2020-2021学年广东省深圳市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题)1.已知向量aviv，vavi，则A.vvaB.ivaviC.ivaviD.vvaaa2.已知双曲线v的一个焦点为av，焦点到渐近线的距aa离为i，则该双曲线的渐近线方程为()iA.B.iC.D.iii3.三棱锥ܣ中，点，分别是ܣ，的中点，且，ܣ，，用，，表示，则等于()A.B.aaC.D.aa4.在平面直角坐标系中，已知ܣ的顶点iv和iv，顶点ܣ在椭圆aasinsin上，则()aasinܣaaA.B.C.aD.无法确定ia5.已知抛物线：ai的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若i，则()iA.B.C.iD.aa6.在正方体ܣܥܣܥ中，是棱ܣܣ的中点，是ܥܥ的中点，是ܣ上的一点且ܣܣ，则异面直线ܣ与所成的角为i试卷第1页，总13页
A.iB.aC.D.aa7.已知，a是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过aa做a的角平分线的垂线，垂足为，则的长为()A.B.aC.iD.iaa8.设双曲线aav的左、右焦点分别为，a，过的直线分a别与双曲线左右两支交于，两点，以为直径的圆过a，且a，a则直线的斜率为aaiiA.B.C.D.iaia二、多选题)9.对于任意非零向量vv，avava，以下说法错误的有()A.若，则aaaB.若′′，则aaaaaaC.cosvaaaaaaaaaD.若，则为单位向量10.已知抛物线：ai，焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于v，ܣava两点，则下列说法一定正确的是()A.ܣ的最小值为aB.线段ܣ为直径的圆与直线相切C.a为定值D.过点，ܣ分别作准线的垂线，垂足分别为，ܥ，则ܥaiܣ11.直线的方向向量为，平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是()A.若，则直线′′平面B.若′′，则直线平面C.若cosv，则直线与平面所成角的大小为a试卷第2页，总13页
D.若cosv，则平面，的夹角为ai12.动点v分别到两定点av，av连线的斜率的乘积为，设v的轨aa迹为曲线，，a分别为曲线的左、右焦点，则下列命题中正确的有()A.曲线的焦点坐标为iv，aiviB.若ai，则aiC.a的内切圆的面积的最大值为iiaD.设va，则的最小值为aa三、填空题)13.已知正方体不在同一表面上的两顶点坐标为vav，ivavi，则正方体的体积为________.14.已知抛物线方程为a，点在此抛物线上运动，则点iv与点之间的距离的最小值为________.15.如图所示，直角ܣ绕直角边所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系中，点avv和vav均在圆锥的母线上，则圆锥的体积为________.16.如图，椭圆的左右焦点为，a，以a为圆心的圆过原点，且与椭圆在第一象限交于点，若过，的直线与圆a相切，则直线的斜率________；椭圆的离心率________.四、解答题)aai17.已知椭圆与双曲线的焦点相同，且它们的离心率之和等于．iaa求椭圆方程；a过椭圆内一点v作一条弦ܣ，使该弦被点平分，求弦ܣ所在直线方程．试卷第3页，总13页
18.如图，在直三棱柱ܥܣ中，底面ܥ是直角三角形，且ܥ，ܣܥi，其中，分别是，ܣ上的点且.ܣi求证：′′平面ܥ；a求二面角ܣ的正弦值．19.已知抛物线：aa䁕䁕的焦点为，点v䁥在抛物线上，且.求抛物线的方程；a过点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点，ܣ，，ܥ，，分别为弦ܣ，ܥ的中点，求面积的最小值．20.如图，在四棱锥ܣܥ中，底面ܣܥ是平行四边形，且ܣܣ，ܥ，ܥ平面ܣܥ，是ܣ中点，在下面两个条件中任选一个，并作答：a①二面角ܥ的大小是；i②ܣܥa若________，求与平面ܥ所成角的正弦值．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．21.如图，在多面体ܣܥ中，平面ܥ平面ܣܥ，四边形ܥ为正方形，四边形ܣܥ为梯形，且ܥ′′ܣ，ܣܥ是边长为的等边三角形，ܣi．求证：ܣܥ；试卷第4页，总13页
ܣa线段ܣܥ上是否存在点，使得直线′′平面？若存在，求的值；若不存ܣܥ在，请说明理由．22.设圆aaaa的圆心为，直线过点ܣv且与轴不重合，交圆于，ܥ两点，过ܣ作的平行线交ܥ于点．证明：ܣ为定值，并求出点的轨迹方程；a若，是点的轨迹上的动点，且直线过点v，问在轴上是否存在a定点，使得？为坐标原点，若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．试卷第5页，总13页
