2019-2020学年广东省韶关市某校高三（上）期中考试数学（理）试卷一、选择题)1.设集合ܰذ٠앐٠앐ʒ앐چܰ蹘ذ樋灰٠앐ʒ앐چ，则ܰ()A.ذ灰樋앐٠ʒ앐چ.Dذ灰樋앐ʒ앐چ.Cذ灰樋앐灰٠ʒ앐چ.Bذ앐ʒ앐چ2.复数ܰ٠的共轭复数在复平面上的对应的点在（）象限A.第一B.第二C.第三D.第四3.我国古代学者庄子在《庄子·天下篇》中提到:“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，指一尺长的木棒，今天取其一半，明天取剩下的一半，后天再取剩下的一半，永远也取灰不尽.现有一尺长的线段，每天取走它的，天后剩下的线段长度不超过Ǥ灰尺，则的最小值为()A.B.C.灰D.灰灰灰4.若sinܰ，则䁪ܰ()A.B.C.٠.D٠sin앐5.函数앐ܰ的图象可能是（)앐٠A.B.C.D.6.已知曲线앐ܰ앐䁪앐在点灰蹘灰处的切线经过原点，则实数ܰ()灰A.灰B.C.D.٠灰灰7.在䁨中，为䁨边上的中线，点满足ܰ，则ܰ()灰灰A.䁨٠B.䁨٠灰灰C.䁨D.䁨试卷第1页，总8页
8.在䁨中，ܰ，䁨ܰ，是边䁨上的高，则䁨ܰ（）A.B.C.D.٠9.执行如图所示的程序，若所得结果为灰，则判断框中应填入()A.B.C.D.10.已知数列چ䁪ذ的前䁪项和为䁪满足䁪ܰ䁪灰䁪，且灰ܰ灰，则ܰ()A.灰B.C.灰D.11.四棱锥٠䁨的底面为矩形，矩形的四个顶点，，䁨，在球的同一大圆上，且球的表面积为灰，点在球面上，则四棱锥٠䁨体积的最大值为灰A.B.C.灰D.12.已知函数앐ܰ앐٠앐ln앐有两个不同的极值点앐灰，앐，若不等式앐灰앐恒成立，则实数的取值范围是()A.٠.C蹘.B蹘٠蹘D.蹘二、填空题)13.求sin앐t앐ܰ________.14.已知为数列چذ的前䁪项和，ܰ䁪䁪灰，则ܰ________.䁪䁪䁪䁪15.已知向量ܰ灰蹘٠，tܰ灰蹘灰，对任意䁪N，都有ܰt成立，则灰䁪灰䁪ʒ䁪ʒ的最小值为________.试卷第2页，总8页
16.函数앐ܰsin앐cos앐٠（앐蹘）的最大值是________．三、解答题)䁪灰䁪17.已知数列چ䁪ذ满足灰ܰ灰，䁪灰ܰ䁪，䁪ܰ蹘䁪N.䁪䁪灰证明：ذ䁪چ是等比数列；求数列چ䁪ذ的通项公式，并求数列چ䁪ذ的前䁪项和䁪.18.如图，在四棱锥٠䁨中，底面䁨是边长为的菱形，底面䁨，䁨ܰ，点是䁨的中点．灰求证：平面；当ܰ时，求钝二面角٠䁨٠余弦值.19.在䁨中，内角，，䁨的对边分别为，，，若٠ܰ，䁨的面积为.灰求角䁨的大小；若ܰ，求sinsin的值.20.某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本(元)与月处理量앐(吨)之间的函数关系可以近似地表示为：灰앐٠앐앐蹘앐灰蹘灰，ܰ且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生灰앐٠앐蹘앐灰蹘，物柴油价值为元，若该项目不获利，政府将给予补贴（假设该公司每个月的生活垃圾处理量在区间灰蹘之间）.灰当앐蹘时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月最少需要补贴多少元？该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？21.已知函数앐ܰln앐앐٠灰，其中R．灰当ܰ٠灰时，求证：앐；对任意，存在앐蹘，使ln٠灰앐成立，求的取值范围．试卷第3页，总8页
22.已知函数앐ܰʒ앐٠灰ʒ٠ʒ앐ʒ灰当ܰ灰时，求不等式앐灰的解集；若对蹘蹘٠앐앐恒成立，求实数的取值范围Ǥ试卷第4页，总8页
