江阴市2021~2022学年第一学期高三年级开学学情检测数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A，B均为R的子集，A∩(CRB)＝A，则下面选项中一定成立的是()A．BAB．A∪B＝RC．A∩B＝D．A＝CRB【答案】C【考点】集合的运算关系【解析】由题意，因为A∩(CRB)＝A，所以ACRB，则用Venn图表示如图所示，所以A∩B＝，其他选项不一定成立，故答案选C．RBA2．若a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，则A，B，C三点共线的充要条件是()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1【答案】D【考点】平面向量的基本定理的应用【解析】由题意可知，＝t，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得λ＝t，1＝tμ，所以λμ＝1，故答案选D．3．函数f(x)＝的大致图像是()【答案】B【考点】函数的图象识别与判断【解析】由题意可知，函数f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋¥)，设g(x)＝x－lnx－1，则g(1)＝0，g′(x)＝1－，则函数g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋¥)上单调递增，所以g(x)＞g(1)＝,0，所以函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋¥)上单调递减，且f(x)＞0，故答案选B．4．已知变量x和y的统计数据如下表：x34567y2.5344.56根据上表可得回归直线方程为ŷ＝x－0.25，据此可以预测当x＝8时，ŷ＝()A．6.25B．6.45C．6.55D．6.4【答案】C【考点】线性回归方程的应用【解析】由题意，＝＝5，＝＝5，则点(5，5)满足回归直线方程，代入解得＝0.85，所以当x＝8时，ŷ＝0.85×8－0.25＝6.55，故答案选C．5．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是双曲线－＝1的一个焦点，则p＝()A．2B．4C．8D．16【答案】D【考点】抛物线的几何性质【解析】由题意，＝，解得p＝16，故答案选D．6．若cosα＝－，α是第三象限的角，则＝()A．－B．C．2D．－2【答案】A【考点】三角恒等变换【解析】由题意，因为cosα＝－，α是第三象限的角，所以sinα＝－＝－，则＝＝＝＝－，故答案选A．,7．在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝5，则V的最大值是()A．4πB．C．D．【答案】B【考点】立体几何中与球相关的最值问题【解析】如图，由题意可知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切．则先保证截面圆与△ABC内切，记圆O的半径为r，则由等面积法得S△ABC＝AC×r＋AB×r＋BC×r＝×6×8，所以(AC＋AB＋BC)r＝6×8，又因为AB＝6，BC＝8，所以AC＝10，所以r＝2．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部；若r增大，则无法保证球在三棱柱内，故球的最大半径为2，所以，故答案选D．8．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意x＞0都有2f(x)＋xf′(x)＞0成立，则()A．4f(－2)＜9f(3)B．4f(－2)＜9f(3)C．2f(3)＞3f(－2)D．3f(－3)＜2f(－2)【答案】A【考点】函数的性质与导数应用【解析】由题意，令，则g′(x)＝，若对任意x＞0，都有2f(x)＋xf′(x)＞0成立，则当x＞0时，g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]＞0成立，即函数在(0，＋∞)上为增函数，由函数f(x)是定义在R上的偶函数，知f(－x)＝f(x)，则x)，即g(x)＝为偶函数，则有g(－2)＝g(2)，且g(2)＜g(3)，所以g(－2)＜g(3)，即4f(－2)＜9f(3)，故答案选A．二、选择题：本题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．,9．