蚌埠市２０２２届高三年级第一次教学质量检查考试数学（理工类）本试卷满分１５０分，考试时间１２０分钟注意事项：１答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。２回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本题共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。—１已知ｉ为虚数单位，复数ｚ满足ｚｉ＝－２＋ｉ，则ｚ＝Ａ１＋２ｉＢ－１＋２ｉＣ１－２ｉＤ－１－２ｉ２２已知全集Ｕ＝｛１，２，３，４，５｝，集合Ｍ＝｛ｘ∈Ｎ｜ｘ－６ｘ＋８≤０｝，Ｎ＝｛１，３，５｝，则（瓓ＵＭ）∩Ｎ＝Ａ｛１，５｝Ｂ｛３｝Ｃ｛１，３｝Ｄ｛１，３，５｝３若ａ＞０且ａ≠１，则“ＭＮ＞０”是“ｌｏｇａ（ＭＮ）＝ｌｏｇａＭ＋ｌｏｇａＮ”的Ａ充分不必要条件Ｂ必要不充分条件Ｃ充要条件Ｄ既不充分也不必要条件４我国在２０２０年开展了第七次全国人口普查，并于２０２１年５月１１日公布了结果自新中国成立以来，我国共进行了七次全国人口普查，下图为我国历次全国人口普查人口性别构成及总人口性别比（以女性为１００，男性对女性的比例）统计图，则下列说法错误的是Ａ近三次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势Ｂ我国历次全国人口普查总人口数呈逐次递增Ｃ第五次全国人口普查时，我国总人口数已经突破１２亿Ｄ第七次人口普查时，我国总人口性别比最高蚌埠市高三年级数学（理）试卷第１页（共４页）,ｘｘｘ５为得到函数ｙ＝ｓｉｎ＋ｃｏｓ的图象，只需将函数ｙ＝槡２ｓｉｎ的图象上所有的点３３３π３πＡ向右平移个单位Ｂ向右平移个单位４４π３πＣ向左平移个单位Ｄ向左平移个单位４４６勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形如图，在勒洛三角形ＡＢＣ内随机选取一点，则该点位于正三角形ＡＢＣ内的概率为Ａ槡３Ｂ３槡３２（π－槡３）２π（第６题图）Ｃ槡３Ｄ槡３２π－槡３２π７过点Ｐ（１，１）的直线与ｘ轴正半轴相交于点Ａ（ａ，０），与ｙ轴正半轴相交于点Ｂ（０，ｂ），则２｜ＯＡ｜＋｜ＯＢ｜的最小值为３Ａ６Ｂ３＋２槡２Ｃ２槡２Ｄ＋槡２２８某中学为了发挥青年志愿者的模范带头作用，利用周末开展青年志愿者进社区服务活动该校决定成立一个含有甲、乙两人的４人青年志愿者社区服务团队，现把４人分配到Ａ和Ｂ两个社区去服务，若每个社区都有志愿者，每个志愿者只服务一个社区，且甲、乙两人不同在一个社区的分配方案种类有Ａ４Ｂ８Ｃ１０Ｄ１２９若定义域为Ｒ的奇函数ｆ（ｘ）满足ｆ（１－ｘ）＝ｆ（１＋ｘ），且ｆ（３）＝２，则ｆ（４）＋ｆ（２０２１）＝Ａ２Ｂ１Ｃ０Ｄ－２２２ｘｙ１０已知椭圆＋＝１（ａ＞ｂ＞０）的右顶点为Ａ，坐标原点为Ｏ，若椭圆上存在一点Ｐ使得２２ａｂ△ＯＡＰ是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为Ａ槡３Ｂ槡２Ｃ槡６Ｄ槡３３２３２１１正四面体Ｐ－ＡＢＣ中，点Ｍ是棱ＢＣ上的动点（包含端点），记异面直线ＰＭ与ＡＢ所成角为α，直线ＰＭ与平面ＡＢＣ所成角为β，则Ａα＞βＢα＜βＣα≥βＤα≤βｘ１１２实数ｘ１，ｘ２满足ｘ１２＝８，ｘ２（ｌｏｇ２ｘ２－２）＝３２，则ｘ１·ｘ２＝Ａ２５６Ｂ３２Ｃ８Ｄ４二、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分。