2020-2021学年广东省韶关市南雄市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题)1.已知集合A={1, 2, 3}，B={x|x-3<0}，则A∪B=( )A.{1, 2}B.{1, 2, 3}C.(-∞, 3]D.(-∞, 3)2.在等比数列{an}中，a1=1，公比q≠±1，若ak=a2a5，则k等于( )A.5B.6C.7D.83.下列函数中，在区间[0, +∞)上单调递增的是( )A.y=-x2B.y=lnxC.y=x+1xD.y=x4.已知向量a→，b→满足a→⊥b→，|a→|=1，|b→|=2，则|2a→-b→|=( )A.22B.23C.8D.125.朱载堉(1536-1611)，明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子.他对文艺的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”.“十二平均律”是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第二个音的频率为f2，第八个音的频率为f8 ，则f8f2 等于( )A.2B.32C.42D.626.若函数y＝sin(2x+φ)(-π<φ<π)的图象向右平移π6个单位后，与函数y＝sin(2x-π6)的图象重合，则φ的值为( )A.-π3B.-π6C.π6D.π37.若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC=5:11:13，则△ABC()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形8.已知函数f(x)=x+1x2，x<-1，ln(x+2)，x≥-1， g(x)=x2-2x-4．设b为实数，若存在实数a，使得f(a)+g(b)=1成立，则b的取值范围为( )A.-52,52B.-52,52C.-32,72D.-32,72试卷第7页，总7页
二、多选题)9.在公比q为整数的等比数列an中，Sn是数列an的前n项和，若a1+a4=18，a2+a3=12，则下列说法正确的是( )A.q=2B.数列Sn+2是等比数列C.S8=510D.数列lgan是公差为2的等差数列10.设d，Sn分别为等差数列an的公差与前n项和，若S10=S20，则下列论断中正确的有( )A.当n=15时，Sn取最大值B.当n=30时，Sn=0C.当d>0时，a10+a22>0D.当d<0时，|a10|>|a22|11.如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点（不含端点），则下列结论正确的是( )A.直线D1P与AC所成的角可能是π6B.平面D1A1P⊥平面A1APC.三棱锥D1-CDP的体积为定值D.平面APD1截正方体所得的截面可能是直角三角形12.在数列{an}中，若an2-an-12=p，（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{an}为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是( )A.若{an}是等差数列，则{an2}是等方差数列B.{(-1)n}是等方差数列C.若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列D.若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列三、填空题)13.直线3x+4y-5=0被圆(x-2)2+(y-1)2=4截得的弦长为________．14.若函数f(θ)=43⋅sin(θ-5π)⋅cos(-π2-θ)⋅cos(-θ)sin(θ-3π2)⋅sin(-θ-4π)，则f(-π6)=________．15.已知等比数列an的前n项和为Sn，若Sn=2n+a，则实数a的值为________.16.已知函数fx=3ax2+2ax，若对任意的x∈R，fx<1恒成立，则实数a的取值范围为试卷第7页，总7页
________．（写成区间的形式）四、解答题)17.已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且a3+S3=18．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{1Sn}的前n项和Tn．18.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且b2+c2＝a2+3bc．(1)求A；(2)若a＝2，b＝1，求sin(C-A)．19.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值．20.已知圆C与y轴相切于点A(0, 1)，且被x轴所截得的弦长为23，圆心C在第一象限．(1)求圆C的方程；(2)若点P是直线l:2x+y+5=0上的动点，过P作圆C的切线，切点为B，当△PBC的面积最小时，求切线PB的方程．21.记数列an的前n项和为Sn，已知a1=1, Sn+1=4an+1．设bn=an+1-2an .(1)证明：数列bn为等比数列；(2)设cn=|bn-100|, Tn为数列cn的前n项和，求T10 .22.已知二次函数f(x)＝ax2+bx+c的两个零点x1，x2，且f(1)＝2a．(1)求ba的取值范围；(2)若a>c，且函数g(x)＝f(x-x1)+f(x-x2)在区间[0, 1]上的最大值为2a，试判断点(a, b)是否在直线x+y＝1上？