已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N(110，81)，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有()A．该校学生成绩的期望为110B．该校学生成绩的标准差为9C．该校学生成绩的标准差为81D．该校学生成绩及格率超过95%(附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545)【答案】ABD【考点】正态分布的应用【解析】因为该校学生的成绩服从正态分布N(110，81)，则μ＝110，方差为σ2＝81，标准差为σ＝9，因为μ－2σ＝110－2×9＝92，所以P(ξ≥90)＞P(ξ≥92)＝P(ξ≥μ－2σ)＝＋P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝＋×0.9545＝0.97725＞0.95，所以该校学生成绩的期望为110，该校学生成绩的标准差为9，该校学生成绩及格率超过95%，所以选项A、B、D正确，选项C错误；故答案选ABD．10．已知圆O：和圆相交于A，B两点，则()A．直线AB的方程为y＝2x＋2B．两圆有两条公切线C．线段AB的长为D．圆O上点E，圆M上点F，则|EF|的最大值为【答案】AD【考点】圆与圆的位置关系应用【解析】由题意，圆，其圆心为(0，0)，半径r＝2，圆M：，即(x＋2)2＋(y－1)2＝1，其圆心为(－2，1)，半径R＝1，对于选项A，圆O与圆M相交，有两条公切线，则选项A正确；对于选项B，由，联立可得：2x－y＋4＝0，即y＝2x＋4，则直线AB的方程为y＝2x＋4，则选项B错误；对于选项C，由选项B的结论得到，直线AB的方程为y＝2x＋4，则圆心O到直线AB的距离，则|AB|，则选项C错误；对于选项D，圆O上点E，圆M上点F，|EF|的最大值为|MO|，则选项D正确；综上，答案选,AD．11．已知函数f(x)＝sin(cosx)，则()A．f(x)的一个周期是2πB．f(x)的图象关于直线对称C．f(x)的最大值小于D．f(x)＝x在区间内有唯一的根【答案】ACD【考点】函数的性质综合应用、最值与零点问题【解析】由题意，对于选项A，f(x＋2π)＝sin(cos(x＋2π))＝sincosx＝f(x)，则f(x)是周期函数，2π是f(x)的一个周期，故选项A正确；对于选项B，因为f(π－x)＝sin(cos(π－x))＝sin(－cosx)＝－sin(cosx)≠f(x)，所以f(x)的图象不关于直线对称，则选项B错误；对于选项C．因为cosx∈[－1，1]，所以sin(cosx)∈[－sin1，sin1]，即f(x)∈[－sin1，sin1]，则函数f(x)的最大值为sin1，又1＜，且y＝sinx在(0，)上单调递增，所以sin1＜sin，即sin1＜，则函数f(x)的最大值小于，故选项C正确；对于选项D，函数y＝cosx在(0，)上单调递减，y＝sinx在(0，)上单调递增，则函数f(x)＝sin(cosx)在(0，)上单调递减，令g(x)＝f(x)－x，则g(x)在(0，)上单调递减，又g(0)＝f(0)－0＝sin(cos0)＝sin1＞0，＝－＜0，所以g(0)×g()＜0，则函数g(x)在(0，)内有唯一的零点，即f(x)＝x在区间(0，)内有唯一的零点，则选项D正确；综上，答案选ACD．12．若将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则()A．AC与BD所成的角为90°B．AD与BC所成的角为45°C．BC与平面ACD所成角的正弦值为D．平面ABC与平面BCD所成角的正切值是【答案】AD【考点】立体几何的空间角求解【解析】由题意，取BD中点O，连接AO，CO，若将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则OA⊥BD，OC⊥BD，OA⊥OC，则以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为,y轴，OA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意易得＝(1，0，－1)，，因为·＝1×0＋0×2＋(－1)×0＝0，所以AC⊥BD，则选项A正确；设OC＝1，则A(0，0，1)，B(0，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，，，所以cos<，>＝＝＝，所以AD与BC所成的角为60°，则选项B错误；设平面ACD的一个法向量为t＝(x，y，z)，则取z＝1，则x＝y＝1，所以t＝(1，1，1)，且，设BC与平面ACD所成的角为θ，所以sinθ＝|cos<，t>|＝||＝，则选项C错误；由题意易知平面BCD的一个法向量n＝(0，0，1)，，设平面ABC的一个法向量为m＝(x′，y′，z′)，则取x′＝1，则y′＝－1，z′＝1，所以m＝(1，－1，1)，设平面ABC与平面BCD所成的角为α，则cosα＝|cos<m，n>|＝＝，所以，所以平面ABC与平面BCD所成角的正切值，则选项D正确；综上，答案选AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．