长沙市名校2021-2022学年高二上学期入学考试数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟．满分100分．第Ⅰ卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件2．已知复数z满足，则（）A．B．C．D．★3．下列命题中不正确的是（）A．一组数据的平均数，众数，中位数相同B．有A，B，C三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为，则这两组数据中较稳定的是乙D．一组数的分位数为54．已知两条不同的直线l，m和不重合的两个平面，且，有下面四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．②③④D．①④5．已知向量，若，则（）A．B．C．D．6．不等式对任意a，恒成立，则实数x的取值范围是（）A．B．C．D．7．某人先后三次掷一颗骰子，则其中某两次所得的点数之和为11的概率为（）A．B．C．D．8．已知函数，则方程的根的个数为（）,A．3B．5C．7D．9二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分）★9．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示：所需时间/分30405060线路一0.50.20.20.1线路二0.30.50.10.1则下列说法正确的是A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.0410．已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是（）A．B．是图象的一个对称中心C．D．是图象的一条对称轴11．如图，在棱长为6的正方体中，E为棱上一点，且，F为棱的中点，点G是线段上的动点，则（）A．无论点G在线段上如何移动，都有B．四面体的体积为24C．直线与所成角的余弦值为D．直线与平面所成最大角的余弦值为12．已知定义在R上的函数满足条件，且函数,是奇函数，则四个命题中，正确的命题有（）A．函数是周期函数B．函数的图象关于点对称C．函数是偶函数D．函数在R上是单调函数三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）★13．函数的定义域为R，则实数m的取值范围是________．14．已知则的值为________．15．已知三个顶点都在球O的表面上，且，S是球面上异于A、B、C的一点，且平面，若球O的表面积为，则球心O到平面的距离为________．16．在中，已知，P为线段上的一点，且，则的最小值为_________．四、解答题（本题共6小题，每小题8分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分8分）已知．（1）若为真命题，为假命题，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．（本小题满分8分）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c设．（1）求B；（2）若的面积等于求的周长的小值．,★19．（本小题满分8分）某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过A，B，C三道工序加工而成的，A，B，C三道工序加工的元件合格率分别为，已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为一等品；其他的为废品，不进入市场．（1）生产一个元件，求该元件为二等品的概率；（2）从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测，求至少有2个元件是一等品的概率．20．（本小题满分8分）如图，三棱柱中，．（1）求证：平面；（2）设直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．21．（本小题满分8分）已知向量（1）若，求的值；（2）记，在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足，求函数的取值范围．22．（本小题满分8分）设函数（且），是定义域为R的奇函数：，（1）求k的值，（2）判断并证明当时，函数在R上的单调性；（3）已知，若对于时恒成立．请求出最大的整数．,长沙市名校2021-2022学年高二上学期入学考试数学参考答案一、单项选择题题号123456789101112答案ACBABCCCBDABDABDABC1．A2．C3．B【解析】对于选项A，数据的平均数为，众数和中位数都是3，故选项A正确；对于选项B，根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为，故选项B不正确；对于选项C，乙组数据的平均数为乙组数据的方差为，所以这两组数据中较稳定的是乙，故选项C正确；对于D项，将该组数据从小到大排列，由，则该组数据的分位数为5，故D正确．4．