湖南师大附中2022届高三月考试卷（一）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共10页．时量120分钟．满分150分．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，则（）A．B．C．D．2．某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产．其中外购的单价是每个1.2元，若自己生产，则每月需投资固定成本2000元，并且每生产一个口罩还需要材料费和劳务费共0.8元．设该医院每月所需口罩个，则自己生产口罩比外购口罩较合算的充要条件是（）A．B．C．D．3．如图，在矩形中，点E为边上一动点（不包括端点），将沿翻折成，使得平面平面．给出下列两个结论：①在平面内过点C有且只有一条直线与平面平行；②在边上存在点E使得．则下列判断正确的是（）A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①，②都正确D．①，②都错误4．函数的图象关于（）A．点对称B．直线对称C．点对称D．直线对称5．宋代著名类书《太平御览》记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦．”乾为天，坤为地，震为雷，坎为水，艮为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万
物之情．如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案．八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“”为阳爻，“”为阴爻．现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为（）A．B．C．D．6．设，若，则的值为（）A．63B．64C．65D．7．如图，函数在一个周期内的图象（不包括端点）与x轴，y轴的交点分别为A，B．与过点A的直线另相交于C，D两点，E为图象的最高点，O为坐标原点，则（）A．B．C．D．8．已知点，若圆上存在两点A，B，使得，则r的取值范围是（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2
分．9．已知实数a满足（i为虚数单位），设复数，则下列结论正确的是（）A．z为纯虚数B．为虚数C．D．10．设等比数列的各项都为正数，其前n项和为，已知，且存在两项，使得，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11．若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2∶1，则称该椭圆为“倍径椭圆”．则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（）A．B．C．D．12．已知互不相等的三个实数a，b，c都大于1，且满足，则a，b，c的大小关系可能是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，且，则向量与的夹角为________．14．已知，则的值为_________．15．设直线与双曲线相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线的斜率分别为，若C的离心率为2，则________．16．如图，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，是边长为6的正三角形，二面角的大小为，则点O到平面的距离为_______，球O的表面积为_______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角B的大小；（2）设，若，且A，C都为锐角，求m的取值范围．18．（本小题满分12分）设数列的前n项和为，已知当时，，且为的等比中项．（1）求数列的首项的值；（2）设，求数列的前n项和．19．（本小题满分12分）今年五月，某医院健康管理中心为了调查成年人体内某种自身免疫力指标，从在本院体检的人群中随机抽取了100人，按其免疫力指标分成如下五组：，其频率分布直方图如图1所示．今年六月，某医药研究所研发了一种疫苗，对提高该免疫力有显著效果．经临床检测，将自身免疫力指标比较低的成年人分为五组，各组分别按不同剂量注射疫苗后，其免疫力指标y与疫苗注射量x个单位具有相关关系，样本数据的散点图如图2所示．
（1）健管中心从自身免疫力指标在内的样本中随机抽取3人调查其饮食习惯，记X表示这3人中免疫力指标在内的人数，求X的分布列和数学期望；（2）由于大剂量注射疫苗会对身体产生一定的副作用，医学部门设定：自身免疫力指标较低的成年人注射疫苗后，其免疫力指标不应超过普通成年人群自身免疫力指标平均值的3倍．以健管中心抽取的100人作为普通人群的样本，据此估计疫苗注射量不应超过多少个单位．附：对于一组样本数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为．20．（本小题满分12分）如图，直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，点D在棱上运动（不包括端点）．（1）若D为的中点，证明：；（2）设平面与平面所成的二面角大小为（为锐角），求的取值范围．21．（本小题满分12分）设抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，O为坐标原点，已知
