（新教材）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号2021-2022学年上学期高二第一次月考备考金卷数学（B）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量分别是平面和平面的法向量，若，则与所成的锐角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】B【解析】设与所成的角为θ，且0°<θ<90°，则，，故选B．2．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（）A．A､B､DB．A､B､CC．B､C､DD．A､C､D【答案】A【解析】因为，所以，
又有公共点，所以A､B､D三点共线，故选项A正确；显然不共线，所以、、三点不共线，故选项B错误；显然不共线，所以、、三点不共线，故选项C错误；因为，所以不共线，从而、、三点不共线，故选项D错误，故选A．3．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（）A．B．97C．D．61【答案】C【解析】∵，∴，故选C．4．已知直线l过点和l垂直的一个向量为，则P(3,5,0)到l的距离为（）A．5B．14C．D．【答案】C【解析】∵，，，∴点P到直线l的距离为．5．已知，，，若三向量共面，则实数等于（）A．2B．3C．4D．5【答案】C
【解析】∵与不共线，则取，作为平面的一组基向量，又三向量共面，则存在实数使得，∴，解得，故选C．6．如图，已知空间四边形，其对角线为，分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，因为分别为的中点，所以，，所以，故选A．7．长方体，，，点在长方体的侧面上运动，，则二面角的平面角正切值的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，
设点P的坐标为，图中各点的坐标表示如下：B(1，1，0)，D1(0，0，2)，A(1，0，0)，，，又，，即，所以，所以点P在平面BCC1B1内的轨迹为由点C到BB1四等分点（靠近B点）的一条线段，且点P由C点向BB1四等分点移动过程中，二面角逐渐增大，当点P位于C点处时，二面角最小，最小值为0，当点P位于BB1四等分点处时，二面角最大，此时，即为二面角的平面角，，所以二面角正切值的取值范围为，选项ACD错误，选项B正确，故选B．8．如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（）
A．B．C．D．【答案】D【解析】设线段的中点为，连接，，为的中点，则，，则，，同理可得，，，平面，过点在平面内作，垂足为点，因为，所以为等边三角形，故为的中点，平面，平面，则，，，平面，以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，因为是边长为的等边三角形，为的中点，则，
则、、、，由于点在平面内，可设，其中，且，从而，因为，则，所以，故当时，有最大值，即，故，即有最大值，所以，，故选D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法不正确的是（）A．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于30°B．两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角C．二面角的大小范围是D．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小【答案】ABD【解析】当直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为150°时，直线l与平面α所成的角为60°，A不正确；向量夹角的范围是，而异面直线夹角为，B不正确；二面角的范围是，C正确；
二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角的大小相等或互补，D不正确，故选ABD．10．设是空间的一个基底，若，，．给出下列向量组可以作为空间的基底的是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】如图：在长方体中，设，，，则，，，，由图可知：三个向量共面，所以不能作为基底；三个向量不共面，三个向量不共面，三个向量不共面，所以，，可以作为基底，故选BCD．11．在长方体中，､､分别为棱､､的中点，，，则正确的选项是（）A．异面直线与所成角的大小为60°B．异面直线与所成角的大小为90°
C．点到平面的距离为D．点到平面的距离为【答案】BC【解析】如图建立空间直角坐标系，连接，则，，，，，所以，，所以，所以，所以异面直线与所成角的大小为90°，故A错误，B正确；又，，设平面的一个法向量，则，令，则，则点到平面的距离为，故C正确，D错误，故选BC．12．已知，分别是正方体的棱和的中点，则（）
A．与是异面直线B．与所成角的大小为C．与平面所成角的余弦值为D．二面角的余弦值为【答案】AD【解析】对选项A，由图知：与是异面直线，故A正确；以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为，对选项B，，，，，所以，，设与所成角为，则，又因为，所以，故B错误；对选项C，由题知：平面的法向量为，因为，，
设与平面所成角为，则，，故C错误；对选项D，，，设平面的法向量，则，令，得；设平面的法向量，，则，令，得，设二面角的平面角为，则，又因为为锐角，所以，故D正确，故选AD．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知点，，，，则在上的投影向量的长度为________．【答案】【解析】由已知得，，∴，又，所以在上的投影向量的长度为，故答案为．