２２ｘｙ１３双曲线Ｃ：－＝１（ｂ＞０）的一条渐近线方程为３ｘ＋２ｙ＝０，则双曲线Ｃ的焦距为２４ｂ１４已知球面上三点Ａ，Ｂ，Ｃ满足ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，ＡＣ＝５，且球心到平面ＡＢＣ的距离为６，则球的表面积为蚌埠市高三年级数学（理）试卷第２页（共４页）,１５已知ａ，ｂ，ｃ是三个不同的非零向量，若｜ａ｜＝｜ｃ｜且ｃｏｓ＜ａ，ｂ＞＝ｃｏｓ＜ｃ，ｂ＞，则称ｃ是ａ关于ｂ的对称向量已知向量ａ＝（２，３），ｂ＝（１，２），则ａ关于ｂ的对称向量为（填坐标形式）．１ｎ１６若二项式（ｘ＋）展开式中第４项的系数最大，则ｎ的所有可能取值的个数为２三、解答题：共７０分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。１７（１０分）设△ＡＢＣ的内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，且ｃ（ａ＋ｃ）＝（ｂ－ａ）（ｂ＋ａ），△ＡＢＣ的最大边的边长为３（１）求角Ｂ；（２）求ａ＋ｃ的取值范围１８（１２分）已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，满足Ｓｎ＝２ａｎ－２（１）求数列｛ａｎ｝的通项公式；Ｓｎ＋Ｔｎ（２）记ｂｎ＝ｌｏｇ２ａｎ，数列｛ａｎ·ｂｎ｝的前ｎ项和为Ｔｎ，求证：为定值ａｎｂｎ１９（１２分）如图，多面体ＡＢＣＰＱ中，ＱＡ⊥平面ＡＢＣ，ＱＡ∥ＰＣ，点Ｍ为ＰＢ的中点，ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ＝ＰＣ＝２ＱＡ＝２（１）求证：平面ＰＢＱ⊥平面ＰＢＣ；（２）求二面角Ｂ－ＱＭ－Ａ的大小（第１９题图）蚌埠市高三年级数学（理）试卷第３页（共４页）,２０（１２分）某校计划在秋季运动会期间开展“运动与健康”知识大赛，为此某班开展了１０次模拟测试，以此选拔选手代表班级参赛，下表为甲，乙两名学生的历次模拟测试成绩场次１２３４５６７８９１０甲９８９４９７９７９５９３９３９５９３９５乙９２９４９３９４９５９４９６９７９７９８——２２甲，乙两名学生测试成绩的平均数分别记作ｘ，ｙ，方差分别记作ｓ１，ｓ２——２２（１）求ｘ，ｙ，ｓ１，ｓ２；（２）若某班Ａ，Ｂ两名学生模拟测试成绩的平均分并列第一，且每班只能派出一名学生参赛，则需要对他们进行加试，规则如下：设置５轮抢答，每轮抢到答题权并答对则该学生得１分，答错则对方得１分，当分差达到２分或答满５轮时，比赛结束，得分高者获胜已知Ａ，Ｂ每轮均抢答且抢到答题权的概率相同，Ａ答对