A【解析】因为两条不同的直线l，m和不重合的两个平面，且，对于①，由，可得，故①正确；对于②，若，可得，故②正确；对于③，若，则有可能，故③错误；对于④，当时，则有可能，故④错误．综上，真命题的序号是①②．5．B【解析】依题意得，，所以，故．6．C【解析】对任意恒成立，等价于，由于（当时等号成立），∴，解得，故选C．7．C【解析】从反面来考虑该问题，因为，所以要使得两次所得的点数之和均不为11，则5和6两个数最多只有一个数可被选到，下面分情况讨论：第一种，5和6一个都不被选到，则有种选法；第二种，5和6恰好有一个被选到，不妨设5被选到，则有种不同的选法，故5和6恰好有一个被选到的选法有,种不同的选法．所以满足条件的概率为，故选C．8．C【解析】令，先解方程．（1）当时，则，得；（2）当时，则，即，解得，如图所示：直线与函数的交点个数为3、2、2，所以，方程的根的个数为．二、多项选择题9．BD【解析】“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，A错误；线路一所需的平均时间为分钟，线路二所需的平均时间为分钟，所以线路一比线路二更节省时间，B正确；线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，故C错误；所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为和三种情况，概率为，故D正确．10．ABD【解析】由题意得，平移后的函数的图象关于y轴对称，则，因为，所以，故A正确；，由，得对称中心的横坐标为，故是图象的一个对称中心，故B正确；，故C不正确；由，得，所以是图象的一条对称轴，故D正确．,11．ABD【解析】在正方体中，易证平面，又平面，所以，则A正确；，则B正确；在棱上取点N，使，连结（如图1），则易知为直线与所成角或其补角，可得，则，则直线与所成角余弦值为，C错误；由题意知三棱锥为棱长为的正四面体，作平面，O为垂足，则O为正的中心，且为直线与平面所成角，所以，当点G移动到的中点时，最短，如图2，此时最小，最大，此时，则D正确．12．ABC【解析】对于A，∵，∴函数是以3为周期的周期函数，故A正确；对于B，∵是奇函数，∴其图象关于原点对称，又函数的图象是由的图象向左平移个单位长度得到的，所以函数的图象关于点对称，故B正确；对于C，由B知，对于任意的，都有，用换x，可得：，令,则，∴函数是偶函数，故C正确；对于D，由C知是偶函数，偶函数的图象关于y轴对称，∴在R上不是单调函数，故D错误．三、填空题13．【解析】函数的定义域为R，等价于在上恒成立，则或者；当时，有，解得不符合题意；．即，，所以m的取值范围为．14．【解析】，所以．15．【解析】由，∴，并且平面平面，∴，且，∴平面，∴，∴是直角三角形和的公共斜边，取的中点O，根据直角三角形的性质可知，所以点O是三棱锥外接球的球心，设，则，则三棱锥外接球的表面积，解得：，点O到平面的距离．16．【解析】中，设，∵，∴，即，∴，∵，∴，，∴，，根据直角三角形可得，∴，以C为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立直角坐标系可得，P为线段上的一点，则存在实数使得,，设则，∴，∴，则，当且仅当，即时，．四、解答题17．【解析】（1）当时，，由，可得，即．因为为真命题，为假命题，故p与q一真一假，2分若p真q假，则该不等式组无解；若p假q真，则，得或．综上所述，实数x的取值范围为或4分（2）由题意，，因为p是q的充分不必要条件，故，故，得，故实数m的取值范围为．8分18．【解析】（1）因为．由正弦定理得．显然，所以2,分所以，∵．所以，∴4分（2）依题意，∴．6分所以，当且仅当时取等号．又由余弦定理得．∴当且仅当时取等号．所以的周长最小值为．8分19．【解析】（1）不妨设一个元件经A、B、C三道工序加工合格的事件分别为A、B、C，则，1分设事件D为“生产一个元件，该元件为二等品”，根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式，所以生产一个元件，该元件为二等品的概率为.4分（2）生产一个元件，该元件为一等品的概率．5分设事件E为“任意取出3个元件进行检测，至少有2个元件是一等品”，则．所以至少有2个元件是一等品的概率为．8分20．【解析】（1）证明：在中，，由余弦定理，∴，∴，又∵，∴平面；3分,（2）由（1）知；两两垂直，以C为原点，所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设点，其中，设平面法向量为，，取，则，得，∵，由已知，解得：，可得点，5分设为平面的法向量，，由取，则，可得，6分∴，由图可知，二面角为锐角，所以，二面角的余弦值为8分,21．【解析】2分（1）∵，∴，4分（2）∵，由正弦定理得，∴，∴．∵，∴，且，∴．6分∴．．又∵，∴，故故函数的取值范围是．8分22．【解析】（1）∵（且）是定义域为R的奇函数，∴，解得．此时，对任意，有，即是R上的奇函数，符合题意．故．2分（2）由（1）得．设，且，则,∵，且，∴，又∴，即，∴在R上为增函数．5分（3）由（1），不等式对于时恒成立，即，亦即不等式恒成立．令，则，问题转化为关于t的不等式对任意恒成立，亦即不等式，对任意恒成立．当时，，，则的最大整数为10．8分