参考答案与试题解析2020-2021学年广东省深圳市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题1.A2.D3.D4.A5.B6.D7.A8.B二、多选题9.B,D10.B,C,D11.B,C,D12.A,C,D三、填空题13.ia14.a15.ii16.,ii四、解答题17.解：∵双曲线的焦点为vi，vi，i∴a.aaa设椭圆的方程为，aa由题可得，i，ii且离心率a，aa∴a，aai，aa∴椭圆方程为.aaa设v，ܣava，∵为弦ܣ的中点，∴aa，aa.aavaa联立aaaavaaaaaa两式相减，得，aa试卷第6页，总13页
aaa即ܣ，aaa则直线ܣ所在方程为，即aaii.∴所求直线ܣ的方程为aaii．18.证明：如图，分别在，上取点，，使得，连接，及.i∵，ܣi∴′′且，ii′′ܣ且ܣ，ܣii∴′′，，∴四边形为平行四边形，∴′′.又∵平面ܥ，平面ܥ，∴′′平面ܥ．a解：如图所示，以为坐标原点，方向为轴正方向，ܥ方向为轴正方向，ܣ方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则vv，ivvi，vivi，ܣvvi，∴ivvi，vivi，由题意，得平面ܣ的法向量为vv.设平面的法向量为avv，试卷第7页，总13页
av则aviiv即ii取，则avv，ai∴cosva，aiii∴sinvaa，ii∴二面角ܣ的正弦值为．i䁕19.解：抛物线的准线方程为，a䁕由抛物线的定义，得，a䁕∴．aa䁕由点在抛物线上，得䁥a䁕，a整理，得䁕aa䁕i，即䁕i䁕，解得：䁕i或䁕.又∵䁕，∴䁕i，∴抛物线的方程为a䁥．a∵抛物线的方程为a䁥，∴焦点为av.由已知，得ܣܥ，∴两直线ܣ，ܥ的斜率都存在且均不为．设直线ܣ的斜率为，则直线ܥ的斜率为，则直线ܣ的方程为a，a䁥v联立av消去，整理，得a䁥．䁥设v，ܣava，则a.∵v为弦ܣ的中点，i∴a.ai由a，得aaa，ii故av．a同理，得iaavi．试卷第8页，总13页
∴iaaaaiaiaiaa，ia．iaa∵，∴aiaiaaaaa䁥䁥䁥a，当且仅当，即时，等号成立．∴的面积的最小值为．20.解：若选①．因为ܥ平面ܣܥ，所以ܥܥ，ܥܥ，a所以ܥ就是二面角ܥ的平面角，所以ܥi过ܥ作轴ܥ，以ܥ为坐标原点，以ܥ，ܥ所在直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．i则vv，vv,iiaii所以vv.iia取平面ܥ的一个法向量vv.设与平面ܥ所成角为，iii则sin，iiii所以与平面ܥ所成角的正弦值是i若选②．因为ܥ平面ܣܥ，ܣܥ，a试卷第9页，总13页
所以ܥ，ܥ，ܥ两两垂直．以ܥ为坐标原点，以ܥ，ܥ，ܥ所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．则vv，vv，所以vv.aaaaaa取平面ܥ的一个法向量vv，设与平面ܥ所成角为，ai则sin，iiiii所以与平面ܥ所成角的正弦值是i21.证明：∵ܥ为正方形，∴ܥ．又∵平面ܥ平面ܣܥ，且平面ܥ平面ܣܥܥ，∴平面ܣܥ，∴ܣܥ．a解：取ܥ中点，中点，连接ܣ，，在ܣܥ中，ܣܥ，在正方形ܥ中，ܥ.又∵平面ܥ平面ܣܥ，∴ܣ平面ܥ，∴ܣ，即ܣ，，ܥ两两垂直.分别以ܣ，ܥ，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，试卷第10页，总13页
ii则ܣvv，viv，ܥvv，aaavv，vv.aa要使直线′′平面，只需′′ܥ.设ܣܣܥ，v，ii则vvvv，aaaii即，，，aaaii∴vv，aaaii∴vv.aaaaia又∵ܥvv，aa由′′ܥ得，iiaaaaa，iaaa解得：v，i∴线段ܣܥ上存在点，使得直线′′平面，ܣa且．ܣܥi22.解：∵aaaa，整理，得aa，∴点的坐标为v，如图，试卷第11页，总13页
ܣ′′，ܥܥܣ，ܣܥ.ܥ又∵ܥ，ܣܥ，ܣܥܥi，∴点的轨迹为一个除去点av的椭圆，aa∴点的轨迹方程为．iia假设存在的定点v符合题意．①由题意知，当直线的斜率存在时，设其方程为，aiv，ava，由，得直线，的倾斜角互补，则.a∵aaaaaiaaa，aaiaaa，aav联立iiva消去，整理，得iiaai.∵aiiiaaiiiia，iaiia，aiia，i䁥∴ia，iiaiiaiia当时，，此时存在定点v，使得；当直线的斜率时，直线为，a定点v满足，也符合题意；试卷第12页，总13页
当直线的斜率不存在时，点v满足，也符合题意．综上所述，在轴上存在定点v，使得．试卷第13页，总13页