14．已知，，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（O为坐标原点）__________．【答案】【解析】设，则，因为点Q在直线OP上运动，所以，所以，即，，所以，所以，所以当时，取得最小值，此时点Q的坐标为，故答案为．15．如图，在直三棱柱中，，，点､､分别是､､的中点，点是上的动点．若，则线段长度为__________．【答案】【解析】因为三棱柱是直三棱柱，且，
所以以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，点､､分别是､､的中点，所以，，，因为点是上的动点，设，所以，，因为，所以，解得，所以，，所以，即线段长度为，故答案为．16．在棱长为的正方体中，，点在正方体的表面上移动，且满足，当在上时，______；满足条件的所有点构成的平面图形的周长为______．【答案】，【解析】如图，取、上的点分别为、，连接、、、，使得，、、、四点共面，且四边形为梯形．正方体的边长为，
所以，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、．设点、，设，且，，，解得，，，，由，则平面．点在正方体表面上移动，且，则点的运动轨迹为梯形，，，解得，即点，所以，当在上运动时，，又，，，所以，梯形为等腰梯形，且梯形的周长，故答案为，．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为的
重心．（1）求证：；（2）化简：．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1），①，②，③，①+②+③得．（2）因为，所以．18．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，点在棱上，且，是的中点．利用空间向量解决下列问题：（1）求与所成的角；（2）求与所成角的余弦值；
（3）求两点间的距离．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】如图，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，（1）因为，，所以，所以，故，即与所成的角为．（2）因为，所以，因为，且，所以，即与所成角的余弦值为．（3）因为是的中点，所以，又因为，所以，即两点之间的距离为．
19．（12分）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面平面，是斜边的长为的等腰直角三角形，，分别是棱，的中点，是棱上一点．（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正切值为，求锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）依题意可得，．∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，平面，∴．在中，，是棱的中点，所以，又，，平面，∴平面．又平面，∴平面平面．（2）如图，取的中点，连接，，
则，，由（1）知平面，∴平面，∴是直线与平面所成角，∴，∴，∴，∴是棱的中点，以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则有，，，，∴，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，令，则；有，令，则，∴，∴锐二面角的余弦值为．20．（12分）在长方体中，底面是边长为1的正方形，为棱上的中点．（1）若，求的长度；
（2）若二面角的余弦值为，求的长度．【答案】（1）2；（2）．【解析】（1）设，∵，∴，∴．（2）如图所示建立空间直角坐标系，设，，，，，则，，，设面的法向量为，则，令，得；设面的法向量为，则，令，得，所以，，．
21．（12分）已知为等腰直角三角形，，，分别为和上的点，且，，如图1．沿EF将折起使平面平面，连接，，如图2．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）已知为棱上一点，试确定的位置，使平面．【答案】（1）；（2）当时，平面．【解析】（1）因为平面平面，，所以．又，所以建立如图1所示的空间直角坐标系，
因为为等腰直角三角形，，，分别为和上的点，且，，则，，，，所以，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为．（2）方法一：设，因为，所以．设为平面的一个法向量，则，即，因此可取，所以．因为平面，所以，即，所以当时，平面．方法二：当时，平面．证明如下：如图2，在平面内过作交于，连接．
因为，，所以四边形为平行四边形，所以．因为，所以，又，所以．因为平面，所以平面．又因为，平面，所以平面．因为，所以平面，因为平面，所以平面．22．（12分）在①平面，②平面平面，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，为中点，为内的动点（含边界）．（1）求点到平面的距离；（2）若__________，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）在三棱锥中，连接，，因为是以为斜边的等腰直角三角形，，为中点，所以，，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，∴，，两两垂直．∴，又，∴，∴点到平面的距离为．（2）与平面所成角的正弦值的取值范围为．以选条件①为例（亦可使用综合法、综合与向量混用法）在三棱锥中，以为坐标原点，为正交基底，建立空间直角坐标系，则，，，，，设，则，，，，，设平面的法向量为，则，即，即，不妨令，则；
同理可求得平面的法向量，（选条件①）因为平面，平面，∴，即，即，∴，又，∴，∴，又平面，∴是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，令，，，∴，令，则，∴在上单调递增，∴，∴，∴，∴直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．选条件②，条件③结果相同．
