2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题)1.设，，则"〱⸸〱”的充要条件是（）A.，不都为B.，都不为C.，中至多有一个是D.，都不为2.下列不等式中，正确的是（）A.若，〲，则〲B.若，，，则C.若，则D.若〲且〲，则〱3.正项等比数列中，，⸸⸸，则的值是()〱A.B.C.⸸D.⸸4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长日，长为尺；莞生长日，长为尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为（）日．（结果保留一位小数．参考数据：lg晦，lg晦⸸）A.晦B.晦C.晦D.晦5.过点，且与椭圆〱有相同焦点的椭圆的标准方程为A.〱B.〱C.〱D.〱⸸⸸6.已知等差数列的前项和为，公差不为，且成等比数列，〱⸸则的最小值为（）〱A.B.C.D.⸸7.已知椭圆〱上有个不同的点，，，，若点坐标为，数列是公差为〲的等差数列，则〲的最大值为（）〱A.B.C.D.8.如图，已知椭圆〱及两条直线：，：，且分别交轴于，两点．从上一点发出一条光线经过椭圆的左焦点被轴反射后与交于点．若，且，则椭圆的离心率等于（）试卷第1页，总9页
A.B.C.D.⸸二、多选题)9.下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是()A.R，〱B.所有正方形都是矩形⸸C.R，〱D.R，〱10.设首项为的数列的前项和为，已知〱，则下列〱结论正确的是()A.数列〱为等比数列B.数列的通项公式为C.数列〱为等比数列D.数列的前项和为〱⸸11.已知椭圆〱的左、右焦点分别为，，，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是A.〱的最大值为〱B.若存在点，使得，则椭圆的离心率的最小值是C.椭圆的短轴长可能为D.〱的最小值为12.《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．如图，是圆的直径，，是圆上的点，交的延长线于点，，，垂足为．设，，则下列等式中正确的是（）试卷第2页，总9页
〱〱A.B.C.D.〱三、填空题)13.若正数，满足〱，则〱的最小值为________．14.若命题“，݉〱”是真命题，则实数݉的取值范围是________.〱15.已知为椭圆〱的半焦距，当取得最大值时，椭圆的离心率________.16.如图是一个面积为的三角形，现进行如下操作．第一次操作：分别连结这个三角形三边的中点，构成⸸个三角形，挖去中间一个三角形（如图①中阴影部分所示），并在挖去的三角形上贴上数字标签“”；第二次操作：连结剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形（如图②中阴影部分所示），同时在挖去的个三角形上都贴上数字标签“”；第三次操作：连结剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“”；…，如此下去．记第次操作后剩余图形的总面积为．________.；欲使剩余图形的总面积不足原三角形面积的，问至少经过________次操作？⸸四、解答题)17.已知命题：“函数〱݉存在零点”；命题：“曲线〱݉〱݉表示焦点在轴上的椭圆”；命题ݐ݉ݐ〱.若与都是真命题，求݉的取值范围;若是的必要不充分条件，求的取值范围．18.在①，〱；②⸸，〱⸸；③，⸸〱⸸，从这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列的公差为〲〲，前项和为，等比数列的公比为，且，〲，________．求数列，的通项公式;记，求数列的前项和.19.已知椭圆的两个焦点分别为，为椭圆上一点，且〱.求此椭圆的标准方程；若点在第二象限，，求的面积．试卷第3页，总9页
20.按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的݉单价为݉元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度݉〱为．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为和，则他对这两种〱交易的综合满意度为.现假设甲生产，两种产品的单件成本分别为元和元，乙生产，两种产品的单件成本分别为⸸元和元，设产品，的单价分别为݉元和݉元，甲买进与卖出的综合满意度为，乙卖出与买进的综合满意度为.甲乙⸸求甲和乙关于݉，݉的表达式；当݉݉时，求证：甲乙；⸸设݉݉，当݉݉分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？21.如图，分别是椭圆〱的左、右焦点，上顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连结.若椭圆的离心率，求证：；若〱，⸸，求椭圆的方程．〱22.已知数列N的，前项和为，且对于任意的N恒成立．求数列的通项公式；记〱，且数列前݉项和为݉，不等式݉݉ݐ݉〱的解集中有且仅有两个不同的正整数，求的取值范围．试卷第4页，总9页
参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题1.B2.D3.A4.C5.B6.A7.C8.D二、多选题9.A,B10.A,D11.A,D12.A,B,C三、填空题13.14.15.16.四、解答题17.解：：函数〱݉存在零点，∴⸸⸸݉，∴݉.：曲线〱表示焦点在轴上的椭圆，݉〱݉∴݉〱݉，∴ݐ݉ݐ.݉若与都是真命题则ݐ݉ݐ∴ݐ݉.若是的必要不充分条件，，则（等号不同时取到），〱∴.，〱〲，18.解：若选①由得〱〱〲〲，，∴解得或，〲〲晦试卷第5页，总9页
∵〲，∴〲，∴，；⸸〲⸸若选②由得〱⸸〱〲〲⸸⸸∴解得或〲〲晦∵〲，∴〲，∴；，〱〲，若选③由得⸸〱〱〲〲，，∴解得，或〲〲晦∵〲，∴〲，∴.，〱〱〱〱①，〱〱〱……〱〱②，∴①②得〱〱〱〱，〱∴⸸.19.解：∵⸸，∴，∴〱，∴⸸，∴⸸，∴此椭圆的标准方程为〱.设，则.在中，〱cos，∴〱⸸，∴，∴sin.试卷第6页，总9页
20.解：由题意得：݉݉甲݉〱݉〱݉݉݉⸸，݉〱݉〱݉݉乙݉〱⸸݉〱݉݉݉⸸，݉，݉〱⸸݉〱⸸当݉݉时，⸸݉݉݉甲⸸݉，݉〱݉〱〱݉〱⸸݉݉݉乙⸸݉，݉〱⸸݉〱〱݉〱∴．甲乙⸸当݉݉时，݉甲݉，〱݉〱〱〱݉݉由݉得，，݉∴当，即݉时，取得最大值，此时݉．݉⸸答：当݉，݉时，甲、乙两人的综合满意度均最大，最大的综合满意度为．⸸21.解：设直线方程为〱，联立直线和椭圆方程可以解得，〱〱由椭圆的对称性得，〱〱所以直线的斜率为〱，〱〱直线的斜率为,结合可得:〱试卷第7页，总9页
〱〱,〱所以.连结，则〱〱〱〱〱〱.又〱，则，.〱〱〱直线的方程为〱，即〱，所以〱〱〱〱〱.〱⸸因此，〱化简得，所以，故椭圆的方程为〱.〱22.解：∵，〱〱∴〱〱．〱〱∴〱〱．〱∴〱．〱∴，又．〱∴是常数列，即．∴．由知〱〱〱，݉〱݉〱∴݉݉〱〱݉，∴݉݉݉݉．∵݉݉ݐ݉݉∴，〱݉ݐ݉〱，试卷第8页，总9页
当݉时，ݐ恒成立，݉〱当݉时，ݐ.݉݉݉〱设݉，݉݉݉〱݉〱∴݉〱݉݉〱݉݉݉݉ݐ．݉݉݉〱当݉时，数列݉单调递减．∵，且不等式݉݉ݐ݉〱有且仅有两个不同的正整数解，ݐ，∴的取值范围时．试卷第9页，总9页