并说明理由．试卷第7页，总7页
参考答案与试题解析2020-2021学年广东省韶关市南雄市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题1.C2.B3.D4.A5.A6.C7.C8.D二、多选题9.A,B,C10.B,C11.B,C12.B,C,D三、填空题13.2314.2315.-116.(-3,0]四、解答题17.(1)等差数列{an}的公差d=2，前n项和为Sn，且a3+S3=18．则：a3+3a2=18，即：a1+2d+3(a1+d)=18，解得：a1=2．所以：an=a1+(n-1)d=2n；(2)由于：an=2n，则：Sn=n(2+2n)2=n(n+1)，所以：1Sn=1n(n+1)=1n-1n+1．则：Tn=1S1+1S2+⋯+1Sn=1-12+12-13+⋯+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1．18.解：(1)由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32，∵0<A<π，∴A=π6.试卷第7页，总7页
(2)由正弦定理可得asinA=bsinB，∴sinB=1×122=14，∵a>b，∴cosB=154，∴sin(C-A)＝sin(π-B-A-A)＝sin(B+2A)=sinBcos2A+cosBsin2A=14×12+154×32=1+358．19.(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥BD.又∵PA∩PC=P，∴BD⊥平面PAC.(2)解：设AC与BD交点为O，连接OE，∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥平面BOE，∴PC⊥BE，EO⊥PC，∴∠BEO为二面角B-PC-A的平面角，∵BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，∴四边形ABCD为正方形.又PA=1，AD=2，可得BD=AC=22，PC=3，∴OC=BO=2．在△PAC∼△OEC中，OEOC=PAPC⇒OE2=13⇒OE=23．∵BD⊥平面PAC，OE⊂平面PAC,∴BD⊥OE，∴tan∠BEO=BOOE=3，∴二面角B-PC-A的正切值为3．20.解：(1)∵圆C与y轴相切于点A(0, 1)，圆心C在第一象限，∴设圆心坐标为(a, 1)，则半径为r=a(a>0)，又圆被x轴所截得的弦长为23，可得(3)2+1=a2，得a=2．∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=4；试卷第7页，总7页
(2)如图，P为直线l:2x+y+5=0上的动点，过P作圆C的切线，切点为B，连接CB，则CB⊥PB，∴△PBC的面积S=12×2×PB=PB．要使△PBC的面积最小，则|PB|最小，也就是|PC|最小，此时CP⊥l，由l:2x+y+5=0，可得kl=-2，则CP所在直线斜率为12，由直线方程的点斜式可得CP:y-1=12(x-2)，即x-2y=0．联立2x+y+5=0,x-2y=0, 解得P(-2, -1)，设切线方程为y+1=k(x+2)，即kx-y+2k-1=0．由|2k-1+2k-1|k2+1=2，解得k=0或k=43．∴所求切线PB的方程为y=-1或4x-3y+5=0．21.解：(1)由Sn+1=4an+1得Sn=4an-1+1n≥2,n∈N，两式相减得an+1=4an-4an-1n≥2，∴an+1-2an=2(an-2an-1).bnbn-1=an+1-2anan-2an-1=2an-2an-1an-2an-1=2n≥2，∴数列bn为公比为2的等比数列．(2)由S2=a1+a2=4a1+1，∴a2=4,b1=2.∴bn=2⋅2n-1=2n.cn=|2n-100|=100-2n,n≤6,2n-100,n>6.∴T10=600-21+22+…+26+27+28+29+210-400试卷第7页，总7页
=200-2(1-26)1-2+27+28+29+210=200+2+28+29+210=1994.22.解：(1)二次函数f(x)＝ax2+bx+c的两个零点x1，x2，且f(1)＝2a，可得a+b+c＝2a，即c＝a-b，Δ＝b2-4ac＝b2-4a(a-b)>0，由a2>0，可得(ba)2+4ba-4>0，解得ba>22-2或ba<-22-2.(2)若a>c，则b>0，且f(x1)＝f(x2)＝0，即ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c＝0，x1+x2=-ba，x1x2=ca，g(x)＝f(x-x1)+f(x-x2)＝a(x-x1)2+b(x-x1)+c+a(x-x2)2+b(x-x2)+c＝2ax2+x(2b-2ax1-2ax2)+ax12-bx1+ax22-bx2+2c＝2ax2+4bx+2b2a，当a>0时，g(x)在[0, 1]递增，最大值只能为g(1)，由g(1)＝2a+4b+2b2a=2a，可得(a+b)2＝1，即a+b=1，则(a, b)不在直线x+y＝1上；当a<0时，g(x)的最大值为g(0)或g(1)或g(-ba)，由g(0)=2b2a=2a，解得b＝1，若(a, b)在直线x+y＝1上，则a+b＝1，可得a＝0显然不成立；由g(1)＝2a+4b+2b2a=2a，可得(a+b)2=1，即a+b=1，显然(a, b)不在直线x+y＝1上；由g(-ba)=16b2-16b28a=0显然不成立．综上可得，点(a, b)不在直线x+y＝1上．试卷第7页，总7页