的概率为０５，Ｂ答对的概率为０７，且两人每轮是否回答正确均相互独立设抢答了Ｘ轮后比赛结束，求随机变量Ｘ的分布列２１（１２分）ｘ１２２已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋ｘ－ｘ，ｇ（ｘ）＝－－２ｅ２ｘ－１（１）求ｆ（ｘ）的单调区间；（２）当ｘ∈（－∞，１）时，求证：ｇ（ｘ）≥ｆ（ｘ）２２（１２分）２已知抛物线Ｃ：ｙ＝４ｘ的焦点为Ｆ，点Ｏ为坐标原点，直线ｌ过定点Ｔ（ｔ，０）（其中ｔ＞０，ｔ≠１）与抛物线Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点（点Ａ位于第一象限）（１）当ｔ＝４时，求证：ＯＡ⊥ＯＢ；（２）如图，连接ＡＦ，ＢＦ并延长交抛物线Ｃ于两点Ａ１，Ｂ１，设△ＡＢＦ和△Ａ１Ｂ１Ｆ的面积分别为Ｓ１和Ｓ２，则Ｓ１是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明Ｓ２理由（第２２题图）蚌埠市高三年级数学（理）试卷第４页（共４页）,蚌埠市２０２２届高三年级第一次教学质量检查考试数学（理工类）参考答案及评分标准一、选择题：题号１２３４５６７８９１０１１１２答案ＣＡＢＤＤＡＢＢＤＣＣＢ二、填空题：６１７１３２槡１３１４１６９π１５（，）１６４５５三、解答题：１７（１０分）２２２（１）由题意可得，ｃ（ａ＋ｃ）＝（ｂ－ａ）（ｂ＋ａ）ａｃ＋ｃ＝ｂ－ａ２２２ａ＋ｃ－ｂ＝－ａｃ，…………………………………………………………………２分２２２ａ＋ｃ－ｂ－ａｃ１由余弦定理得ｃｏｓＢ＝＝＝－，２ａｃ２ａｃ２２π即Ｂ＝……………………………………………………………………………４分３（２）由（１）可知，△ＡＢＣ中角Ｂ为最大角，由大角对大边知ｂ＝３，ｃａｂ由正弦定理知，＝＝＝２槡３，ｓｉｎＣｓｉｎＡｓｉｎＢ所以ａ＝２槡３ｓｉｎＡ，ｃ＝２槡３ｓｉｎＣ，………………………………………………………６分πａ＋ｃ＝２槡３（ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ）＝２槡３［ｓｉｎＡ＋ｓｉｎ（－Ａ）］，３π槡３１π而ｓｉｎＡ＋ｓｉｎ（－Ａ）＝ｃｏｓＡ＋ｓｉｎＡ＝ｓｉｎ（Ａ＋），……………………………８分３２２３πππ２π又因为Ａ∈（０，），所以Ａ＋∈（，），３３３３π槡３可得ｓｉｎ（Ａ＋）∈（，１］，所以ａ＋ｃ∈（３，２槡３］………………………………１０分３２１８（１２分）（１）当ｎ＝１时，ａ１＝Ｓ１＝２ａ１－２，解得ａ１＝２≠０当ｎ≥２时，Ｓｎ－１＝２ａｎ－１－２，从而Ｓｎ－Ｓｎ－１＝２ａｎ－２ａｎ－１，化简得ａｎ＝２ａｎ－１（ｎ≥２），……………………………………………………………３分所以数列｛ａｎ｝是首项为２，公比为２的等比数列，ｎ－１ｎ则ａｎ＝２×２，即ａｎ＝２…………………………………………………………５分ｎｎ（２）ｂｎ＝ｌｏｇ２ａｎ＝ｌｏｇ２２＝ｎ，ａｎ·ｂｎ＝ｎ·２，蚌埠市高三年级数学（理）参考答案第１页（共４页）,１２３ｎ所以Ｔｎ＝１×２＋２×２＋３×２＋…＋ｎ×２，２３４ｎｎ＋１从而２Ｔｎ＝１×２＋２×２＋３×２＋…＋（ｎ－１）×２＋ｎ×２，两式相减，得２３ｎｎ＋１－Ｔｎ＝２＋２＋２＋…＋２－ｎ·２，………………………………………………９分ｎ＋１ｎ＋１即－Ｔｎ＝（１－ｎ）×２－２，所以Ｔｎ＝（ｎ－１）２＋２，ｎ＋１而Ｓｎ＝２ａｎ－２＝２－２，Ｓ＋Ｔｎ＋１ｎ＋１ｎ＋１ｎｎｎ·２－２＋２＋２－２所以＝＝２为定值．