，．（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F作直线l交C于A，B两点，P为C上异于A，B的任意一点，直线分别与C的准线相交于D，E两点，证明：以线段为直径的圆经过x轴上的两个定点．22．（本小题满分12分）已知函数．（1）若在内是减函数，求a的取值范围；（2）已知，若，求的零点个数．湖南师大附中2022届高三月考试卷（一）数学参考答案一、单项选择题：1．C【解析】由题设，，则，所以，选C．2．B【解析】由，得，即，选B．3．A【解析】①在上取点F，使，则四边形为平行四边形，得，从而平面，结论正确；②作，垂足为M，因为平面平面，则平面，所以P．假设，则平面，从而，这与为锐角矛盾，所以假设不成立，结论错误，选A．4．B【解析】因为，设，则．因为，则为偶函数，其图象关于y轴对称，所以的图象关于直线对称，选B．5．D
【解析】由八卦图可知，八卦中有1卦有三个阳爻，有3卦恰有一个阳爻，有3卦恰有两个阳爻，有1卦没有阳爻．设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻”为事件A，“另一卦至少有两个阳爻”为事件B．解法一：因为，所以，选D．解法二：因为，所以，选D．6．A【解析】因为，则，即，所以．在中，令，则．令，则，所以，选A．7．D【解析】设的最小正周期为T，由图知，，则，所以．因为，则，即，所以．由题设，点，则．因为的图象关于点A对称．则A为线段的中点，所以，选D．8．C【解析】取的中点D，则．因为，则，设，则，因为点，则
，所以，得．因为，则，解得，选C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．ACD【解析】由已知，，则，所以为纯虚数，为实数，因为，则，选ACD．10．ABC【解析】设等比数列的公比为，由已知，，整理得，解得或（舍去），所以．因为，则，即，所以，选ABC．11．BC【解析】设点P到椭圆两个焦点的距离分别为m和，则，即．因为，则，即．经检验，椭圆和满足要求，选BC．12．AB【解析】由已知，，即．则关于x的方程有正实根，所以．因为，则，所以．
设，则二次函数的图象关于直线对称，且，．若是的一个较小零点，则，即；若是的一个较大零点，则，即，选AB．第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解析】设向量与的夹角为，因为，则．由已知，，则．又，所以．14．【解析】由已知，，则，所以．15．3【解析】据题意，点A，B关于原点对称，设点，则．两式相减，得，则．因为，所以．16．1，【解析】取的中点D，连接．设E为的外心，则点E在上，且．因为，则D为的外心．根据球的几何性质，有平面平面．因为二面角的大小为，平面平面，则二面角的大小为，所以．
因为是边长为6的正三角形，则，所以．在中，．在中，因为，则，所以球O的半径，表面积．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）由已知及正弦定理，得，即，即．（3分）由余弦定理，得．因为，所以．（5分）（2）因为，则，得．（6分）所以．（8分）因为A，C都为锐角，，则，
所以．（10分）18．【解析】（1）因为，则数列是公差为2的等差数列．（1分）则．（4分）由已知，，则，即，即．因为，则，所以．（6分）（2）因为数列是首项为1，公差为2的等差数列，则．（8分）由题设，．（10分）所以．（12分）19．【解析】（1）由直方图知，自身免疫力指标在内的人数为，在内的人数为，则X的可能取值为1，2，3．（1分）其中．（4分）所以X的分布列为X123
P．（6分）（2）由散点图知，5组样本数据分别为，且x与y具有线性相关关系．（7分）因为，则，，所以回归直线方程为．（10分）由直方图知，免疫力指标的平均值为．（11分）由，得，解得．据此估计，疫苗注射量不应超过80个单位．（12分）20．【解析】解法一：（1）取的中点M，连接．因为为正三角形，则．由已知，则平面，所以．①（2分）因为，则，所以，从而与互余，所以．②结合①②知，平面，所以．（5分）
（2）分别延长相交于E，连接，则二面角的平面角为．作，垂足为F，连接，则，所以．（6分）设，在中，由余弦定理可得，由等面积法可得．因为，则．（9分）在中，．（10分）因为，则，所以．（12分）解法二：（1）分别取、的中点O、E，则直线两两互相垂直，以O为原点，直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．（1分）因为直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，D为的中点，则点，．（3分）从而，则，所以．（5分）
（2）设，则点．（6分）设为平面的法向量，由得取，则，所以．（9分）又平面的法向量，则．因为，则，所以．（12分）21．【解析】（1）设点，因为点M在抛物线C上，则得，即．因为，则．（3分）因为，则，即，所以，化简得，解得，所以抛物线C的方程是．（5分）（2）设直线l的方程为，代入，得．
设点，则．（6分）设点则k，直线的方程为．令，得，所以点．（8分）同理，点．（9分）设以线段为直径的圆与x轴的交点为，则．（10分）因为，则，即，则，得或．故以线段为直径的圆经过x轴上的两个定点和．（12分）22．【解析】（1）．因为在内是减函数，则当时，恒成立，即，即恒成立．（2分）设，则．（3分）由，得，即，所以在上单调递增，在上单调递减，从而．
因为恒成立，所以a的取值范围是．（5分）（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减．又当时，；当时，，则函数的大致图象如图所示．（6分）因为，则直线与函数的图象有两个不同的交点，从而有两个变号零点，所以有两个不同的极值点．设的两个极值点为，且．则．（7分）当或时，因为，则，所以在，上单调递减；当时，因为，则，所以在上单调递增，从而的极小值点为，极大值点为．（9分）因为，则，所以在内有一个零点．（10分）因为，则当时，，所以在内有一个零点．（11分）因为，则当时，，所以在
内有一个零点．综上分析，有3个零点．（12分）
