ≥２ｂｃ－ｂｃ＝４当且仅当ｂ＝ｃ＝２时，ａ取最小值２………………………………………１２分１８（１２分）解：（１）由题意ＰＡ⊥ＡＣ，即∠ＰＡＣ＝９０°∵ＡＣ＝ＡＤ，ＰＣ＝ＰＤ，ＰＡ＝ＰＡ，∴△ＰＡＣ≌△ＰＡＤ，∠ＰＡＤ＝∠ＰＡＣ＝９０°，∴ＰＡ⊥ＡＤ，…………………３分又ＰＡ⊥ＡＣ，ＡＣ∩ＡＤ＝Ａ，∴ＰＡ⊥平面ＡＣＤ，∵ＣＤ平面ＡＣＤ，∴ＰＡ⊥ＣＤ………………………………………………６分１ＣＤ２１（２）∵Ｍ为ＰＤ的中点，∴ＭＤ＝槡２，又ｃｏｓ∠ＭＤＣ＝＝，ＰＤ２槡２２２２在△ＭＣＤ中，ＭＣ＝ＭＤ＋ＤＣ－２ＭＤ·ＤＣｃｏｓ∠ＭＤＣ１＝２＋４－２×槡２×２×＝４２槡２∴ＭＣ＝２………………………………………………………………………８分蚌埠市高三年级数学（文史类）参考答案第１页（共４页）
在△ＡＭＣ中，ＡＣ＝ＭＣ＝２，ＡＭ＝槡２，３槡７∴ｃｏｓ∠ＡＣＭ＝，ｓｉｎ∠ＡＣＭ＝．４４∴Ｓ＝１ＡＣ·ＣＭｓｉｎ∠ＡＣＭ＝１×２×２×槡７＝槡７，…………………１０分△ＡＭＣ２２４２设Ｄ到平面ＡＣＭ的距离为ｄ，则由ＶＤ－ＡＭＣ＝ＶＭ－ＡＤＣ得１Ｓ·ｄ＝１Ｓ·１ＰＡ，即槡７ｄ＝槡３×２２×１，得ｄ＝２槡２１，△ＡＭＣ△ＡＤＣ３３２２４７∴Ｄ到平面ＡＣＭ的距离为２槡２１……………………………………………１２分７１９（１２分）—１解：（１）由题意ｙ＝（９９０＋９９０＋４５０＋３２０＋３００＋２４０＋２１０）＝５００，………２分７１令ｔ＝，设ｙ关于ｔ的线性回归方程为ｙ＝ｂｔ＋ａ，则ｘ７——∑ｔｉ·ｙｉ－７ｔ·ｙｉ＝１１８４５－７×０．３７×５００ｂ＝＝＝１０００，…………………４分７２—２０．５５∑ｔｉ－７×ｔｉ＝１则ａ＝５００－１０００×０．３７＝１３０，……………………………………………６分∴ｙ＝１０００ｔ＋１３０，１１０００又ｔ＝，所以ｙ关于ｘ的回归方程为ｙ＝＋１３０，……………………１０分ｘｘ（２）当ｘ＝１００时，ｙ＝１４０，所以经过１００天训练后，小明每天解题的平均速度约为１４０秒…………１２分２０（１２分）解：（１）由题意知，ｂ＝２，…………………………………………………………………２分ｂ因为一条渐近线为ｙ＝２ｘ，所以＝２，解得ａ＝１，…………………………４分ａ２２ｙ则双曲线Ｃ的标准方程为ｘ－＝１………………………………………６分４（２）易知Ａ（－１，０），Ｂ（１，０），设直线ｌ∶ｘ＝ｎｙ＋２，Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２），２２ｙｘ－＝１２２联立{４，整理得（４ｎ－１）ｙ＋１６ｎｙ＋１２＝０，ｘ＝ｎｙ＋２－１６ｎ１２得ｙ１＋ｙ２＝２，ｙ１ｙ２＝２…………………………………………８分４ｎ－１４ｎ－１ｙ１ｙ２设直线ＭＡ的斜率ｋ１＝，设直线ＮＢ的斜率ｋ２＝，ｘ１＋１ｘ２－１蚌埠市高三年级数学（文史类）参考答案第２页（共４页）