的展开式中常数项是__________(用数字作答)．【答案】240【考点】二项式定理展开式的应用：求常数项【解析】由题意，因为二项式的展开式通项＝x·2rx＝2rx，令12－3r＝0，解得r＝4，所以常数项为24＝240．14．已知复数z的共轭复数是z，若z－3＝1＋2i，则|z|＝_________．,【答案】【考点】复数的运算【解析】设z＝a＋bi，则＝a－bi，由题意可得：－2a＋4bi＝1＋2i，则，所以|．15．拉面是很多人喜好的食物．师傅在制作拉面的时候，将面团先拉到一定长度，然后对折，对折后面条根数变为原来的2倍，再拉到上次面条的长度．每次对折后，师傅都要去掉捏在一只手里的面团．如果拉面师傅将300克而团拉成细丝面条，每次对折后去掉捏在手里的面团都是18克．第一次拉的长度是1m，共拉了7次，假定所有细丝面条粗线均匀、质量相等，则最后每根1m长的细丝面条的质量是_________．【答案】3克【考点】新情景问题下的函数模型的应用【解析】拉面师傅拉7次面条共有64根面条，在7次拉面过程中共对折6次，则去掉面的质量为6×18＝108g；剩下64根面条的总质量为300－108＝192g，则每根1m长的细丝面条的质量为16．若x1＜x2时，不等式[sin(x1＋)－sin(x2＋)]＜m(x1－x2)恒成立，则实数m的取值范围是_________．【答案】(－¥，]【考点】不等式的恒成立问题【解析】由题意，sin(x1＋)－mx1＜sin(x2＋)－mx2，设函数，由条件x1＜x2可得f(x)为单调递增函数，＝sinx＋cosx－mx可得f′(x)＝cosx－sinx－m，由f′(x)≥0恒成立可得，(x＋)恒成立，而的最小值为－，所以m≤，则实数m的取值范围为(－¥，]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)数列{an}的前n项之和为Sn，为常数)．,(1)当p＝1时，求数列的前n项之和；(2)当p＝2时，求Sn．【考点】数列的通项公式与求和【解析】(1)当p＝1时，，则数列{an}是公差为1的等差数列，又a1＝1，所以Sn＝n×1＋×1＝，即，所以数列的前n项之和为＋＋…＋＝2(－＋－＋…＋－)＝．(2)当p＝2时，＝2an＋1，即＋1＝2(an＋1)，又a1＝1，所以数列{an＋1}是首项和公比都为2的等比数列，所以an＋1＝2×＝2n，即an＝2n－1，所以Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝21＋22＋…＋2n－n＝－n＝－2－n．18．(本小题满分12分)有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入座编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法．(1)求n的值；(2)求随机变量X的概率分布列和数学期望．【考点】随机变量的概率分布与期望【解析】(1)因为当X＝2时，有种方法，因为＝6，即，也即n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4．(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，,由题意可知X的可能取值是0，2，3，4，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝1－－－＝，所以X的概率分布列为：X0234P所以E(X)＝0×＋2×＋3×＋4×＝3．19．(本小题满分12分)如图，圆柱OO1的轴截面ABB1A1是正方形，O1，O分别是上、下底面的圆心，C是弧AB的中点，D、E分别是AA1与BC中点．(1)求证：DE∥平面A1CB1；(2)求锐二面角的余弦值．【考点】圆锥曲线中的位置关系证明、二面角求解【解析】(1)证明：取CB1的中点为M，连接DE，ME，A1M，则EM∥BB1∥AA1，且，∴四边形A1DEM是平行四边形，DE∥A1M，又A1MÌ平面A1CB1，DEË平面A1CB1，∴DE∥平面A1CB1．