……………………………１２分ｎａｎｂｎｎ·２１９（１２分）（１）取ＢＣ中点Ｈ，连接ＡＨ，ＭＨ，１１则ＭＨ∥ＰＣ且ＭＨ＝ＰＣ，又ＱＡ∥ＰＣ且ＱＡ＝ＰＣ，２２所以ＱＡ瓛ＭＨ，即四边形ＱＡＨＭ为平行四边形，……………………………………２分从而ＱＭ∥ＡＨ，而ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，所以ＡＨ⊥ＢＣ，ＱＡ⊥平面ＡＢＣ，所以ＭＨ⊥平面ＡＢＣ，所以ＭＨ⊥ＡＨ………………………………４分且ＭＨ∩ＢＣ＝Ｈ，所以ＡＨ⊥平面ＰＢＣ，所以ＱＭ⊥平面ＰＢＣ，ＱＭ平面ＰＢＱ，所以平面ＰＢＱ⊥平面ＰＢＣ…………………………………………………………６分（２）由（１）知，分别以ＨＡ，ＨＢ，ＨＭ为ｘ，ｙ，ｚ轴建立空间坐标系，又ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ＝ＰＣ＝２ＱＡ＝２，所以Ａ（槡３，０，０），Ｑ（槡３，０，１），Ｂ（０，１，０），Ｍ（０，０，１），所以平面ＡＱＭ的一个法向量ｎ＝（０，１，０），………８分设平面ＱＢＭ的法向量分别为ｍ＝（ｘ，ｙ，ｚ），→→ＱＢ＝（－槡３，１，－１），ＭＢ＝（０，１，－１），→ＱＢ·ｍ＝０－槡３ｘ＋ｙ－ｚ＝０所以，即{，{Ｍ→Ｂ·ｍ＝０ｙ－ｚ＝０可得平面ＱＢＭ的一个法向量为ｍ＝（０，１，１），……………………………………１０分ｍ·ｎ１槡２所以二面角Ｂ－ＱＭ－Ａ为余弦值＝＝，｜ｍ｜｜ｎ｜２槡２×１π所以二面角Ｂ－ＱＭ－Ａ的大小为………………………………………………１２分４２０（１２分）—９８＋９４＋９７＋９７＋９５＋９３＋９３＋９５＋９３＋９５（１）ｘ＝＝９５，１０—９２＋９４＋９３＋９４＋９５＋９４＋９６＋９７＋９７＋９８ｙ＝＝９５，……………………………２分１０蚌埠市高三年级数学（理）参考答案第２页（共４页）,２２２２２２２２３＋（－１）＋２＋２＋０＋（－２）＋（－２）＋０＋（－２）＋０ｓ１＝＝３，１０２２２２２２２２２２（－３）＋（－１）＋（－２）＋（－１）＋０＋（－１）＋１＋２＋２＋３ｓ２＝＝３４…６分１０１１（２）Ａ每轮得１分的概率为×０５＋×（１－０７）＝０４，２２１１Ｂ每轮得１分的概率为×０７＋×（１－０５）＝０６，…………………………８分２２Ｘ的所有可能取值为２，４，５，２２Ｐ（Ｘ＝２）＝０４＋０６＝０５２，３３Ｐ（Ｘ＝４）＝２×（０４×０６＋０６×０４）＝０２４９６，２２Ｐ（Ｘ＝５）＝４×０４×０６＝０２３０４，………………………………………………１１分所以随机变量Ｘ的分布列为Ｘ２４５Ｐ０５２０２４９６０２３０４………………………………………………………………………