湖南师范大学附属中学2022届高三上学期入学考试数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，复数满足，则（）A.B.C.D.2.若抛物线上一点到焦点的距离为8，则（）A.1B.2C.4D.83.已知､是全集的两个非空子集.若，则下列说法可能正确的是（）A.B.C.D.4.如图是藏于清华大学的“算表”.算表距今已有2300余年历史，它能够快速进行100以内任意两整数的乘除运算，其计算能力远强于人们熟知的“九九乘法表”.算表是迄今为止发现的人类最早的十进制计算器，表明当时中国的数学研究水平已经初具规模.下以计算为例，解释算表的大致原理：①将22分为2和20；将35分为5和30；,②在算表第1行分别找到2和20；在算表第1列找到5和30；③分别在算表中找到2和5､30及20和5､30的交叉点所对应的数字；④将4个对应的数字相加，得.×21020510…10010………3060…600如果从现代数学体系来看，该计算方法所利用的公理是（）A.加法交换律B.乘法分配律C.加法结合律D.乘法交换律5.若，则的值为（）A.1或B.或C.或D.或6.已知随机变量，则下列说法不正确的是（）A.若，则B若，则C.不论取何值，总成立D.根据“原则”，在一次试验中，事件“”几乎不可能发生7.已知数列，设：，，三项既是等差数列，又是等比数列；：是常数列.则是的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件8.设定义在上的连续偶函数满足，且当时，.若函数恰好有5个零点，则实数的取值范围是（）,A.B.C.D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于一组样本数据，，…，，下列表达式中，能够刻画该组数据的离散程度的是（）注：；和分别表示，，…，中的最大值和最小值.A.B.C.D.10.已知，，且，则（）A.B.C.D.11.在正方体中，，点为正方形内部一点，点为棱中点，平面.则（）A.异面直线和夹角的余弦值为,B.点和点到平面的距离相等C.正方体被平面截得的截面为等腰梯形D.三棱锥外接球的半径为12.在平面直角坐标系中，已知圆，直线，为圆上一动弦，且.则（）A.当实数变化时，圆最多能够经过3个象限B.存在，使得直线和圆相交C.的最小值是D.点到直线距离的最小值是三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若平面单位向量，，满足，则___________.14.写出一个同时满足下列要求的连续函数___________.①的表达式中至少含有､､中的两个；②存在一个极值点.15.在平面直角坐标系中，椭圆的左右焦点分别为､，与轴垂直的直线经过，交于､两点，记.若内切圆的半径为，则的离心率为___________.16.在四面体中，是边长为2的等边三角形，平面，且，则点到平面的距离是___________；动点､分别在线段（含端点）上和所在平面中运动，满足.记的外心为，则的取值范围是___________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在中，，，分别为，，所对的边，，,.（1）求；（2）若，求的面积.18.已知数列满足：，.（1）若是常数列，求；（2）已知.（i）证明：是等比数列；（ii）设，求数列的前项和.19.如图，在圆锥中，的内接为等边三角形，，且圆锥的侧面展开图恰好为半圆.（1）证明：；（2）点是底面上的一个动点，，求二面角余弦值的最小值.20.近日，河南突降暴雨，郑州､驻马店等多地陷入灾情.习近平总书记对防汛救灾工作作出重要指示，各地迅速向河南伸出援手，体现了“一方有难，八方支援”人间真情.降雨重现期是指在一定年代的降雨量记录资料统计期间内，大于或等于某暴雨强度的降雨出现一次的平均间隔时间.现已知近年来郑州市暴雨强度与降雨历时具有的关系大致是.其中中间变量与降雨重现期（年）具有如图所示的关系.现有两个回归模型可供选择：①根据与成正相关关系，直接采用线性回归模型；②根据与成正相关关系，且考虑模型拟合曲线的增减速率，采用回归模型.,相关数据统计如下表（其中）；，，，，，，（1）请选择合适的回归模型，求出暴雨强度､降雨历时､降雨重现期（年）具有的函数关系；（2）已知郑州7月20日16时-17时降雨量曾经达到过.请利用（1）得到的函数关系，分析“今年河南的暴雨千年一遇”这种说法的合理性，（参考数据：，）附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.21.设函数.（1）当时，证明：；（2）已知恰好有3个极值点，，.（i）求实数的取值范围；（ii）证明：.22.在平面直角坐标系中，双曲线,左顶点到右焦点的距离是，且的离心率是.（1）求双曲线的标准方程；（2）点是上位于第一象限的一点，点、关于原点对称，点、关于轴对称.延长至使得，且直线和的另一个交点位于第二象限中.（i）求的取值范围；（ii）证明：不可能是三等分线.湖南师范大学附属中学2022届高三上学期入学考试数学答案版一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，复数满足，则（）A.B.C.D.答案：A2.若抛物线上一点到焦点的距离为8，则（）A.1B.2C.4D.8答案：C3.