参考答案与试题解析2019-2020学年广东省韶关市某校高三（上）期中考试数学（理）试卷一、选择题1.A2.B3.C4.D5.B6.A7.A8.C9.B10.C11.D12.A二、填空题13.，䁪ܰ灰，14.䁪灰，䁪且䁪NǤ15.16.灰三、解答题䁪灰䁪灰䁪17.灰证明：ܰ䁪䁪灰䁪䁪灰䁪䁪ܰܰ，䁪䁪灰䁪灰数列چ䁪ذ是以灰ܰܰ灰为首项，为公比的等比数列.灰䁪䁪٠灰解：∵䁪ܰܰ，䁪∴ܰ䁪䁪٠灰，䁪ܰ灰灰䁪䁪٠灰，①䁪ܰ灰灰䁪，②䁪①٠灰٠䁪灰ܰ٠：得②٠䁪䁪，䁪灰٠䁪٠灰䁪∴٠ܰ䁪٠䁪，灰٠∴ܰ䁪٠灰䁪٠灰.䁪18.灰证明：如图，连接，䁨交于点，连接，试卷第5页，总8页
∵，分别为䁨，䁨的中点，∵，∵平面，平面，∴平面；以为原点，,䁨,为앐蹘蹘轴，建立空间直角坐标系.蹘٠蹘蹘蹘蹘蹘灰٠蹘蹘蹘䁨蹘灰蹘有䁨ܰ蹘蹘٠ܰ䁨蹘٠蹘灰蹘蹘䁨ܰ蹘灰蹘，令平面䁨的法向量为䁪，䁨䁪ܰ由，䁨䁪ܰ可得一个䁪ܰ灰蹘蹘，同理可得平面䁨的一个法向量为ܰ٠灰蹘蹘.٠灰cos樋䁪ܰܰ灰灰所以平面䁨与平面䁨所成钝二面角的余弦值为٠.19.解：灰由䁨的面积为，灰得sin䁨ܰ.由٠ܰ和余弦定理，得cos䁨ܰ，故tan䁨ܰ.因为樋䁨樋，则䁨ܰ.因为䁨ܰ，cos䁨ܰ，所以ܰ.又٠ܰ，ܰ，所以ܰ.由余弦定理ܰܰ，sinsinsin䁨sin䁨sin䁨sin䁨得sinsinܰܰܰ.试卷第6页，总8页
20.解：灰当앐蹘时，设该项目获利为元，则灰ܰ앐٠앐٠앐灰ܰ٠앐앐٠灰ܰ٠앐٠，所以当앐蹘时，樋，因此该项目不能获利.当앐ܰ时，取得最大值٠，所以政府每月至少需要补贴元才能使该项目不亏损.由题意，可知每吨生活垃圾的平均处理成本为灰앐٠앐蹘앐灰蹘灰，ܰ앐灰앐٠蹘앐灰蹘，앐当앐灰蹘灰时，灰ܰ앐٠앐앐灰ܰ앐٠灰，所以当앐ܰ灰时，取得最小值；앐当앐灰蹘时，灰ܰ앐٠앐앐灰앐٠ܰ，앐灰当且仅当앐ܰ，即앐ܰ时取等号.앐因为樋，所以当每月处理量为吨时，才能使每吨生活垃圾的平均处理成本最低.21.灰证明：当ܰ٠灰时，앐ܰln앐٠앐灰앐，灰灰٠앐则앐ܰ٠灰ܰ，令앐ܰ，得앐ܰ灰，앐앐当樋앐樋灰时，앐，앐单调递增；当앐灰时，앐樋，앐单调递减．故当앐ܰ灰时，函数앐取得极大值，也为最大值，所以앐maxܰ灰ܰ，所以，앐，得证．解：原题即对任意，存在앐蹘，ln使٠앐٠成立，٠灰ln只需min٠앐٠min．٠灰ln٠灰٠ln设ܰ，则ܰ，٠灰٠灰灰٠灰令ܰ٠灰٠ln，则ܰ灰٠ܰ，对于恒成立，所以ܰ٠灰٠ln为蹘上的增函数，于是ܰ٠ܰln٠灰٠，试卷第7页，总8页
٠灰٠ln即ܰ对于恒成立，٠灰ln所以ܰ为蹘上的增函数，٠灰ln则minܰminܰܰ．٠灰٠灰令앐ܰ٠앐nl٠ܰ٠灰٠앐٠앐nl٠ܰ앐则，٠앐٠앐，当时，앐ܰ٠ln앐٠앐为蹘的减函数，且其值域为R，符合题意．灰灰当樋时，앐ܰ٠ܰ앐得ܰ앐由，٠٠，앐灰灰由앐得앐٠在앐则，٠蹘上为增函数；灰灰由앐樋得樋앐樋٠，则앐在蹘٠上为减函数，灰所以앐minܰ٠lnܰ٠灰，灰从而由ln٠٠得解，樋灰٠灰樋樋．٠灰灰综上所述，的取值范围是٠٠灰蹘．22.解：灰当ܰ灰时，앐ܰʒ앐٠灰ʒ٠ʒ앐ʒ，即灰앐٠，앐，앐ܰ灰٠，앐٠灰٠앐樋，٠앐，앐٠，灰当앐时，앐٠灰，解得앐，앐，灰当٠앐樋时，٠灰٠앐灰，解得앐樋٠樋앐٠蹘٠当앐樋٠时，٠앐灰，解得앐樋蹘앐樋٠，∴앐灰的解集为ذ앐或٠樋앐ʒ앐چ.由题意，得٠앐٠앐٠，即ʒ앐灰ʒ٠ʒ٠앐ʒ٠ʒ앐ʒʒ灰٠앐ʒ٠，∵ʒ앐灰ʒ٠ʒ٠앐ʒ٠ʒ앐ʒ蹘蹘٠ʒ灰٠앐ʒ٠，.٠ܰmin앐٠앐٠蹘٠٠，即.试卷第8页，总8页