………………１２分２１（１２分）ｘ１２（１）因为ｆ（ｘ）＝＋ｘ－ｘ，ｘｅ２ｘｘｘｅ－ｘｅ（１＋ｅ）（１－ｘ）所以ｆ′（ｘ）＝２ｘ＋１－ｘ＝ｘ，……………………………………２分ｅｅ令ｆ′（ｘ）＝０，解得ｘ＝１，且当ｘ∈（－∞，１）时，ｆ′（ｘ）＞０，ｘ∈（１，＋∞）时，ｆ′（ｘ）＜０………………………４分所以ｆ（ｘ）在（－∞，１）单调递增，在（１，＋∞）上单调递减；………………………６分２ｘ１２（２）要证ｇ（ｘ）≥ｆ（ｘ）即证－－２≥＋ｘ－ｘ，ｘｘ－１ｅ２２ｘｘ１２即－≥ｘ＋ｘ－ｘ，……………………………………………………………８分ｘ－１ｅ２２１１设Ｆ（ｘ）＝－－ｘ－１＋ｘ，即证ｘＦ（ｘ）≥０ｘ－１ｅ２２１１因为Ｆ′（ｘ）＝２＋ｘ＋（ｘ－１）ｅ２所以当ｘ∈（－∞，１）时，Ｆ′（ｘ）＞０恒成立，Ｆ（ｘ）单调递增……………………１０分故当ｘ＝０时，Ｆ（ｘ）＝０；当０＜ｘ＜１时，Ｆ（ｘ）＞０；当ｘ＜０时，Ｆ（ｘ）＜０所以当ｘ∈（－∞，１），ｘＦ（ｘ）≥０即当ｘ∈（－∞，１）时，ｇ（ｘ）≥ｆ（ｘ）………………………………………………１２分２２（１２分）（１）设直线ｌ方程为ｘ＝ｍｙ＋４，Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），ｘ＝ｍｙ＋４，联立直线ｌ与抛物线Ｃ的方程，{ｙ２＝４ｘ，蚌埠市高三年级数学（理）参考答案第３页（共４页）,２消去ｘ，得ｙ－４ｍｙ－１６＝０，…………………………………………………………２分２２→→ｙ１ｙ２所以ＯＡ·ＯＢ＝（ｘ１，ｙ１）·（ｘ２，ｙ２）＝ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝·＋ｙ１ｙ２４４２（ｙ１ｙ２）＝＋ｙ１ｙ２＝１６－１６＝０，１６即ＯＡ⊥ＯＢ…………………………………………………………………………５分（２）设直线ｌ方程为ｘ＝ｍｙ＋ｔ，Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），ｘ＝ｍｙ＋ｔ，联立直线ｌ与抛物线Ｃ的方程，{ｙ２＝４ｘ，２消去ｘ，得ｙ－４ｍｙ－４ｔ＝０，故ｙ１ｙ２＝－４ｔ………………………………………………………………………６分设Ａ１（ｘ３，ｙ３），Ｂ１（ｘ４，ｙ４），Ａ１Ａ的方程为ｘ＝ｎｙ＋１，ｘ＝ｎｙ＋１２联立直线Ａ１Ａ与抛物线Ｃ的方程，消去ｘ得ｙ－４ｎｙ－４＝０，{ｙ２＝４ｘ４从而ｙ１＋ｙ３＝４ｎ，ｙ１ｙ３＝－４，则ｙ３＝－，ｙ１４同理可得ｙ４＝－，…………………………………………………………………８分ｙ２１｜ＡＦ｜｜ＢＦ｜ｓｉｎ∠ＡＦＢＳ１２｜ＡＦ｜｜ＢＦ｜｜ｙ１ｙ2｜∴＝＝＝Ｓ２１｜ＡＦ｜｜ＢＦ｜ｓｉｎ∠ＡＦＢ｜Ａ１Ｆ｜｜Ｂ１Ｆ｜｜ｙ３ｙ４｜１１１１２２２ｙ１ｙ２２＝＝ｔ１６Ｓ１即为定值………………………………………………………………………１２分Ｓ２（以上答案仅供参考，其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）蚌埠市高三年级数学（理）参考答案第４页（共４页）