已知､是全集的两个非空子集.若，则下列说法可能正确的是（）A.B.C.D.答案：D4.如图是藏于清华大学的“算表”.算表距今已有2300余年历史，它能够快速进行100以内任意两整数的乘除运算，其计算能力远强于人们熟知的“九九乘法表”.算表是迄今为止发现的人类最早的十进制计算器，表明当时中国的数学研究水平已经初具规模.下以计算为例，解释算表的大致原理：,①将22分为2和20；将35分为5和30；②在算表第1行分别找到2和20；在算表第1列找到5和30；③分别在算表中找到2和5､30及20和5､30的交叉点所对应的数字；④将4个对应的数字相加，得.×21020510…10010………3060…600如果从现代数学体系来看，该计算方法所利用的公理是（）A.加法交换律B.乘法分配律C.加法结合律D.乘法交换律答案：B5.若，则的值为（）A.1或B.或C.或D.或答案：D,6.已知随机变量，则下列说法不正确的是（）A.若，则B若，则C.不论取何值，总成立D.根据“原则”，在一次试验中，事件“”几乎不可能发生答案：D7.已知数列，设：，，三项既是等差数列，又是等比数列；：是常数列.则是的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件答案：C8.设定义在上的连续偶函数满足，且当时，.若函数恰好有5个零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.答案：B二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于一组样本数据，，…，，下列表达式中，能够刻画该组数据的离散程度的是（）注：；和分别表示，，…，中的最大值和最小值.,A.B.C.D.答案：AC10.已知，，且，则（）A.B.C.D.答案：ABD11.在正方体中，，点为正方形内部一点，点为棱中点，平面.则（）A.异面直线和夹角的余弦值为B.点和点到平面的距离相等C.正方体被平面截得的截面为等腰梯形D.三棱锥外接球的半径为答案：BC12.在平面直角坐标系中，已知圆，直线，为圆上一动弦，且.则（）,A.当实数变化时，圆最多能够经过3个象限B.存在，使得直线和圆相交C.的最小值是D.点到直线距离的最小值是答案：D三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若平面单位向量，，满足，则___________.答案：14.写出一个同时满足下列要求的连续函数___________.①的表达式中至少含有､､中的两个；②存在一个极值点.答案：或（答案不唯一）15.在平面直角坐标系中，椭圆的左右焦点分别为､，与轴垂直的直线经过，交于､两点，记.若内切圆的半径为，则的离心率为___________.答案：16.在四面体中，是边长为2的等边三角形，平面，且，则点到平面的距离是___________；动点､分别在线段（含端点）上和所在平面中运动，满足.记的外心为，则的取值范围是___________.答案：①.；②.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.,17.在中，，，分别为，，所对的边，，.（1）求；（2）若，求的面积.答案：（1）；（2）.18.已知数列满足：，.（1）若是常数列，求；（2）已知.（i）证明：是等比数列；（ii）设，求数列的前项和.答案：（1）或1；（2）（i）证明见解析；（ii）.19.如图，在圆锥中，的内接为等边三角形，，且圆锥的侧面展开图恰好为半圆.（1）证明：；（2）点是底面上的一个动点，，求二面角余弦值的最小值.答案：（1）证明见解析；（2）最小值是.20.近日，河南突降暴雨，郑州､驻马店等多地陷入灾情.习近平总书记对防汛救灾工作作出重要指示，各地迅速向河南伸出援手，体现了“一方有难，八方支援”人间真情.,降雨重现期是指在一定年代的降雨量记录资料统计期间内，大于或等于某暴雨强度的降雨出现一次的平均间隔时间.现已知近年来郑州市暴雨强度与降雨历时具有的关系大致是.其中中间变量与降雨重现期（年）具有如图所示的关系.现有两个回归模型可供选择：①根据与成正相关关系，直接采用线性回归模型；②根据与成正相关关系，且考虑模型拟合曲线的增减速率，采用回归模型.相关数据统计如下表（其中）；，，，，，，（1）请选择合适的回归模型，求出暴雨强度､降雨历时､降雨重现期（年）具有的函数关系；（2）已知郑州7月20日16时-17时降雨量曾经达到过.请利用（1）得到的函数关系，分析“今年河南的暴雨千年一遇”这种说法的合理性，（参考数据：，）附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.答案：（1）；（2）答案见解析.,21.设函数.（1）当时，证明：；（2）已知恰好有3个极值点，，.（i）求实数的取值范围；（ii）证明：.答案：（1）证明见解析；（2）（i）；（ii）证明见解析.22.在平面直角坐标系中，双曲线左顶点到右焦点的距离是，且的离心率是.（1）求双曲线的标准方程；（2）点是上位于第一象限的一点，点、关于原点对称，点、关于轴对称.延长至使得，且直线和的另一个交点位于第二象限中.（i）求的取值范围；（ii）证明：不可能是三等分线.答案：（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析.