ｙ１ｋ１ｘ１＋１ｙ１（ｎｙ２＋１）ｎｙ１ｙ２＋ｙ１＝＝＝…………………………………１０分ｋ２ｙ２ｙ２（ｎｙ１＋３）ｎｙ１ｙ２＋３ｙ２ｘ２－１３又ｎｙ１ｙ２＝－（ｙ１＋ｙ２），４３ｋ－（ｙ１＋ｙ２）＋ｙ１１４１所以＝＝－……………………………………１２分ｋ２３３－（ｙ１＋ｙ２）＋３ｙ２４２１（１２分）（１－ｘ）ｅ１解：（１）ｆ（ｘ）定义域为（０，＋∞），由ａ＝１，得ｆ′（ｘ）＝－＋１，………３分ｘｅｘｆ′（１）＝０，ｆ（１）＝０，则函数ｆ（ｘ）在ｘ＝１处的切线方程为ｙ＝０………６分ａｘ－ａ（１－ｘ）ｅ１（ｘ－１）（ｅ－ｘ）（２）ｆ′（ｘ）＝－＋１＝，ｘｘ－ａｅｘｘｅｘ－ａｘ－ａ令ｇ（ｘ）＝ｅ－ｘ，则ｇ′（ｘ）＝ｅ－１，１°若ａ≤０，则ｇ′（ｘ）＞０在（０，＋∞）恒成立，ｇ（ｘ）在（０，＋∞）单调递增，１因为ｇ（０）＝＞０，所以ｇ（ｘ）＞０；…………………………………………８分ａｅ２°若０＜ａ≤１，令ｇ′（ｘ）＝０，解得ｘ＝ａ，当０＜ｘ＜ａ时，ｇ′（ｘ）＜０，ｇ（ｘ）单调递减；当ｘ＞ａ时，ｇ′（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）单调递增，所以ｇ（ｘ）≥ｇ（ａ）＝１－ａ≥０，ｘ－ａ即当ａ≤１时，ｅ－ｘ≥０在（０，＋∞）恒成立．…………………………１０分所以当ｘ＞１时，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增，当０＜ｘ＜１时，ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减，ａ－１所以ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｆ（１）＝ｅ＋１－２ａ．ａ－１下证ｅ－ａ≥０（略），又１－ａ≥０，从而ｆ（１）≥０．∴ｆ（ｘ）≥０恒成立综上，当ａ≤１时，ｆ（ｘ）≥０在（０，＋∞）恒成立…………………………１２分２２（１０分）２πｘ＝ｔｃｏｓ３解：（１）由（ｔ为参数），消去参数ｔ，{２πｙ＝３＋ｔｓｉｎ３得直线ｌ的方程为槡３ｘ＋ｙ－３＝０，……………………………………………１分２由ρ＝２ａｓｉｎθ（ａ＞０），得ρ＝２ａρｓｉｎθ２２２２２将ρ＝ｘ＋ｙ，ρｓｉｎθ＝ｙ代入得ｘ＋ｙ＝２ａｙ，……………………………３分蚌埠市高三年级数学（文史类）参考答案第３页（共４页）
２２２即曲线Ｃ的直角坐标方程为ｘ＋（ｙ－ａ）＝ａ，∵曲线Ｃ与ｌ有且只有一个公共点｜０＋ａ－３｜∴＝ａ，又ａ＞０，解得ａ＝１…………………………………５分槡３＋１π（２）由已知，不妨设Ａ（ρ１，θ），Ｂ（ρ２，θ＋），θ∈［０，２π）则３π｜ＯＡ｜·｜ＯＢ｜＝｜ρ１｜｜ρ２｜＝｜２ｓｉｎθ·２ｓｉｎ（θ＋）｜………………………７分３π＝｜１＋２ｓｉｎ（２θ－）｜≤３６π∴当θ＝时，｜ＯＡ｜·｜ＯＢ｜取最大值３………………………………１０分３２３（１０分）解：（１）∵｜ｘ｜＋｜ｘ－１｜≥｜ｘ－（ｘ－１）｜＝１（当ｘ（ｘ－１）≤０时，取到等号），……………………………………………３分∴ｆ（ｘ）ｍａｘ＝ｍ－１＝１，∴ｍ＝２……………………………………………５分（２）由ａ＞０，ｂ＞０，ａ＋ｂ＝２≥２槡ａｂ，∴ａｂ≤１………………………………７分１１２ａ＋ｂ２４＋＋＝＋＝≥４ａｂａｂａｂａｂａｂ当且仅当ａ＝ｂ＝１时取等号………………………………………………１０分（以上答案仅供参考，其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）蚌埠市高三年级数学（文史类）参考答案第４页（共４页）