(2)以O为原点，，，方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O－xyz，如图，设OB＝a，则B(a，0，0)，C(0，a，0)，A(－a，0，0)，A1(－a，0，2a)，B1(a，0，2a)，设平面A1BC的法向量为，设平面A1B1C的法向量为，则，即，,，即，令x1＝1，z2＝1，得：m＝(1，1，1)，n＝(0，2，1)，则cos<m，n>＝＝＝，故锐二面角的余弦值为20．(本小题满分12分)△ABC中，AB＝2AC，点D在BC边上，AD平分∠BAC．(1)若，求cos∠BAC；(2)若AD＝AC，且△ABC的面积为，求BC．【考点】解三角形与三角恒等变换综合应用【解析】法一：(1)在△ABC中，由正弦定理可得＝，又AB＝，所以所以，，所以cos∠CAB＝cos(π－∠ABC－∠ACB)＝－cos(∠ABC＋∠ACB)，即cos∠CAB＝sin∠ABCsin∠ACB－cos∠ABCcos∠ACB，所以或．(2)由已知，设AB＝2AC＝2t，所以AD＝AC＝t，另设∠CAD＝θ．由，,可得，所以，因为sinθ≠0，所以，所以，又0＜2θ＜π，sin2θ＝＝，又S△ABC，所以，所以，所以，法二：(1)同法一；(2)由已知，设∠CAD＝∠BAD＝θ，AB＝2AC＝2t，所以AD＝AC＝t，因为，故可设，在△ABD和△ACD中，分别由余弦定理可得，即①，②，联立①②可得，所以，又0＜2θ＜π，＝，又S△ABC，所以，所以，所以．,21．(本小题满分12分)设椭圆的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．【考点】圆锥曲线中椭圆与直线的位置关系：求直线方程、利用斜率证明角相等【解析】(1)由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1.由已知可得，点A的坐标为或.又M(2，0)，所以AM的方程为y＝－x＋或y＝x－.(2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＜，x2＜，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋.由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得kMA＋kMB＝.将y＝k(x－1)代入＋y2＝1得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.所以，x1＋x2＝，x1x2＝.则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补．所以∠OMA＝∠OMB.综上，∠OMA＝∠OMB.,22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝alnx＋x＋a存在两个零点x1，x2．(1)求a的取值范围；(2)证明：x1x2＞1．【考点】函数与导数：函数的零点问题、极值点偏移问题【解析】(1)f′(x)＝＋1＝(x＞0)，①当a≥0时，f′(x)＞0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)至多有一个零点，不合题意；②当a＜0时，当x∈(0，－a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(－a，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)min＝f(－a)＝aln(－a)＜0，解得a＜－1，注意此时f()＝＞0，(i)当－2≤a＜－1时，f(e3)＝e3＋4a＞0，此时＜－a＜e3，则f(x)在(0，－a)和(－a，＋∞)上分别存在一个零点；(ii)当a＜－2时，，设g(a)＝－a2＋a，a＜－2，所以g′(a)＝－－2a＋1，g″(a)＝－2＞0，所以g′(a)在(－∞，－2)单调递增，则g′(a)＜g′(－2)＝－e2＋5＜0，所以g(a)在(－∞，－2)单调递减，则g(a)＞g(－2)＝e2－6＞0，即f()＞0，此时＜－a＜，则f(x)在(0，－a)和(－a，＋∞)分别存在一个零点；综上，若f(x)有两个零点，则a的取值范围为(－∞，－1)；(2)不妨设0＜x1＜－a＜x2，由得，，两式相减得，，两式相加得，lnx1＋lnx2＝－2＝(lnx1－lnx2)－2，要证x1x2＞1，只需证lnx1＋lnx2＞0，,即证－＝ln－＜0，令h(t)＝lnt－，t∈(0，1]，则h′(t)＝≥0，所以h(t)在(0，1]单调递增，则h(1)≤h(1)＝0，又因为∈(0，1)，故等号不成立，即得证．
